II. MEVCUT DURUM ANALİZİ
2.4. TÜRKİYE’DE COĞRAFİ İŞARETLERE İLİŞKİN TEŞVİK VE DESTEKLER
As atividades foram divididas em três blocos:
a) Bloco 1: Investigação e construção de propriedades entre figuras semelhantes no plano e no espaço, com o uso de material concreto;
b) Bloco 2: Investigação e construção de propriedades entre figuras planas semelhantes, utilizando um ambiente informatizado de geometria dinâmica. c) Bloco 3: Dedução e aplicação das propriedades de figuras semelhantes.
3.2.1 Bloco 1: Validações Empíricas com Material Concreto
Este bloco é formado por quatro atividades que foram dispostas uma em cada folha e entregues para cada dupla de alunos. A atividade foi apresentada da seguinte maneira:
Cada dupla receberá um pantógrafo, uma imagem do mapa do Brasil e uma cartolina branca em que será desenhada a figura ampliada. Esta cartolina como a imagem do mapa serão fixadas na mesa com uma fita adesiva.
Atividade 1: Utilizando o Pantógrafo
Material disponível: régua, transferidor, calculadora, lápis e borracha.
Você esta recebendo uma imagem do mapa do Brasil e um instrumento chamado Pantógrafo. Utilizando o Pantógrafo sobre o mapa do Brasil, obtêm-se uma nova figura. Observe e investigue características comuns entre as duas figuras. Escreva abaixo o que descobrir e tire suas conclusões.
O instrumento pantógrafo junto com o mapa a ser ampliado
O Pantógrafo é um sistema destinado a ampliar ou reduzir figuras. Sua origem é desconhecida, mas há registros de que já era utilizado, por alguns povos, mesmo antes de Cristo. O matemático Sylvester (1814 a 1897), bastante conhecido por seus estudos na área de álgebra, deu atenção aos sistemas articulados, desenvolvendo um sistema destinado a realizar rotações de figuras. Outro matemático que trabalhou com esses instrumentos foi Kempe (1841 a 1920), sendo inventor de dois sistemas, um que permite refletir figuras e o outro que permite transladá-las.
Este instrumento é um sistema articulado que realiza mecanicamente a ampliação (ou redução) de figuras. Ele consiste essencialmente em quatro hastes, AL,
AF, CS e BS conforme ilustrado na figura. O sistema é montado sendo articulado nos pontos A, B, C e S de forma a permitir rotação das hastes em torno desses pontos e de forma que ABSC seja um paralelogramo. Nota-se no pantógrafo construído para aplicação da seqüência, que o ponto S foi deslocado um pouco à direita da articulação próxima dele para ficar mais fácil de inserir o lápis no momento da construção do instrumento e conseqüentemente, o ponto B também não coincide com a outra articulação.
Para que o pantógrafo realmente funcione como um “ampliador” de figuras é preciso que F, S e L estejam alinhados e que
FS FL AB AL =
Pantógrafo construído para aplicação da seqüência
Para usar o instrumento, fixamos, numa mesa, o ponto F. Observe que os pontos L e S, percorrem a figura a ser reproduzida, assumindo os papéis de lápis ou ponta seca de um compasso. A figura é ampliada se escolhermos o ponto S como ponta seca e é reduzida se escolhermos L como ponta seca.
Observamos que a construção do pantógrafo é baseada em homotetias, pois F, S e L são colineares, sendo assim, L é a imagem homotética de S por uma homotetia de centro F e razão ___
___
FC FA
.
Em termos didáticos, podemos dizer que o pantógrafo possibilita um estudo preliminar do conceito de homotetia, garantindo a participação do aluno no processo da ampliação (ou redução) de uma figura e na investigação das propriedades existentes entre a figura original e a ampliada (ou reduzida), tornando o processo de ensino aprendizagem mais significativo.
Para a utilização do pantógrafo o aluno receberá todas as instruções necessárias. Prevalecerá nesta atividade a ampliação da figura dada, que será a imagem de um mapa do Brasil com a marcação de alguns pontos representando cidades dos respectivos estados. O fator de ampliação dos pantógrafos a serem utilizados é de 1,5 cm.
Nesta atividade os alunos deverão investigar características comuns entre as duas figuras, a que eles receberam e a sua ampliação construída pelo pantógrafo.
enunciado sem saber ao certo o que realmente desejamos. Se isto realmente acontecer daremos a seguinte instrução: estabeleça relações entre medidas da figura dada com a figura obtida.
Deixaremos o aluno livre para decidir sobre as estratégias de comparação que utilizará, lembrando que terá à sua disposição uma régua, um transferidor, uma calculadora, uma borracha e um lápis. No entanto, ao utilizar os referidos instrumentos, o aluno fará uma transição do nível G0 para o nível G1.
Esperamos que o aluno perceba que para encontrar características comuns entre as duas figuras a simples observação não será suficiente, o uso da régua ou do transferidor, ou de ambos será indispensável. Nesse momento, caso não percebam a necessidade do uso desses instrumentos, será sugerido a eles.
Uma das estratégias que o aluno poderá utilizar é traçar segmentos de retas unindo pontos no mapa dado, medi-los e comparar com os segmentos de retas correspondentes do mapa ampliado para verificar se aumentaram na mesma razão. Uma outra estratégia é ligar todos os pontos com segmentos de retas nos dois mapas, de modo a formar um polígono, desta forma além de comparar os lados dos polígonos o aluno poderá também encontrar as medidas dos ângulos correspondentes e compará-los.
Espera-se que os alunos tenham iniciativa na escolha de suas estratégias, mas se apresentarem alguma dificuldade poderemos lançar algumas instruções: 1) Comparar segmentos de retas no mapa dado com segmentos correspondentes do mapa ampliado. 2) Comparar as medidas dos ângulos formados por dois segmentos de retas no mapa dado com os correspondentes do mapa ampliado. Como já mencionamos, estaremos fazendo a transição entre os níveis G0 e G1, neste momento. Começamos em nível G0, com a manipulação do instrumento pantógrafo para a ampliação de uma figura e validações perceptivas através da observação entre a figura dada e a ampliada e posteriormente indicamos uma técnica de resolução com o uso de instrumentos (caso o aluno não tenha decidido utilizá-los por si mesmo), por isso estaremos no nível G1.
Antes da entrega dos kits aos alunos, serão fixadas na parede 6 cartolinas, com o desenho de um polígono qualquer em cada uma delas e diferentes entre si.
Cada dupla montará o seu kit, ou seja, a tela de acrílico e o suporte com o orifício, que serão colocados em uma carteira de frente a uma das cartolinas e um dos alunos da dupla ficará sentado para observar através do orifício do suporte e desenhar sobre o acrílico a figura fixada na parede.
Tela de acrílico e o suporte com o orifício
Essa atividade tem por objetivo investigar características comuns presentes na figura desenhada no acrílico com o da cartolina e diferencia-se da anterior, pois privilegia a semelhança via perspectiva cônica.
Acreditamos que nesta atividade o aluno não terá dúvidas quanto ao enunciado, Atividade 2: Projeção Cônica
Material disponível: régua, transferidor, calculadora, lápis e borracha.
Você está recebendo um kit composto por uma tela de acrílico e um suporte. Desenhe sobre o acrílico a figura fixada na parede. Essa figura deverá ser observada através do orifício do suporte. Observe e investigue características comuns entre as duas figuras. Escreva abaixo o que descobrir e tire suas conclusões.
O aluno terá novamente à sua disposição uma régua, um transferidor, uma calculadora, um lápis e uma borracha e acreditamos que não haverá necessidade de uma intervenção para o uso desses instrumentos, uma vez que já foram utilizados na atividade 1. Caso isto ocorra, será orientado a utilizá-los. Como na atividade anterior, no momento em que são usados os instrumentos disponíveis, estaremos fazendo a transição entre os níveis G0 e G1.
Uma estratégia possível é medir os segmentos correspondentes entre as duas figuras no plano, ou seja, do acrílico e da cartolina, e verificar se são proporcionais. Além disso, poderá encontrar os ângulos internos das duas figuras e observar o que acontece.
Esperamos que o aluno perceba que a estratégia utilizada na atividade anterior poderá ser adequada a esta atividade e assim as chances de apresentarem qualquer dificuldade na investigação de regularidades entre as figuras serão mínimas, mas se mesmo assim aparecerem, daremos a seguinte instrução: compare os segmentos correspondentes da figura do acrílico com os da figura fixada e observe qual a relação entre os ângulos correspondentes entre as duas figuras.
Entregaremos para cada dupla um par de fotos em uma mesma folha ou em folhas separadas, dependendo do tamanho de cada uma, em que uma é a ampliação da outra. Preocupamo-nos em trabalhar com fotos de animais, principalmente cachorros, por fazer parte da vida do aluno e dar maior motivação para a realização da atividade e também para colocar um fator de proporcionalidade diferente para cada par de fotos, isso mostra que a ampliação de uma imagem pode ser feita de várias maneiras, sendo importante compartilharmos os dados obtidos nesta atividade.
Atividade 3: Comparando Fotos
Material disponível: régua, transferidor, calculadora, lápis e borracha.
Você está recebendo duas fotos de tamanhos diferentes. Observe e investigue características comuns entre as duas fotos. Escreva abaixo o que descobrir e tire suas conclusões.
Fotos de animais: cada uma tendo a sua ampliação ou redução
O objetivo dessa atividade é estabelecer relações e encontrar características comuns entre as duas fotos recebidas.
O aluno terá toda autonomia para escolher o método de comparação e investigação de propriedades comuns entre as duas fotos, tendo em mãos os mesmos instrumentos das atividades anteriores.
Uma maneira de estabelecer relações entre as duas fotos é escolher alguns pontos em uma delas e traçar segmentos de retas, por exemplo, segmentos que representam a distância entre as duas orelhas, ou entre os dois olhos, ou entre as duas patas, ou entre o nariz e a pata, enfim, mas com a preocupação de escolher pontos bem determinados para poder traçar os segmentos correspondentes na outra foto. Desta forma o aluno poderá verificar que a razão entre os segmentos correspondentes entre as duas fotos é constante. Temos aqui a transição entre os níveis G0 e G1.
Nesta atividade talvez o aluno apresente dificuldades para utilizar os instrumentos disponíveis para estabelecer as relações necessárias, pois não haverá nas fotos nenhum ponto pré-determinado, ou segmento para poder se basear. Lembramos que na atividade 1 tínhamos os pontos que indicavam os estados no mapa e na atividade 2 tínhamos os segmentos da figura que formavam o polígono.
Supondo que estas dificuldades sejam reais, faremos intervenção dando as seguintes instruções: trace segmentos de retas em uma das fotos utilizando pontos bem determinados e compare com os segmentos correspondentes da outra foto.
Selecionamos para esta atividade objetos que fazem parte do cotidiano do aluno. A manipulação de tais objetos poderá despertar a curiosidade dos alunos, possibilitando um aprendizado mais significativo. São eles: duas embalagens de vidro de café solúvel (grande e pequeno); duas caixas de amido de milho (grande e médio); uma caixa de adoçante (grande) e uma caixa de solução para limpeza de lentes; uma lata de milho e uma de pêssego; uma lata de cereal e uma lata de cola de contato; uma embalagem de cotonetes e um filtro de papel para café. Cada dupla receberá um par desses objetos.
Embalagens semelhantes a cada par
Nessa atividade desejamos que o aluno encontre em sua observação e investigação, similaridades entre os dois objetos. Preocupamo-nos em trabalhar com embalagens de mesmo produto e produtos diferentes para ampliar a exploração de semelhança em figuras tridimensionais. Além disso, mostraremos no momento da institucionalização, exemplos de embalagens de um mesmo produto de diferentes
Atividade 4: Comparando Objetos
Material disponível: régua, transferidor, calculadora, cordão, lápis e borracha. Você está recebendo dois objetos de tamanhos diferentes. Observe e investigue características comuns entre os dois objetos. Escreva abaixo o que descobrir e tire suas conclusões.
Objetos não semelhantes
Como alguns objetos apresentam superfícies circulares, acrescentamos no material disponível um cordão que possibilitará a medição do comprimento dessas superfícies, mas lembrando que não faremos nenhuma intervenção quanto ao uso desses materiais.
Para estabelecer relações entre os objetos poderemos medir alguns segmentos de retas correspondentes entre eles e verificar se a constante de proporcionalidade é constante. No caso das regiões circulares, uma possibilidade é contorná-las com o cordão, fazer uma marcação do tamanho que foi utilizado, ou cortá-lo e em seguida medir o seu comprimento para relacionar com outros segmentos que sejam correspondentes. Como nas atividades anteriores, nesse momento temos a transição entre os níveis G0 e G1.
Acreditamos que as duplas que receberem os objetos que não rolam, ou seja, sem superfícies circulares, não terão dificuldades em estabelecer uma estratégia para comparar os dois objetos, mas como precisamos estar preparados para eventuais dúvidas, será sugerido que comparem os segmentos correspondentes entre os dois objetos. Já para as duplas que receberem os objetos que rolam, poderemos intervir da seguinte maneira: 1) Encontre um jeito de medir as regiões circulares dos objetos entregues; 2) Compare essas medidas entre os dois objetos de modo que sejam medidas correspondentes entre eles.
Após desenvolver as quatro atividades deste bloco faremos a institucionalização do conceito de figuras semelhantes, mostrando ao aluno que este conceito é extensivo
A institucionalização é o momento de compartilhar o que os alunos fizeram entre eles, o que foi observado durante o experimento, a que conclusão chegaram, para poder definir um novo conceito inserido nesse processo todo.
Institucionalização:
3.2.2 Bloco 2: Validações Empíricas com o Software Cabri-Géomètre
As atividades deste bloco estão inseridas na Geometria Espaço-gráfica, nível G1, cuja validação permanecerá ainda perceptiva, ou seja, a justificativa de propriedades será feita com o auxílio do Cabri-Géomètre.Será entregue para cada dupla uma folha que contém o enunciado das atividades deste bloco, dispostas uma em cada página, juntamente com um disquete. Gravaremos neste disquete nove arquivos que são representações de figuras, devidamente nomeados; os alunos terão que abrir o arquivo certo no início de cada atividade.
As figuras inseridas logo após o enunciado de cada atividade ao longo deste bloco representam fielmente as que os alunos terão em seus arquivos. A primeira atividade foi apresentada da seguinte maneira:
Duas figuras são semelhantes se a razão entre dois segmentos correspondentes quaisquer é constante.
Atividade 1: Abrir o arquivo figura 1.fig. Construa um polígono "maior" mas semelhante ao polígono dado. Explique como você fez.
Pelas atividades do bloco anterior o aluno tem o conhecimento que para que duas figuras sejam semelhantes a razão entre dois segmentos correspondentes quaisquer deve ser constante. Assim, esta atividade tem por objetivo verificar se o aluno sabe aplicar esse conceito para obter a ampliação da figura dada garantindo a semelhança entre elas, cujas medidas não são explicitadas no polígono.
O polígono original foi construído numa malha quadriculada para facilitar ao aluno a sua ampliação. Desta forma, ele poderá contar as unidades de cada lado do polígono, os que ficam sobre os pontos da malha, escolher um fator para a sua ampliação, por exemplo, duplicar, triplicar, . . ., e unir os lados desse novo polígono, garantindo que os seus ângulos não sejam modificados. Neste momento acreditamos que os alunos já saibam que os ângulos correspondentes entre duas figuras semelhantes são congruentes, mesmo sem termos mencionado na institucionalização do bloco anterior.
Esperamos que cada dupla utilize uma razão diferente para obter a ampliação do polígono, o que resultará em diversas representações. Será obtido algo como se segue:
Esta atividade diferencia-se da anterior por não termos construído o triângulo numa malha quadriculada, mas não é nosso objetivo dificultar a atividade e sim observar se realmente o aluno tem o conhecimento das propriedades essenciais para garantir que duas figuras sejam semelhantes.
Uma das maneiras de resolvermos esta atividade seria usando a homotetia. Lembrando que na familiarização com o software Cabri-Géomètre foi trabalhado esta ferramenta com os alunos, sem mencionar a semelhança de figuras, não podemos descartar a hipótese de algum aluno perceber que com esta ferramenta é possível construir a ampliação de uma figura assegurando a semelhança entre elas.
Utilizando um fator de ampliação 2 poderemos obter algo como:
Possível representação: ampliação do triângulo usando homotetia.
Atividade 2: Abrir o arquivo figura 2. fig. Construa um polígono "maior" mas semelhante ao polígono dado. Explique como você fez.
Outra maneira de obter a ampliação do triângulo e talvez a mais provável de ocorrer, seria primeiramente prolongar dois de seus lados com semi-retas, a partir de um de seus vértices e, por exemplo, dobrar os seus lados usando a ferramenta simetria central ou a circunferência, obtendo assim o terceiro lado do triângulo aumentado na mesma razão, ou ainda considerar um ponto fora do triângulo e traçar semi-retas unindo este ponto a cada um de seus vértices e novamente, através da simetria central ou da circunferência, dobrar (podendo escolher outro fator de ampliação) cada segmento que une o ponto fora do triângulo com um de seus vértices.
Priorizaremos neste momento, estas duas últimas resoluções, pois é a partir da próxima atividade que enfatizaremos a homotetia como ferramenta para obter figuras semelhantes, mesmo sabendo que ela está presente nestas construções.
Veja algumas possibilidades de resolução:
Possível representação: ampliação do triângulo com o uso da simetria central, prolongando os lados do triângulo a partir de um dos seus vértices.
Possível representação: ampliação do triângulo com o uso da circunferência através de um ponto fora dele.
É importante ressaltar que na familiarização com o software Cabri-Géomètre, trabalhamos com a construção de figuras homotéticas com o uso da ferramenta homotetia, como também sem o seu uso, sendo assim, o aluno terá condições de resolver a atividade por um destes dois processos sem dificuldades, mas se precisarem de algum tipo de ajuda apresentaremos duas: o uso da simetria central ou da circunferência para aumentar os lados do triângulo.
A partir dessa atividade queremos que o aluno investigue e descubra a relação que existe entre uma figura qualquer e a sua homotética com razão maior que um. A homotetia neste caso é uma transformação que permite à ampliação de uma figura preservando propriedades que as tornam semelhantes. As propriedades que a transformação homotetia preserva são: segmentos correspondentes paralelos e proporcionais; ângulos correspondentes congruentes.
A representação desta questão é a seguinte:
Atividade 3: Abrir o arquivo figura 3.fig. Crie um ponto qualquer O. Utilize o menu “homotetia” para criar uma figura homotética à figura dada utilizando o ponto O e com razão o número 3. Que relação existe entre as duas figuras? Justifique.
Acreditamos que o aluno perceba em sua investigação que os segmentos correspondentes das figuras homotéticas são proporcionais, assim como os seus ângulos correspondentes são congruentes, podendo concluir não apenas que a figura homotética é uma ampliação da figura dada, mas também que essas duas figuras são semelhantes entre si. E caso a propriedade dos segmentos correspondentes serem paralelos não seja observada, faremos uma intervenção com a seguinte questão: Sabemos que os segmentos correspondentes das figuras homotéticas são proporcionais, mas existe uma outra relação entre esses segmentos. Qual seria?
Esta atividade tem por objetivo mostrar novamente a homotetia como ferramenta para obter figuras semelhantes, mas com uma diferença, o fator de proporcionalidade é menor do que um, obtendo assim a redução da figura dada, não dando ao aluno a falsa impressão que a homotetia só faz a ampliação de figuras.
Outro objetivo presente é transladar a figura homotética e estabelecer relações entre as três figuras, ou seja, verificar qual a relação existente entre a figura homotética com a transladada e a figura dada com a transladada.
Ao final da atividade queremos que o aluno perceba que a figura dada é semelhante às outras duas e que a figura homotética é congruente à transladada. É
Atividade 4: Abrir o arquivo figura A.fig.
a) Construa uma figura homotética à figura dada, de centro O qualquer, e com razão o número 0,5. Dê o nome de figura B. Que relação existe entre as duas figuras? Justifique.
b) Crie um vetor AB e translade a figura B segundo este vetor. Dê o nome de figura C. Que relação existe entre as figuras (B e C) e (A e C)? Justifique. c) Movimente o ponto O e escreva suas observações.
discussão no final da atividade 6, no momento da institucionalização do conceito de homotetia. Lembramos que já foi trabalhado o conceito sobre figuras congruentes na familiarização com o Cabri.
Não nos esquecendo que o Cabri-Géomètre é um software dinâmico, pedimos ao aluno que movimente o ponto O para constatar que as propriedades existentes entre as três figuras se mantêm.
Segue-se abaixo a resolução desta atividade:
Possível representação: redução do polígono fig.A usando homotetia obtendo fig.B e translação do