Demonstração. Suponha uma estrutura η qualquer e uma situação s qualquer. Pode ocorrer que toda situação t ∈ B seja incoerente40. Se isso for o caso, então η,t T p e η,t F p, para todo t ∈ B. Aplicando a definição 2.11-3 em η,t F p, ob-
temos η,s T ¬p, para todo t ∈ B. Daí, pela definição 2.11-6, obtém-se η, s T Bp e
η, s T B¬p. Tendo isto, aplicamos a definição 2.11-4 e chegamos a η, s T Bp∧ B¬p.
Portanto, a fórmula Bp ∧ B¬p é satisfatível.
Apesar de o operador B não possuir quaisquer das propriedades de onisci- ência lógica que explicitamos, o mesmo não ocorre com o operador L. Não é difícil perceber, através das definições dadas até então, que a fórmula (Lp∧L(p → q)) → Lq é válida.
Teorema 2.17. (Lp ∧ L(p → q)) → Lq
Demonstração. Suponha uma estrutura qualquerη e uma situação qualquer s tal que η,s T Lpe η,s T L(p → q). Pela definição 2.11-8, temos η,t T pe η,t T p→ q,
para todo t ∈ B∗41. Logo, η,t
T q, para todo t ∈ B∗42. Sendo assim, pela definição
2.11-8, obtemos η,s T Lq. Se, a partir das hipóteses η,s T Lp e η,s T L(p →
q) obtivemos η,t T Lq, concluímos que a fórmula (Lp ∧ L(p → q)) → Lq é válida,
dado que tanto η quanto s foram escolhidos arbitrariamente. Portanto, na lógica de Levesque, as crenças implícitas são fechadas sob implicação, ao contrário das crenças explícitas.
Outra propriedade dessa lógica é a seguinte: a regra ϕ / Lϕ é válida. Ou seja, todos os agentes acreditam implicitamente em todas as fórmulas válidas.
40Intuitivamente, isso significa dizer que na dada situação s, todas as situações consideradas pelo
agente como sendo alternativas podem ser incoerentes.
41Deve-se ter sempre em mente que B∗diz respeito apenas às situações completas.
42Nessa lógica, não há alterações na interpretação dos conectivos clássicos. Deste modo, as rela-
ções de suporte para → podem ser definidas de modo usual:
• η, s Tϕ→ ψ se, e somente se, η, s Fϕ ou η, s Tψ;
Teorema 2.18. Se ϕ, então Lϕ.
Demonstração. Suponha uma fórmula válida qualquer; isto é, suponha que ϕ. Suponha então uma estrutura η qualquer, uma situação s ∈ S qualquer, e também alguma situação t ∈ S que seja compatível com s. Se ϕ, então η,t T ϕ, para todo
t ∈ B∗ (pela definição 2.13). Daí, η,s T Lϕ (definição 2.11-8). Dado que tanto η
quanto s foram escolhidos arbitrariamente, concluímos então com: Se ϕ, então Lϕ.
De tudo o que foi colocado até então, podemos observar dois detalhes rele- vantes. O primeiro é 2 (Bp ∧ B(p → q)) → Bp. Ou seja, as crenças explícitas não são fechadas sob implicação. Com relação a este detalhe, o que realmente nos interessa no momento é aquilo que foi utilizado para a demonstração de seu contra-exemplo, isto é, (Bp ∧ B(p → q)) ∧ ¬Bq. Na demonstração utilizamos as situações incoerentes.
Note-se, também, que a equivalência B(p ∧ ¬p) ↔ (Bp ∧ B¬p) é válida.
Teorema 2.19. B(p ∧ ¬p) ↔ (Bp ∧ B¬p)
Demonstração. Para provar isso, precisamos provar duas coisas: 1. B(p ∧ ¬p) → (Bp ∧ B¬p);
2. (Bp ∧ B¬p) → B(p ∧ ¬p).
• Caso 1. B(p ∧ ¬p) → (Bp ∧ B¬p)
Demonstração. Suponha η, s T B(p ∧ ¬p), para uma estrutura η e uma situ-
ação s qualquer. Assim, pela definição 2.11-6, η,t T p∧ ¬p, para todo t ∈ B.
Deste modo, η,t T p e η,t T ¬p, para todo t ∈ B (definição 2.11-4). Daí,
por 2.11-6, η,s T Bp e η,s T B¬p. E por 2.11-4, obtemos η, s T Bp∧ ¬Bp.
Como η,s T B(p ∧ ¬p) é nossa hipótese inicial, concluímos η, s T B(p ∧ ¬p) →
(Bp ∧ B¬p). Dado que tanto η quanto s foram escolhidos arbitrariamente, ge- neralizamos o resultado para B(p ∧ ¬p) → (Bp ∧ B¬p).
Demonstração. suponha η, s T Bp∧ B¬p, para uma estrutura η qualquer e
uma situação s qualquer. Assim, por 2.11-4, η,s T Bp e η,s T B¬p. Deste
modo, por 2.11-6, η,t T p e η,t T ¬p, para todo t ∈ B. Daí, η,t T p∧ ¬p,
para todo t ∈ B (definição 2.11-4). E por 2.11-6, η,s T B(p ∧ ¬p). Como η, s T
Bp∧ B¬p é nossa hipótese inicial, concluímos η, s T (Bp ∧ B¬p) → B(p ∧ ¬p).
Dado que tanto η quanto s foram escolhidos arbitrariamente, generalizamos o resultado com (Bp ∧ B¬p) → B(p ∧ ¬p).
Tendo provado os casos 1 e 2, concluímos a prova do teorema. Portanto, B(p ∧ ¬p) ↔ (Bp ∧ B¬p).
Em Levesque, o seguinte resultado também pode ser derivado: • (Bp ∧ B(p → q)) → B(q ∨ (p ∧ ¬p))
O esquema acima mostra que, ou o agente é logicamente onisciente, ou então há alguma situação que ele considera possível que é incoerente – isto é, o agente sofre de atenção desconexa.
Teorema 2.20. (Bp ∧ B(p → q)) → B(q ∨ (p ∧ ¬p))
Demonstração. Suponhaη, s T Bpe η,s T B(p → q), para uma estrutura η e uma
situação s qualquer. Assim, pela definição 2.11-6, η,t T pe η,t T p→ q, para todo
t∈ B. Temos a partir daí dois casos possíveis.
• Caso 1. Se η,t T pe η,t T p→ q, então deve ocorrer η,t T q, para todo t ∈ B.
Pois, η,t T p→ q se, e somente se, η,t F p ou η,t T q. Como já se aceitou
η,t T p, devemos inferir η,t T q.
• Caso 2. Nesse caso, assumimos o contrário; isto é, assumimos que, apesar de η,t T pe η,t T p→ q, ocorre η,t F q. Ora, se η,t T p→ q, então η,t F pou
η,t T q. Mas, foi assumido que η,t F q. Deste modo, devemos ter η,t F p.
Daí, pela definição 2.11-3, η,t T ¬p. Ora, já havíamos antes obtido η,t T p,
para todo t ∈ B. Segue-se daí, por 2.11-4, η,t T p∧ ¬p, para todo t ∈ B
Tendo isto, para todo t ∈ B, ou η,t T qou η,t T p∧ ¬p; isto é, η,t T q∨ (p ∨
hipótese inicial temos η,s T (Bp∧B(p → q)). Logo, η, s T (Bp∧B(p → q)) → B(q∨(p∧
¬p)). Dado que tanto η quanto s foram escolhidas arbitrariamente, generalizamos o resultado para (Bp ∧ B(p → q)) → B(q ∨ (p ∧ ¬p)).
A partir deste resultado e do resultado (Bp ∧ B¬p) ↔ B(p ∧ ¬p), podemos levantar objeções contra a solução de Levesque. Observem o esquema (Bp∧B¬p) ↔ B(p ∧ ¬p). Ele diz que o agente pode ter crenças inconsistentes se, e somente se, toda situação que o agente considera possível for incoerente. Porém, como aponta Huang & Kwast, (1991, p. 7), “imaginar um agente que considera possível situações incoerentes é geralmente contra nossas intuições”. Outra crítica levantada pelos autores é que a lógica de Levesque sofre de um problema crítico de representação, dado que a linguagem não permite reiteração das modalidades B e L (HUANG & KWAST, 1991, p. 7).
Apesar de havermos mostrado a atuação das situações incoerentes na falha de onisciência lógica, bem como na possibilidade de o agente ter crenças inconsis- tentes, também é possível adicionar43 uma propriedade que considera a falha em
onisciência lógica a partir da falha em “estar ciente” dos conceitos relevantes. Essa propriedade é inserida a partir da adição, à linguagem inicial, do operador A (de awareness). Em Levesque, o operador A pode ser também um dos motivos para a falha da onisciência lógica. Sendo assim, não é necessariamente por conta das situações incoerentes que o agente falha em ser logicamente onisciente, mas tam- bém por falta de “consciência” acerca de alguma proposição que é relevante para a derivação da crença.
O operador A funciona da seguinte maneira: Aϕ é uma abreviação para ‘o agente está ciente de ϕ’. A condição de suporte para A é: η,s T Aϕ se, e somente
se, η,s T B(ϕ ∨ ¬ϕ). Assim, uma situação s suporta a verdade de Aϕ se, e somente
se, suporta a verdade ou a falsidade de ϕ.
Com base em todas as definições apresentadas até então – incluindo o ope- rador A – é possível notar o seguinte. Como já foi visto, nem todas as fórmulas válidas devem ser acreditadas explicitamente. Contudo, uma fórmula válida é acreditada tão logo um agente esteja ciente de todas as proposições primitivas que ocorrem nela. Deixando a ideia mais clara, temos o seguinte. Suponha por exem- plo uma fórmula qualquer ϕ. Seja Prim(ϕ)44 o conjunto das proposições primitivas
43Como mostraram FAGIN & HALPERN (1988, p. 47).
que ocorrem em ϕ. Seja Aϕ a abreviação para Ap, sobre todo p ∈ Prim(ϕ). Nessa interpretação, a seguinte proposição é satisfeita: