Tekli ekziton (Exciton)

Bir elektron ve bir deşiğin aralarında çekici bir Coulomb etkileşmesiyle bağlı

olduğu, elektron ve deşiğin bu çekici bağ sayesinde beraber hareketi sonucu oluşan yapı literatürde ekziton olarak tanımlanır ve ile gösterilir. Şekil 5.2.’de sol üstte ekziton yapısı gösterilmiştir. Küresel bir kuantum nokta içerisindeki tekli ekizton sistemi için radyal Schrödinger dalga denklemi Denk. 5.1’de verilmiştir.

[ ⃗⃗ ( ⃗⃗) ⃗⃗ ( ⃗⃗ ) _{| ⃗ ⃗ |} ] ⃗ ⃗

⃗ ⃗ (5.1)

olarak yazılır. Bu denklemde ilk iki terim sırasıyla sistemdeki elektron ve deşik için kinetik enerji terimlerini, üçüncü terim ise elektron – deşik arasındaki çekici Coulomb potansiyelini temsil eder. ve sırasıyla elektron ve deşik için sınırlandırıcı potansiyellerini temsil etmektedir. Ekziton sisteminin dalga fonksiyonu ⃗ ⃗ ile enerji seviyeleri ise ile temsil edilir.

Ancak bu ifadeyi analitik olarak çözmek imkansız olmakla beraber direkt nümerik olarak çözmek de kolay değildir. Bu nedenle bu ifadenin çözümü için Hartree

𝑿

𝑿𝑿

𝑿

𝑿

𝒂

𝒄

𝒃

𝒅

yaklaşımı kullanılarak, elektronun, deşiğin oluşturmuş olduğu ortalama bir potansiyel etkisinde hareket ettiği, deşiğin ise ortamdaki elektronun oluşturduğu ortalama bir potansiyelde hareket ettiği düşüncesinden yola çıkarak radyal Schrödinger denklemi elektron ve deşik için sırasıyla,

[ ⃗⃗ (

⃗⃗) ] [ ⃗⃗ (

⃗⃗) ]

olarak yazılır (Sahin ve ark. 2012). deşiğin oluşturduğu, ise elektronun oluşturduğu Hartree potansiyelidir. elektron için, ise deşiğin radyal

dalga fonksiyonlarını temsil eder. elektronun sahip olduğu, ise deşiğin sahip olduğu enerjiyi göstermektedir (Şahin ve ark. 2012). Son olarak verilen bu iki denklemde, ve sırasıyla elektron ve deşiğin elektriksel yükleridir. Çok tabakalı kuantum nokta yapı için Schrödinger denklemi çözülürken kuantum mekaniksel süreklilik şartının sağlanması için BenDaniel-Duke sınır şartı uygulanmıştır (Luo ve ark. 2009; Peleshchak ve Bachynsky 2009). Şekil 5.1’deki göz önüne alınan potansiyel profiline göre, Denk. (5.2) ve Denk. (5.3) ile verilen ifadeler için BenDaniel-Duke sınır şartları | | (5.4) | | (5.5)

şeklinde ifade edilebilir. Bu ifadelerde ve sırasıyla elektron ve deşiğin ve materyalleri içerisindeki etkin kütleleridir. Tekli ekziton sistemi için Poisson denklemi çözülmesi sonucunda elektron ve deşik için Hartree potansiyelleri belirlenir. Elektron ve deşikler için sırasıyla Poisson denklemi, ara yüzey polarizasyonlarını da içerecek şekilde;

(5.7)

olarak verilir (Sahin ve ark. 2012). Bu iki denklemde olarak verilen elektron ve deşiğin içinde hareket ettiği malzemenin dielekrik geçirgenliğidir. ve sırasıyla elektron ve deşik yoğunluklarıdır. Elektron ve deşik için Denk. (5.2) ve Denk. (5.3)'ün çözülmesi sonucunda bulunan radyal dalga fonksiyonları kullanılarak yoğunluklar elde edilir. Elektron ve deşik için yoğunluklar sırasıyla

∑ ∑| | | | (5.8) ∑ ∑| | | | (5.9)

olarak verilir (Sahin ve ark. 2009). Bu ifadelerde spin ve manyetik dejenerelikleri, ve sırasıyla, tam dolu kabukların açısal momentum kuantum sayısı ve baş kuantum sayısıdır. son durumda kalan elektron veya deşik sayısı, ve q ise son durumdaki açısal momentum kuantum sayılarıdır. Tek ekziton durumunda bu yoğunluk ifadesi sadece son terimden ibaret olup elektron ve deşik için,

| | (5.10)

| | (5.11)

şeklini alır.

Şekil 5.2 gösterilen tekli ekziton sistemi incelendiğinde elektron, sadece sınırlandırıcı potansiyel ve deşiğin oluşturduğu potansiyelinin etkisindedir. Benzer şekilde deşik ise sınırlandırıcı ve elektronun oluşturduğu potansiyellerinin etkisinde hareket eder. Ekzitonlarla ilgili çalışmalar incelendiğinde elektron – deşik arasında çok küçükte olsa bir değiş – tokuş etkisi söz konusudur(Mlinar ve Zunger 2009; Bester ve ark. 2003; Brovelli ve ark., 2011). II – VI yarıiletkenlerinde elektron – deşik arasındaki değiş – tokuş enerjisi çok küçük bir değer olduğu için yapılan hesaplamalarda ihmal edilmiştir. Bu çalışmada da kullanılan CdSe yapısı için elektron deşik arasındaki değiş – tokuş enerjisi yaklaşık olarak 0.13 meV değerindedir (Brovelli ve ark., 2011; Chamarro ve ark., 1996). Bu nedenle yaptığımız

hesaplamalarda bu enerjiyi ihmal ettik. Tek Ekziton sisteminin elektronik ve optik özelliklerini belirlemek için Denk. (5.2), (5.3) ve Denk. (5.6), (5.7) denklemleri öz- uyumlu (self-consistent) bir şekilde çözülür. Şekil 5.3’te bu öz-uyumlu çözümde takip edilen ana basamaklar, bir akış diyagramı üzerinde gösterilmiştir. Başlangıç basamağında, herhangi bir etkileşme olmaksızın birbirinden izole edilmiş bir elektron ve deşiğin Schrödinger denklemi ayrı ayrı çözülür. Böylece sadece sınırlandırıcı potansiyel içinde hareket eden bir elektron ve deşiğin enerji seviyeleri ve dalga fonksiyonları belirlenmiş olur. Başlangıç dalga fonksiyonları, Denk. (5.10) ve Denk. (5.11)’de kullanılarak elektron ve deşik için olasılık yoğunluk dağılımları belirlenir. Öz- uyumlu döngünün birinci adımında, bu olasılık yoğunluklarıyla Denk. (5.6) ve (5.7)’de verilen Poisson denklemleri çözülerek elektrostatik Hartree potansiyelleri belirlenir. İkinci adımda ise birinci adımda belirlenen bu potansiyeller, Schrödinger denklemlerinde yerine konarak, denklemler çözülür ve yeni enerji değerleri ve dalga fonksiyonları belirlenir. Artık bu yeni enerji değerleri ve dalga fonksiyonları, elektron – deşik arasındaki çekici Coulomb potansiyelin etkilerini de içermektedir. Üçüncü adımda yakınsaklık kontrolü yapılır. Yeterli yakınsama sağlanırsa iterasyon orda kesilir. Eğer yeterli yakınsama sağlanmamışsa, en son elde edilen dalga fonksiyonları kullanılarak yeni yük yoğunlukları belirlenir ve birinci adıma geri dönülür. Bu döngü, yeterli yakınsama sağlanıncaya kadar devam ettirilir. Yakınsama sağlandıktan sonra döngüden çıkılarak elektronik ve optik özellikler belirlenir.

Schrödinger denklemlerinin çözümü, tamamen sayısal olarak matris köşegenleştirme tekniği kullanılarak yapılmıştır. Bunun için öncelikle incelenen yapı gerçek uzayda ve radyal doğrultuda h aralıklarla N parçaya bölünmüştür. Bundan sonraki aşamada, Schrödinger denklemleri, sonlu fark denklemleri kullanılarak N tane denklem takımı elde edilmiştir. Bu denklem sisteminin katsayılar matrisi oluşturulmuş ve böylece

özdeğer denklemi matris formuna getirilmiş olur. Bu matrisin özdeğer ve özvektörlerinin belirlenmesi için ALGLIB kütüphanesi kullanılmıştır. Burada şunu belirtmek gerekir ki; çekirdek/kabuk sınırında etkin kütle uyuşmazlığı göz önüne alınmış ve BenDaniel-Duke sınır şartı sağlanmıştır.

Elektrostatik potansiyellerin belirlenmesinde de benzer bir yol takip edilerek Poisson denklemleri yine gerçek uzayda ve radyal doğrultuda kesikli hale getirilmiş ve yine bir katsayılar matrisi oluşturulmuştur. Poisson denklemi bir sınır değer problemi olduğu için ve iki uçta potansiyelin değerleri bilindiği için, elde edilen bu üçlü köşegen (tridiagonal) matris, Gauss yok etme yöntemiyle çözülerek potansiyel profili belirlenmiştir. Burada da, çekirdek/kabuk sınırındaki dielektrik katsayı uyuşmazlığı dikkate alınmış ve hesaplamalar içerisine dahil edilmiştir. Böylece görüntü yüklerin oluşturdukları potansiyeller de göz önüne alınmıştır.

İkinci adımda birinci adım sonucunda elde edilen dalga fonksiyonları kullanılarak yoğunluklar elde edilir. Elektron ve deşik için elektrostatik potansiyellerin belirlenmesi amacıyla, ikici adımda elde edilen yoğunluklar kullanılarak, Poisson denklemi çözülür. Üçüncü adımda ise ikinci adımda belirlenen çekici Coulomb potansiyelleri Schrodinger dalga deklemine yazılır. Sonuç olarak ekziton sistemindeki bütün etkileşmelerin dahil edildiği denklem çözülür.

Şekil 5.3. Tekli ekziton sisteminin elektronik ve optik özelliklerinin belirlenmesi için izlenilen çözüm

şeması Evet 𝐾𝑒 𝑞𝑒𝜙 𝑉𝑒 𝑟 𝑅𝑛 𝑙𝑒 𝑟 𝜀𝑒𝑅𝑛 𝑙𝑒 𝑟 𝐾 𝑞 𝜙𝑒 𝑉 𝑟 𝑅𝑛 𝑙 𝑟 𝜀 𝑅𝑛 𝑙 𝑟 𝑒𝜅 𝑟 𝑒𝜙𝑒 𝑞𝑒𝜌𝑒 𝑟 𝜅 𝑟 𝜙 𝑞 𝜌 𝑟 Yakınsma yeterli mi Hayır Sonuçları sakla &

Optik özellikleri belirle

S elf -c onsi stent loop 𝐾𝑒 𝑉𝑒 𝑟 𝑅𝑛 𝑙𝑒 𝑟 𝜀𝑒𝑅𝑛 𝑙𝑒 𝑟 𝐾 𝑉 𝑟 𝑅𝑛 𝑙 𝑟 𝜀 𝑅𝑛 𝑙 𝑟 (i) (ii) (iii) Öz -u yum Döngüsü

Tekli ekziton için toplam enerji (Geçiş enerjisi) ifadesi;

olarak verilir (Şahin ve ark., 2012; Sattler 2011). Bu denklemde elektron ve deşiğin hapis olduğu malzemenin yasak enerji aralığıdır. , sırasıyla elektron ve deşik için Denk.(5.2) ve Denk(5.3)'ün öz-uyumlu bir şekilde çözülmesi sonucunda bulunan enerji değerleridir. ise elektron – deşik arasındaki çekici Coulomb enerjisidir. Yapılan öz-uyumlu çözüm sonucunda elektron ve deşik için hesaplanan enerjilerin içerisinde çekici Coulomb terimi iki kez hesaplanmıştır. Bu nedenle toplam enerjinin doğru hesaplanması için bir Coulomb terimi düşülmelidir. Ekziton sistemi için çekici Coulomb enerjisi,

( )

olarak verilir (Sahin ve ark. 2009). Bu ifadede ve sırasıyla, öz-uyumlu döngüye girmeden önce başlangıç basamağında herhangi bir Coulomb etkileşmesi olmaksızın hesaplanan, elektron ve deşiğin enerji değerleridir. Ekziton bağlanma enerjisi,

olarak tanımlanır (Tsuchiya 2000). Bağlanma enerjisi II – VI yarıiletkneleri için yaklaşık olarak arasında değişmektedir (Shumway ve ark. 2001; Bawendi ve ark. 1990, Fafard ve ark. 1995).