Tercih Yoluyla Fetvâ

Na reunião em que analisamos o processo do trabalho desenvolvido com os professores aplicadores, solicitamos indicações para mudanças em nossa THA, a partir das observações realizadas durante todo o processo de seu desenvolvimento. Da mesma forma como na primeira elaboração, os professores declararam não visualizar quais modificações adequadas. O professor Fábio salientou que considerava importante a inclusão de casos particulares nos quais a reta seja paralela a um dos eixos coordenados. Percebemos também, como já mencionado, que os alunos não verificavam se as respostas encontradas satisfaziam o que se pedia nas atividades.

A partir dessas observações, elaboramos uma nova versão de nossa THA, que pode ser observada nas páginas que se seguem.

Atividade 1

Objetivo: Relacionar expressões algébricas com suas representações gráficas. Orientações aos professores:

Esta atividade será desenvolvida individualmente e depois os alunos, em duplas, discutirão suas respostas. Na sequência cada dupla será convidada a explicar como chegaram à conclusão em relação a cada item.

Discuta com os alunos se a atividade que eles acabaram de resolver é uma atividade do campo algébrico ou do campo geométrico? Esperamos com este questionamento, uma oportunidade para apresentar a Geometria Analítica, como uma parte da matemática que integra os dois campos. Comente com eles que as

atividades que serão desenvolvidas nesta e nas próximas aulas têm como objetivo fazer com que eles tenham contato com a chamada Geometria Analítica.

A Geometria Analítica, também conhecida como Geometria com coordenadas, integra a álgebra e a geometria e possibilita interpretações geométricas de fatos algébricos e o estudo algébrico de fatos geométricos.

Historicamente, um dos seus criadores foi René Descartes (1596 - 1650), filósofo e matemático francês que em sua obra La Geométrie introduziu a noção de coordenadas no plano, ao estabelecer dois eixos fixos que se interceptam em um ponto chamado origem do sistema.

Proponha que realizem uma pesquisa sobre Geometria Analítica e sobre René Descartes e produzam um texto para a próxima aula.

3) Relacione as representações das expressões na forma algébrica com suas correspondentes representações gráficas e justifique sua escolha:

(f) y = x (e) y = 2 (g) y = 2x2 + 1 (f) y = 2x (h) y = x2– 5x + 6 (g) y = 2x (i) y = x3 (h) y = sen x ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) _{( )}

Atividade 2

Objetivo: Possibilitar que os alunos identifiquem o coeficiente angular ou declividade de uma reta, através de sua variação e da consequente variação nas suas representações algébricas.

Orientações aos professores:

Esta atividade será desenvolvida em duplas. Na sequência cada dupla será convidada a explicar como chegaram à conclusão em relação a cada item. Acompanhe o desenvolvimento das atividades pelos seus alunos, e a partir do item 2.5, projete as imagens solicitadas nas atividades.

4) Na figura abaixo está representado o plano cartesiano ao qual fizemos referência na atividade anterior e nele está indicado o ponto P de abscissa 1 e ordenada 2 , que representaremos como P (1,2).

2.1

(a) Localize no plano cartesiano um ponto com ordenada igual à abscissa. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação?

(b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade (ordenada igual à abscissa).

(c) Estes dois pontos pertencem a uma reta? Se você acredita que sim, desenhe esta reta.

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta. Verifique algebricamente se os pontos que você encontrou solucionam esta expressão.

2.2

(a) Localize, no mesmo plano, um ponto com ordenada igual ao dobro da abscissa. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação? (b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade.

(c) Estes dois pontos pertencem a uma reta? Se você acredita que sim, desenhe esta reta.

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta. Verifique algebricamente se os pontos que você encontrou solucionam esta expressão.

2.3

(a) Localize, no mesmo plano, um ponto com ordenada igual ao triplo da abscissa. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação?

(b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade.

(c) Estes dois pontos pertencem a uma reta? Se você acredita que sim, desenhe esta reta.

(e) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta. Verifique algebricamente se os pontos que você encontrou solucionam esta expressão.

2.4

(a) Localize, no mesmo plano, um ponto com ordenada igual à metade da abscissa. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação? (b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade.

(c) Estes dois pontos pertencem a uma reta? Se você acredita que sim, desenhe esta reta.

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta. Verifique algebricamente se os pontos que você encontrou solucionam esta expressão.

2.5

Nesta etapa, seu professor apresentará algumas imagens, conforme são

Na figura projetada, os gráficos explorados nos itens anteriores foram colocados num mesmo sistema de eixos.

(a) O que há de semelhante e de diferente nos gráficos destas retas?

(b) Essas semelhanças e diferenças percebidas nos gráficos se traduzem de alguma forma nas suas expressões algébricas? De que forma?

(c) Que hipótese você tem sobre a expressão algébrica da reta colorida em verde que aparece no gráfico? Identifique pontos desta reta e verifique algebricamente se os pontos que você encontrou solucionam esta expressão.

(d) Que hipótese você tem sobre a expressão algébrica da reta colorida em amarelo que aparece no gráfico?

(e) Se uma reta tem equação dada pela expressão y = ax, o que se pode dizer em relação a este “a”?

(f) O que ocorre com a reta quando este coeficiente “a” vale zero?

Orientações aos professores:

Encerra-se a atividade, sistematizando a idéia de coeficiente angular, organizando as conclusões dos alunos.

Na figura acima, pode-se ver que foi construído um triângulo retângulo ABD com o prolongamento dos segmentos que formam os pontos A e B. O ângulo α que aparece como ângulo interno do triângulo ABD é exatamente o ângulo que a reta AB forma com a horizontal, pois se tem a situação de duas retas paralelas cortadas por

uma mesma transversal que forma ângulos correspondentes. O cateto oposto a α, BD, tem valor yb – ya e o cateto adjacente AD tem valor xb - xa. Podemos então

achar o valor da tangente de α da seguinte maneira: tan = =

Observe que o valor do coeficiente que multiplica o “x” na equação reduzida é numericamente igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo horizontal. Devido a esse fato, esse coeficiente recebe o nome de COEFICIENTE ANGULAR, pois determina a direção da reta.

Atividade 3

Objetivo: Possibilitar que os alunos identifiquem o coeficiente linear da equação reduzida da reta, através de sua variação e da consequente variação nas suas representações algébricas e relacionar o coeficiente angular com a posição relativa entre retas.

Orientações aos professores: Esta atividade será desenvolvida em duplas. Na sequência algumas duplas serão convidadas a explicar como chegaram à conclusão em relação a cada item. A partir do item 3.5, projete as imagens conforme forem solicitadas nas atividades.

3.1

(a) Localize no plano cartesiano um ponto cuja ordenada seja igual à abscissa mais 1. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação?

(b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade.

(c) Estes dois pontos pertencem a uma reta? Se você acredita que sim, desenhe esta reta.

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta.

3.2

(a) Localize, no mesmo plano, um ponto cuja ordenada seja igual à abscissa mais 3. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação? (b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade.

(c) Estes dois pontos pertencem a uma reta? Se você acredita que sim, desenhe esta reta.

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta.

3.3

(a) Localize, no mesmo plano, um ponto com ordenada seja igual à abscissa menos 2. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação? (b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade.

(c) Estes dois pontos pertencem a uma reta? Se você acredita que sim, desenhe esta reta.

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta.

3.4

(a) Localize, no mesmo plano, um ponto com ordenada igual ao oposto da abscissa, mais 3.

(b) Localize outro ponto que possua esta mesma propriedade.

(c) Estes dois pontos pertencem a uma reta? Se você acredita que sim, desenhe esta reta.

(d) Identifique uma expressão algébrica que represente todos os pontos desta reta.

3.5

Nesta etapa, seu professor projetará algumas imagens, com os gráficos construídos nos itens anteriores:

(d) Nas figuras projetadas, os gráficos explorados nos itens anteriores foram colocados num mesmo sistema de eixos.

(e) O que há de semelhante e de diferente nos gráficos destas retas?

(f) Essas semelhanças e diferenças percebidas nos gráficos se traduzem de alguma forma nas suas expressões algébricas? De que forma?

(c) Que hipótese você tem sobre a expressão algébrica da reta colorida em verde que aparece no gráfico?

(d) Que hipótese você tem sobre a expressão algébrica da reta colorida em amarelo que aparece no gráfico?

(e) Se uma reta tem equação dada pela expressão y = ax + b, o que se pode dizer em relação a este “b”?

(f) O que ocorre com a reta quando anulamos este coeficiente “b”?

Orientações aos professores: Encerra-se a atividade, formalizando o significado do coeficiente linear, organizando as conclusões dos alunos.

3.6

Determine as equações reduzidas das retas que passam pelos pontos indicados abaixo:

(a) A (1, 5) e B ( 0 , 2 ) (c) E (0,0) e F (2 , 4)

(b) C (3 , 1) e D ( -1, -4) (d) G ( 2 , 7) e H (-2 , -13)

3.7

Uma reta, que pertence ao 1º e ao 3º quadrantes, passa pela origem do sistema de coordenadas e tem uma inclinação maior que a reta definida pela função identidade.

(a) Proponha a equação desta reta.

O coeficiente linear de uma reta é a ordenada b do ponto (0,b) onde a reta corta o eixo das ordenadas.

(b) Quantas soluções se podem obter?

(c) Que condição deve ter a inclinação para que satisfaça a condição dada?

(d) Entre quais valores se encontram a amplitude do ângulo que forma com o semi-eixo positivo x ?

3.8

Uma reta, que pertence ao 1º e ao 3º quadrantes passa pela origem do sistema de coordenadas e tem uma inclinação menor que a reta definida pela função identidade.

(a) Proponha a equação desta reta.

(b) Quantas soluções se podem obter?

(c) Que condição deve ter a inclinação para que satisfaça a condição dada?

(d) Entre quais valores se encontram a amplitude do ângulo que forma com o semi-eixo positivo x ?

3.9

(a) Dada a reta y = 2x, exiba duas outras equações de retas que sejam paralelas a esta reta. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação? (b) Dada a reta y = x + 4 exiba duas outras equações de retas que sejam

paralelas a esta reta.

(c) Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação?

(d) Formule um procedimento que permita identificar se duas retas são paralelas.

3.10

(a) Dada a reta y = x exiba duas outras equações de retas que sejam perpendiculares a esta reta.

(c) Dada a reta y = 2x exiba duas outras equações de retas que sejam perpendiculares a esta reta. Quantas respostas possíveis você poderia dar a esta solicitação?

(d) Formule um procedimento que permita identificar se duas retas são perpendiculares.

Orientações aos professores: Encerra-se a atividade, formalizando o significado do coeficiente linear, organizando as conclusões dos alunos:

Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se elas possuem os mesmos coeficientes angulares, ou seja, a1 =a2

Duasretasnoplanosão perpendiculares se uma delas é horizontal e aoutra é vertical ou se elas possuem coeficientes angulares a1 e a2 de modo que: a1 . aa = -1

Atividade 4

Objetivo: Considerando que os alunos já conhecem o Teorema de Pitágoras, objetivamos nesta atividade que os alunos consigam determinar a distância entre dois pontos, chegando até a generalização deste procedimento.

Orientações aos professores: Esta atividade será desenvolvida em duplas. Na sequência algumas duplas serão convidadas a explicar como chegaram à conclusão em relação a cada item.

4.1

(a) Localize no plano cartesiano, os pontos A (1,1) e B (5,1) (b) O que estes pontos têm em comum?

(d) Como você faria para determinar a distância entre os pontos A e B? (e) Os pontos C (x1 , 1) e D ( x2, 1) pertencem à reta determinada por A e B?

(f) Como você calcularia a distância entre os pontos C e D ?

4.2

(a) Localize, no mesmo plano, o ponto C ( 5, 4) . (b) O este ponto têm em comum com o ponto B ?

(c) O que você observa na reta determinada pelos pontos B e C ? (d) Como você faria para determinar a distância entre os pontos B e C ? (e) Os pontos E (5, y1) e F ( 5, y2) pertencem à reta determinada por B e C?

(f) Como você calcularia a distância entre os pontos E e F?

4.3

(a) Trace os segmentos de reta cujas extremidades são os pontos A e B, B e C e A e C.

(b) Você reconhece o polígono que estes pontos determinam? (c) Como você calcularia a distância entre A e C?

Orientações aos professores: Encerre este etapa demonstrando a fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos, adotando A(xa ,ya) e C(xc ,yc) dois pontos do

hipotenusa do triângulo ABC abaixo. Se conseguirmos determinar o valor dos catetos, utilizando o Teorema de Pitágoras, será possível achar essa distância. Como o cateto AB = xc - xa e o cateto BC = yc – ya, aplicando o Teorema de Pitágoras vêm:

4.4

(a) Localize, no mesmo plano cartesiano, o ponto médio do segmento AB.

(b) Descreva as propriedades algébricas que você consegue identificar ao comparar as coordenadas do ponto médio com as coordenadas das extremidades A e B.

(c) Localize o ponto médio do segmento BC.

(d) As propriedades deste ponto são as mesmas do ponto médio do segmento AB?

(e) Localize o ponto médio do segmento AC.

(f) As propriedades do deste ponto são as mesmas verificadas nos dois itens anteriores?

(g) Como você identificaria as coordenadas do ponto médio do segmento determinado pelos pontos P (x1,y1) e Q (x2,y2) ?

Orientações aos professores: Encerre esta

tarefa, sistematizando procedimento de cálculo do ponto médio de um segmento e questionando os alunos sobre como proceder em divisões em mais do que duas partes proporcionais.

Atividade 5

Objetivo: Determinar o ponto de interseção entre duas retas.

Orientações aos professores: Esta atividade será realizada em duplas. Acreditamos que os alunos resolvam esta atividade a partir da sua representação gráfica de duas retas e de resolução de sistemas lineares. Como é possível que ocorram diferentes formas de resolução, as duplas que apresentarem soluções diferentes podem compartilhá-las com os demais alunos.

5.1

(a) Represente no plano cartesiano a reta r, cuja equação reduzida é y = 2x+1

(b) Represente, no mesmo plano, a reta s, de equação y= 3x+2

(c) Observando estas retas no plano, você acredita que exista algum ponto que pertence ao mesmo tempo à reta r e à reta s? Você consegue identificá-lo ao observar os gráficos?

(d) Como você faria para determinar, algebricamente, as coordenadas deste ponto?

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao apresentar nossa pesquisa, formulamos a seguinte questão: “Assumindo uma perspectiva construtivista de aprendizagem, no sentido apresentado por Simon (1995), como elaborar e desenvolver uma trajetória hipotética de aprendizagem no caso particular da Geometria Analítica?”

Em nosso grupo de pesquisa, tivemos várias oportunidades para discutir que mesmo se admitindo que a aprendizagem dos alunos depende consideravelmente do tipo e da qualidade de ensino que seu professor propõe e que, com as contribuições das teorias construtivistas, há alternativas de construirmos trajetórias que potencializem as aprendizagens dos alunos, não é simples transitar do campo das ideias para o campo da prática. Uma série de fatores foram sendo observados ao longo de nossa investigação:

a) a ausência de um debate curricular mais profundo nas escolas, em torno de questões basilares, como: por que ensinamos Matemática, e qual seu papel na formação dos estudantes de Ensino Médio? O que priorizar na seleção de conteúdos? Selecionado um conteúdo, o que é mais relevante ser destacado? Num caso particular como o da Geometria Analítica, por que ensiná-la é importante?;

b) a ausência de um debate mais profundo sobre os conhecimentos pedagógicos ou didáticos que envolvem a elaboração de formas de abordar um dado conteúdo – no caso da Geometria Analítica, por exemplo, são essenciais nos dias de hoje contribuições sobre registros de representação, uso de softwares pelos alunos, conceitos e procedimentos; ainda circulam ideias equivocadas como a de que “os alunos constroem seus conhecimentos sozinhos”, minimizando-se o papel do professor como responsável pela interação entres alunos e conhecimentos ou, no outro extremo, prevalece a concepção de que o professor precisa transmitir todo o conhecimento, pois os alunos não são capazes de “pensar” e propor suas soluções para problemas apresentados;

c) a defasagem entre o que se conhece hoje em termos de ensinar e aprender Matemática e o que é oferecido aos professores, tanto em sua formação inicial como em sua formação continuada, de modo que nós, professores, sentimo-nos desatualizados e com grandes dificuldades para implementar novas práticas.

Assim, ao longo de nosso trabalho, as afirmações de Simon (1995) vinham constantemente à nossa mente, ao evidenciar que embora o construtivismo tenha apresentado aos professores de Matemática caminhos proveitosos para o entendimento de como se processam as aprendizagens, a tarefa da reconstrução de uma “Pedagogia da Matemática” baseada na visão construtivista é um desafio considerável.

Sobre como elaborar e desenvolver uma THA, observamos que nossa de planejamento escolar está muito associada a uma tarefa burocrática, pouco útil para o professor, talvez por sua generalidade e artificialidade. Assim, planejar THA como um desdobramento de um plano geral inicial costuma não fazer parte das rotinas do professor, que em geral usa um livro didático ou um material instrucional da própria Secretaria de Educação, sem se apropriar de objetivos, sem analisar a adequação das atividades e, desse modo, geralmente, percorrendo trilhas, junto com seus alunos, sem um mapa que os conduza.

Portanto foi muito rica para nosso desenvolvimento profissional a noção de THA formulada por Simon (1995). Isso não significa que colocá-la em prática foi simples, especialmente quando tentamos elaborar atividades de aprendizagem considerando nossas hipóteses de professor sobre o desenvolvimento do pensamento e aprendizagem dos alunos em relação a um dado tema.

Embora conscientes de que nós, professores, não podemos ser meros aplicadores de atividades, sem conhecer seus objetivos e os fundamentos didáticos que as sustentam, percebemos muito claramente as dificuldades de propô-las. Mas mais complexa ainda foi a tarefa de tentar comunicá-las aos colegas que as utilizariam com seus alunos em sala de aula, sabendo que a mera oferta de uma THA não seria suficiente para proporcionar aprendizagem: sua efetivação dependeria fortemente da atuação do professor.

No que diz respeito a esse ponto, retomamos as preocupações que Gómez e Lupiáñez (2007) trazem para o debate, como as expressas por Gravemeijer44 (2004, p. 107 apud GÓMEZ; LUPIÁÑEZ, 2007). Esses autores reconhecem a dificuldade que teriam os professores para construir THA como as que são produzidas pelos

44 _{GRAVEMEIJER, K. Local instruction theories as means of support for teachers in reform} mathematics education. Mathematical Thinking and Learning, Philadelphia, 6 (2), p. 105-128, 2004.

investigadores. No entanto afirmam que isso não quer dizer que a única coisa que se pode entregar aos professores sejam meras sequências de ensino para usar. Gravemeijer45 (2004 apud GÓMEZ; LUPIÁÑEZ, 2007) sugere assim dois elementos que podem ser úteis para os professores: (a) um marco de referência e (b) sequências de atividades que lhes sirvam de exemplo. Mas questiona: Que pode fazer um professor com essa informação? Como pode usá-la para produzir e revisar sistematicamente sua própria THA para um tema, um contexto e alunos reais?

Essas são questões a serem debatidas, especialmente num momento em que as políticas públicas priorizam a oferta de materiais prontos, apostando em sua eficiência, sem maior diálogo com os professores que os utilizam.

Outro ponto importante observado em nossa investigação foi o significado da expressão “trajetória hipotética”, bastante significativo; a analogia da viagem proposta por Simon (1995, p. 35) foi muito explicativa em nosso próprio percurso:

Façamos uma analogia: considere que você tenha decidido viajar ao redor do mundo para visitar, na seqüência, lugares que você nunca tinha visto. Ir para a França, depois Havaí, depois Inglaterra, sem uma série de itinerário a seguir. Antes, você adquire conhecimento relevante para planejar sua possível jornada. Você faz um plano. Você pode inicialmente planejar toda a viagem ou uma única parte dela. Você estabelece sua viagem de acordo com seu plano. No entanto, você deve fazer constantes ajustes, por causa das condições que irá encontrar. Você continua a adquirir conhecimento sobre a viagem e sobre as regiões que você deseja visitar. Você muda seus planos a respeito da seqüência do seu destino. Você modifica o tamanho e a natureza de sua visita, de acordo com o resultado da interação com as

Belgede DİYANET İŞLERİ BAŞKANLIĞI YAYINLARI MESLEKİ ESERLER Yayın Yönetmeni: Dr. Yüksel SALMAN. Yayın Koordinatörü: Yunus AKKAYA (sayfa 60-70)