Sonuç ve Tartışma

valores sobrescritos representam o n´umero de candidatos considerados em cada rede, por exemplo, τ(2) _{significa o tempo de relaxa¸c˜ao para}

uma rede com Nc = 2 candidatos.

Rede τ(10) _{(TMC) τ}(2) _{(TMC) τ}(10) 0 (TMC) Anel de Eleitores 3.105 _1.105 ₄₀₀ Rede Quadrada 1.103 _1.102 ₄₀ Grafo Completo 500 500 300 Rede C´ubica 100 30 30 Barab´asi-Albert 30 20 30

Tabela 4.15: Tempos de relaxa¸c˜ao em diferentes redes para o Modelo Sz- najd Complexo sem Ru´ıdo. O ´ındice sobrescrito refere-se ao n´umero de candidatos considerados na rede e o ´ındice 0 subescrito refere-se ao tempo de relaxa¸c˜ao dos indecisos.

4.3

Resultados Num´ericos para o Modelo com Ru-

´ıdo

Nesta se¸c˜ao mostraremos a existˆencia de uma transi¸c˜ao de fases entre a fase de vit´oria isolada e a fase ruidosa, atrav´es de c´alculos num´ericos. Com estes c´alculos, determinaremos o diagrama de bi- furca¸c˜ao e o parˆametro de ordem e os confrontaremos com resultados anal´ıticos de campo m´edio.

4.3.1 S´eries Temporais na Rede de Barab´asi-Albert

Atrav´es da Figura 4.14 procuramos evidenciar, sob o ponto de vista num´erico, a principal consequˆencia da inclus˜ao do ru´ıdo `a dinˆamica, isto ´e, o desaparecimento do estado estacion´ario de consenso para va- lores suficientemente elevados de ru´ıdo. Nas s´eries temporais repre-

sentadas nesta figura, a intensidade do ru´ıdo ´e suficientemente baixa (w < wt) para permitir um estado estacion´ario com a maioria do

eleitorado tendo a mesma opini˜ao, caracterizando a fase ordenada do sistema. 0 100 200 t (TMC) 0 1000 # votos (a) 0 100 200 t (TMC) 0 1000 # votos (b)

Figura 4.14: Evolu¸c˜ao temporal da distribui¸c˜ao de votos para o Modelo Sznajd Complexo com Ru´ıdo numa Rede de Barab´asi-Albert com N = 1 000 eleitores e Nc = 10 candidatos. (a) w = 0, 01 e (b) w = 0, 10.

Para intensidades de ru´ıdos suficientemente altas (w > wt), o com-

4.3 Resultados Num´ericos para o Modelo com Ru´ıdo 152

senso que o estado estacion´ario passa a ser representado por um empate t´ecnico entre todos os candidatos, caracterizando a fase desordenada do sistema, como mostra a Figura 4.15.

0 100 200 t (TMC) 0 100 # votos (a) 0 100 200 t (TMC) 0 100 # votos (b)

Figura 4.15: Evolu¸c˜ao temporal da distribui¸c˜ao de votos para o Modelo Sznajd Complexo com Ru´ıdo numa Rede de Barab´asi-Albert com N = 1 000 eleitores e Nc = 10 candidatos. (a) w = 0, 80 e (b) w = 0, 90.

Na Figura 4.16 ilustramos, de maneira particularizada, as duas fases distintas que o modelo pode apresentar para redes com N = 10 000 eleitores e Nc = 10 candidatos.

0 200 400 t (TMC) 0 8000 # votos (a) 0 200 400 t (TMC) 0 1000 # votos (b)

Figura 4.16: Evolu¸c˜ao temporal da distribui¸c˜ao de votos para o Modelo Sz- najd Complexo com Ru´ıdo numa Rede de Barab´asi-Albert com N = 10 000 eleitores e Nc = 10 candidatos. (a) Fase ordenada (w = 0.1) e (b) Fase

Desordenada (w = 0.9).

As s´eries temporais est˜ao de acordo com os c´alculos realizados no cap´ıtulo 3, indicando a existˆencia de uma transi¸c˜ao de fase em fun¸c˜ao da intensidade do ru´ıdo. Do ponto de vista quantitativo, apresentamos, na Figura 4.17, uma compara¸c˜ao entre a estimativa de campo m´edio e os resultados num´ericos. Esta situa¸c˜ao indica que o campo m´edio funciona

4.3 Resultados Num´ericos para o Modelo com Ru´ıdo 154

como uma estimativa superior para os valores exatos da quantidade de votos que cada candidato pode assumir.

0 200 400 t (TMC) 0 10000 # votos (a) 0 200 400 t (TMC) 0 1000 # votos (b)

Figura 4.17: Evolu¸c˜ao temporal da distribui¸c˜ao de votos para o Modelo Sz- najd Complexo com Ru´ıdo numa Rede de Barab´asi-Albert com N = 10 000 eleitores e Nc = 10 candidatos. As linhas tracejadas representam os valores

de campo m´edio para o estado estacion´ario do modelo. (a) w = 0, 10 e (b) w = 0, 90.

tornar-se cada vez melhor quando a intensidade do ru´ıdo tende a zero (w ≪ wt). Para intensidades do ru´ıdo acima do ponto cr´ıtico, a esti-

mativa de campo m´edio perde o car´ater de estimativa superior e pode ser interpretada como a m´edia temporal do n´umero de votos por can- didato.

4.3 Resultados Num´ericos para o Modelo com Ru´ıdo 156 0 5000 1000 t (TMC) 0 10000 # votos (a) 0 200 400 t (TMC) 0 1000 # votos (b)

Figura 4.18: Evolu¸c˜ao temporal da distribui¸c˜ao de votos para o Modelo Sz- najd Complexo com Ru´ıdo numa Rede de Barab´asi-Albert com N = 10 000 eleitores e Nc = 10 candidatos. As linhas tracejadas representam os valores

de campo m´edio para o estado estacion´ario do modelo. (a) w = 0, 025 e (b) w = 0, 975.

A reinterpreta¸c˜ao do campo m´edio para a fase ruidosa ´e conse- quˆencia direta do empate t´ecnico apresentado pelos candidatos que imp˜oem, para a m´edia temporal de votos por candidato, a condi¸c˜ao hni = N

flutuando em torno deste valor.

Perceba tamb´em que a aproxima¸c˜ao de campo m´edio distingue o comportamento dos candidatos minorit´arios do comportamento do can- didato vencedor, representado-os como uma m´edia de seu comporta- mento coletivo, conforme as hip´oteses assumidas em seu estabelecimen- to. Na pr´oxima se¸c˜ao, formalizaremos este car´ater da aproxima¸c˜ao de campo m´edio quando interpretarmos f´ısicamente as solu¸c˜oes inst´aveis apresentadas pelo diagrama de bifurca¸c˜ao num´erico do modelo.

4.3.2 Diagrama de Bifurca¸c˜ao e Transi¸c˜ao de Fases na Rede de Barab´asi-Albert

Para a constru¸c˜ao do diagrama de bifurca¸c˜ao num´erico do modelo ´e necess´ario tomarmos algumas precau¸c˜oes relacionadas ao tratamento dos candidatos minorit´arios. Na Figura 4.19, por exemplo, represen- tamos o comportamento t´ıpico do candidato majorit´ario e da m´edia dos demais candidatos no estado estacion´ario da dinˆamica. Tomamos o valor m´edio dos candidatos minorit´arios para possibilitar uma com- para¸c˜ao com os resultados de campo m´edio, como est´a indicado na Figura 4.20.

4.3 Resultados Num´ericos para o Modelo com Ru´ıdo 158 0 0.287 0.4

w

0 1

η

Candidato Majoritário Outros - Média por Candidato

Figura 4.19: Diagrama de bifurca¸c˜ao num´erico para o Modelo Sznajd Com- plexo com Ru´ıdo numa Rede de Barab´asi-Albert com N = 10 000 eleitores e Nc= 10 candidatos. 0 0.287 0.4

w

0 1

η

Candidato Majoritário Outros - Média por Candidato Campo Médio

Figura 4.20: Compara¸c˜ao entre os diagramas de bifurca¸c˜ao num´erico e anal´ıtico para o Modelo Sznajd Complexo com Ru´ıdo numa Rede de Barab´asi-Albert com N = 10 000 eleitores e Nc= 10 candidatos.

´

E importante destacar que os valores indicados no diagrama n˜ao satisfazem `a condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao, entretanto, os valores devem satisfazer ησv + (N

c − 1)ησ

′

≈ 1, onde ησ′

representa a m´edia dos can- didatos minorit´arios, ou seja, satisfazem, em m´edia, a condi¸c˜ao de nor- maliza¸c˜ao.

Para a constru¸c˜ao do diagrama anal´ıtico utilizamos os parˆametros m´edios hkvi e hli da rede obtidos atrav´es de simula¸c˜oes, com um ensem-

ble de 100 realiza¸c˜oes da dinˆamica. Sendo assim, apesar de utilizarmos a express˜ao alg´ebrica oriunda da aproxima¸c˜ao de campo m´edio, pode- mos nos referir a esta constru¸c˜ao e suas consequˆencias como semi- anal´ıtica. Na Tabela 4.16 apresentamos os resultados num´ericos para os parˆametros m´edios de uma rede BA estabelecidos por esta disserta¸c˜ao (Ara´ujo e Prado - 2011) e os comparamos com resultados publicados na disserta¸c˜ao de Vannucchi (Vannucchi e Prado - 2006)[6].

Rede BA hki hkvi hli hk′i

Ara´ujo 10, 0 ± 0, 1 30, 0 ± 1, 0 0, 108 ± 0, 001 256, 3 ± 8, 5

Vannucchi 10 25, 3 - -

Tabela 4.16: Resultados num´ericos para os parˆametros m´edios da rede de Barab´asi-Albert. Os valores m´edios foram estabelecidos a partir de um ensemble com 100 realiza¸c˜oes num´ericas de redes com N = 10 000 v´ertices e conectividade m´ınima m = 5.

Como esperado, o valor do fator de acoplamento ´e muito menor do que a unidade (hli ≪ 1) e est´a associado ao fato das transi¸c˜oes de segunda esp´ecie serem pouco frequentes. Al´em disso, hki = 2m, hkvi > hki e hk′i ≫ hki refletem a propriedade de conex˜ao preferencial

das redes de Barab´asi-Albert.

Destacamos ainda que a curva semi-anal´ıtica est´a sempre acima da curva num´erica, corroborando a expectativa de que os resultados de

4.3 Resultados Num´ericos para o Modelo com Ru´ıdo 160

campo m´edio funcionam com uma estimativa superior dos resultados exatos. A compara¸c˜ao entre as curvas referentes aos candidatos mi- norit´arios torna esta expectativa bastante n´ıtida.

Outra possibilidade muito interessante pode ser explorada ao con- siderarmos o candidato majorit´ario juntamente com o total de votos dos candidatos minorit´arios, de acordo com as figuras 4.21 e 4.22.

0 0.287 0.4

w

0 1

η

Candidato Majoritário Outros Candidatos

Figura 4.21: Diagrama de bifurca¸c˜ao para o Modelo Sznajd Complexo numa Rede de Barab´asi-Albert com N = 10 000 eleitores e Nc = 10 candidatos.

Para a constru¸c˜ao do diagrama consideramos o candidato majorit´ario e a soma dos votos dos demais candidatos.

0 0.287 0.4

w

0 1

η

Candidato Majoritário Outros Candidatos Campo Médio

Figura 4.22: Compara¸c˜ao entre os diagramas de birfuca¸c˜ao num´erico e anal´ıtico para o Modelo Sznajd Complexo numa Rede de Barab´asi-Albert com N = 10 000 eleitores e Nc = 10 candidatos. Para a constru¸c˜ao dos dia-

gramas consideramos o candidato majorit´ario e a soma dos votos dos demais candidatos.

O ponto de intersec¸c˜ao entre as curvas num´ericas indica que ´e poss´ıvel ao sistema um cen´ario onde o candidato vitorioso n˜ao det´em a maioria absoluta dos votos, diferentemente da aproxima¸c˜ao de campo m´edio, onde o candidato vitorioso sempre vence com mais da metade das inten¸c˜oes de votos (ησv

CM ≥ 12).

A intensidade do ru´ıdo associada `a intersec¸c˜ao entre as curvas ´e igual a w′ _{= 0, 275 ± 0, 001. Al´em disso, w}(CM )

t < w′ < wt, indicando

que o ponto cr´ıtico obtido via campo m´edio fornece uma estimativa inferior ao valor exato.

De fato, os resultados que obtemos para o ponto cr´ıtico foram wt(CM ) = 0, 261 ± 0, 002 e wt = 0, 287 ± 0, 001, apresentando aceit´avel

concordˆancia entre si, em contraste com os resultados de Vannucchi que foram wt(CM ) = 0, 089 ± 0, 001 e wt = 0, 313 ± 0, 002. ´E nesse

4.3 Resultados Num´ericos para o Modelo com Ru´ıdo 162

sentido que afirmamos ter resolvido as discrepˆancias encontradas na abordagem de Vannucchi, com uma melhoria significativa da estima- tiva anal´ıtica do ponto cr´ıtico. A seguir, na Tabela 4.17, estabelecemos uma compara¸c˜ao entre os resultados para o ponto cr´ıtico obtidos nesta disserta¸c˜ao, os resultados de Vannucchi e os resultados de campo m´edio para as demais redes estudadas.

Rede - wt

Rede BA Num´erico 0, 287 ± 0, 001 Ara´ujo e Prado, 2011 Anal´ıtico 0, 261 ± 0, 002 Rede BA Num´erico 0, 313 ± 0, 002 Vannucchi e Prado, 2006 Anal´ıtico 0, 089 ± 0, 001

Grafo Num´erico - Completo Anal´ıtico 0, 357 Cadeia de Num´erico - Eleitores Anal´ıtico 0, 294 Rede Num´erico - Quadrada Anal´ıtico 0, 327 Rede Num´erico - C´ubica Anal´ıtico 0, 337 Redes Regulares Num´erico - Altas Dimensionalidades Anal´ıtico 0, 357

Tabela 4.17: Intensidades cr´ıticas de ru´ıdo para as diferentes redes estu- dadas. Para o estabelecimento dos resultados na rede BA nos utilizamos de um ensemble com 100 realiza¸c˜oes de redes com N = 10 000 v´ertices e Nc = 10 candidatos.

Para finalizarmos, apresentaremos o parˆametro de ordem do modelo na rede de Barab´asi-Albert atrav´es das figuras 4.23 e 4.24, destacando a transi¸c˜ao de fase sob o ponto de vista num´erico. Desta forma, confir- mamos a expectativa quanto ao sistema exibir uma transi¸c˜ao de fases

descont´ınua gerada pelos c´alculos de campo m´edio do cap´ıtulo anterior. 0 0.287 0.4

w

0 1

Ψ

Figura 4.23: Parˆametro de ordem num´erico em fun¸c˜ao do parˆametro de con- trole para o Modelo Sznajd Complexo com Ru´ıdo numa Rede de Barab´asi- Albert com N = 10 000 eleitores e Nc= 10 candidatos. O modelo apresenta

uma transi¸c˜ao de fases de primeira ordem entre as fases de consenso e a fase ruidosa com ponto cr´ıtico igual a wt= 0, 287 ± 0, 001

4.3 Resultados Num´ericos para o Modelo com Ru´ıdo 164 0 0.287 0.4

w

0 1

Ψ

Campo Médio Rede BA

Figura 4.24: Compara¸c˜ao entre o parˆametro de ordem num´erico e o parˆametro de ordem anal´ıtico em fun¸c˜ao do parˆametro de controle para o Modelo Sznajd Complexo com Ru´ıdo numa Rede de Barab´asi-Albert com N = 10 000 eleitores e Nc = 10 candidatos.

Conclus˜oes e Perspectivas

Neste trabalho, estudamos o Modelo Sznajd Complexo numa abor- dagem predominantemente anal´ıtica, diferentemente das abordagens geralmente publicadas, pretendendo assim fornecer uma contribui¸c˜ao original ao problema. Apresentamos uma equa¸c˜ao mestra que descreve a evolu¸c˜ao de opini˜oes do modelo e determinamos seus estados esta- cion´arios atrav´es de uma aproxima¸c˜ao de campo m´edio para diferentes redes, com especial ˆenfase para a rede de Barab´asi-Albert.

As discrepˆancias encontradas entre o resultado de campo m´edio e o resultado de simula¸c˜ao num´erica de Vannucchi e Prado foram resolvidas com a inclus˜ao de novos termos na equa¸c˜ao mestra. Esses termos, que haviam sido desprezados antes por serem supostamente muito raros, tˆem importˆancia significativa e devem ser considerados.

Nosso estudo da vers˜ao sem ru´ıdo do Modelo Sznajd Complexo n˜ao apresentou grandes surpresas, sempre evoluindo para um estado estacion´ario de consenso entre os eleitores, da mesma forma que o Mo- delo Sznajd original. Simula¸c˜oes num´ericas na rede de Barab´asi-Albert com N = 10 000 eleitores e Nc = 10 candidatos apotam para o estado

de consenso, tipicamente, a partir de 30 tempos de Monte Carlo. Na vers˜ao do modelo com ru´ıdo, que corresponde a aplica¸c˜ao de um campo

166

externo, investigamos o efeito de campanhas publicit´arias no processo eleitoral. Nestas circunstˆancias, o campo introduz flutua¸c˜oes na opini˜ao do eleitorado que destroem o estado de consenso, determinando um comportamento mais rico ao modelo.

A aproxima¸c˜ao de campo m´edio aplicada a este caso leva a estados estacion´arios que correspondem ou a vit´oria isolada de algum candidato (um ´unico candidato detˆem a grande maioria dos votos) ou ao empate t´ecnico entre todos os candidatos (os candidatos apresentam, em m´edia, a mesma quantidade de votos). ´E razo´avel que para campos fracos, a situa¸c˜ao de vit´oria isolada prevale¸ca, enquanto que, para campos muito fortes, as flutua¸c˜oes sejam t˜ao intensas que fa¸cam prevalecer a situa¸c˜ao de empate t´ecnico. Sendo assim, dependendo da intensidade do campo externo aplicado, o sistema pode sofrer uma transi¸c˜ao de fase, e passamos a interpretar os estados estacion´arios de vit´oria isolada e empate t´ecnico como as fases ordenada e desordenada, respectivamente, que caracterizam o sistema.

Os c´alculos fornecem um diagrama de bifurca¸c˜ao para o estado esta- cion´ario da dinˆamica que permite o estabelecimento formal da transi¸c˜ao de fases, e, o fato deste apresentar uma descontinuidade sugere que a transi¸c˜ao de fases seja de primeira ordem. Uma grande quantidade de simula¸c˜oes para redes de Barab´asi-Albert corroboram com o car´ater descont´ınuo da transi¸c˜ao. ´E importante ressaltar que a descontinuidade do diagrama depende do n´umero de candidatos, o que faz surgir a pos- sibilidade de uma transi¸c˜ao de segunda ordem para o caso particular de dois candidatos (Nc = 2).

O diagrama de birfuca¸c˜ao motivou a defini¸c˜ao do parˆametro de ordem como a diferen¸ca entre os patamares das fases ordenada e des- ordenada, a menos de um constante multiplicativa conveniente posta a fim de normalizar o parˆametro. Desta forma, definimos o parˆametro de

ordem do modelo como sendo ψ = Nc Nc − 1

 (ησ

+− η0σ) e a intensidade

cr´ıtica do campo externo ´e identificada como sendo wt (valor cr´ıtico

do parˆametro de controle). A reprodu¸c˜ao num´erica do parˆametro de ordem apresentou boa concordˆancia quando confrontada com os re- sultados anal´ıticos, sendo que a intensidade cr´ıtica do campo externo encontrada em simula¸c˜oes realizadas numa rede de Barab´asi-Albert foi wt = 0, 287 ± 0, 001, enquanto que o resultado encontrado numa apro-

xima¸c˜ao de campo m´edio foi wt= 0, 261 ± 0, 002.

Apesar da ˆenfase atribu´ıda `as redes de Barab´asi-Albert, muitos re- sultados para um grafo completo e para redes regulares com diferentes dimensionalidades foram estabelecidos. Estas redes funcionaram como um ”toy model”, de maneira a ilustrar o c´alculo dos parˆametros m´edios da rede e dos parˆametros cr´ıticos, tornando-se um importante referen- cial no estabelecimento do demais resultados. Al´em disso, verificamos que um grafo completo no limite termodinˆamico e uma rede regular no limite de altas dimensionalidades descrevem igualmente o comporta- mento do modelo por tratarem de casos em que as correla¸c˜oes espaciais s˜ao descartadas de forma semelhante.

Portanto, a abordagem de campo m´edio, apesar de muito simples, mostra-se bastante eficiente na descri¸c˜ao de grande parte do comporta- mento dinˆamico do modelo, de maneira que o objetivo de caracteriz´a-lo analticamente foi alcan¸cado com ˆexito.

Entretanto, devemos reconhecer que ainda h´a muito a ser feito, com muitos desdobramentos da teoria a serem melhor explorados. As- sim, temos muitas perspectivas de continuidade para este trabalho, dentre elas, desenvolver mais resultados num´ericos em outros tipos de rede, pois representariam uma complementa¸c˜ao muito importante dos resultados obtidos no cap´ıtulo 3 e de investigar a sensibilidade dos parˆametros cr´ıticos em rela¸c˜ao a varia¸c˜oes nos parˆametros m´edios da

168

rede.

Al´em disso, pretendemos estimar analiticamente os parˆametros m´e- dios da rede de Barab´asi-Albert, enriquecendo os resultados do cap´ıtulo 4, e determinando seus parˆametros cr´ıticos por um m´etodo exclusiva- mente anal´ıtico. A conjectura a respeito das propriedades do modelo em redes regulares no limite de altas dimensionalidades deve ser re- vista, formalizando os c´alculos anal´ıticos que permitam efetivamente sua prova.

Finalmente, muitos outros temas como, por exemplo, a identifica¸c˜ao do candidato vencedor e a descri¸c˜ao mais precisa de elei¸c˜oes majorit´arias devem ser investigados.

Construindo a Rede de

Barab´asi-Albert

Neste apˆendice iremos detalhar v´arios peda¸cos do algoritmo empre- gado por n´os para a constru¸c˜ao da rede de Barab´asi-Albert.

Processo de Constru¸c˜ao da Rede:

1. Inicialmente, satisfazendo a regra de conectividade m´ınima m en- tre os s´ıtios, tomamos m + 1 s´ıtios onde todos se conectam entre si.

2. Para a adi¸c˜ao de um novo s´ıtio `a rede, sorteamos uma aresta de forma equiprov´avel, e, em seguida, sorteamos um dos s´ıtios desta aresta, satisfazendo a regra de conex˜ao preferencial. Repetimos esta etapa um n´umero suficiente de vezes at´e satisfazer o crit´erio de conectividade m´ınima novamente.

3. Procedemos assim, sucessivamente, at´e que a rede apresente N s´ıtios.

170

1. N´umero de colunas: 2 - associado aos pares ordenados que cor- respondem `as arestas da rede.

2. N´umero de linhas: a(m, N ) = m(m + 1)/2 + m[N − (m + 1)]

O trecho do c´odigo fonte respons´avel pela constru¸c˜ao da rede de Barab´asi-Albert ´e apresentado nas figuras A.1 e A.2, e um exemplo desta representa¸c˜ao, como resultado de uma sa´ıda padr˜ao do programa ´e apresentado na Figura A.3.

Figura A.1: Parte do c´odigo fonte respons´avel pela constru¸c˜ao da con- figura¸c˜ao inicial da rede de Barab´asi-Albert.

Figura A.2: Parte do c´odigo fonte respons´avel pela continuidade na cons- tru¸c˜ao da rede de Barab´asi-Albert.

172

Figura A.3: Sa´ıda padr˜ao do ponteiro **M ilustrando uma rede de Barab´asi- Albert N = 11 v´ertices e conectividade m´ınima m = 2. A linha 4 destaca a configura¸c˜ao inicial do restante da rede.

Ponteiro de Opini˜oes

Exemplo t´ıpico para a sa´ıda do algoritmo respons´avel pela constru- ¸c˜ao do Ponteiro de Opini˜oes *Op.

Figura B.1: Sa´ıda padr˜ao para o ponteiro de opini˜oes de uma rede de Barab´asi-Albert com N = 15 e Nc = 5. A linha 1 representa a configura¸c˜ao

da rede correspondente ao processo de semeadura e a linha hachurada in- dica que a dinˆamica atingiu o estado estacion´ario de consenso com todos os eleitores escolhendo o candidato 3. Cada linha est´a associada a um instante medido em Tempo de Monte Carlo.

Apˆendice C

Representa¸c˜ao de Vizinhos

Processo de Constru¸c˜ao da Representa¸c˜ao de Vizinhos:

1. Escolhida uma aresta, por exemplo (0,1), acrescentamos uma unidade ao n´umero de vizinhos de cada um de seus s´ıtios mediante um ponteiro *Q que controla o grau dos s´ıtios. Em seguida, colo- camos um na lista de vizinhos do outro determinando o ponteiro **A.

Figura C.1: Trecho do c´odigo fonte que contabiliza o grau de cada v´ertice. Q[i] ´e o grau do v´ertice i.

Figura C.2: Trecho do c´odigo fonte respons´avel pela constru¸c˜ao da Repre- senta¸c˜ao de Vizinhos.

Figura C.3: Sa´ıda padr˜ao do ponteiro *Q para a rede de Barab´asi-Albert com m = 2 e N = 11 apresentada anteriormente na Figura A.3. O elemento da primeira coluna de cada linha representa um dado s´ıtio da rede e o elemento da segunda coluna o seu respectivo grau, por exemplo, o s´ıtio 0 tem grau Q[0] = 5.

176

Figura C.4: Sa´ıda padr˜ao do ponteiro **A para a rede de Barab´asi-Albert com m = 2 e N = 11 apresentada anteriormente na Figura A.3.

Representa¸c˜ao de N´umero de

Votos

Belgede Fen bilgisi öğretmen adaylarının bazı kimya konularındaki akıl yürütmelerinin incelenmesi / Examination of science education teachers candidates' reasoning on some chemistry subjects (sayfa 83-91)