II. MEVCUT DURUM ANALİZİ
2.7. GZFT ANALİZİ
4.4.1 Bloco 1: Validações Empíricas com Material Concreto
Ao propor essa atividade tínhamos como objetivo que os alunos investigassem características comuns entre a imagem do mapa dado com a sua ampliação obtida pelo pantógrafo.
Iniciamos a atividade separando a dupla 1 e a dupla 2 e ao entregar o pantógrafo, o mapa do Brasil e a cartolina, demos todas as orientações necessárias para o manuseio do instrumento sem fornecer nenhum manual do mesmo. Vale lembrar que os alunos das duas duplas nunca tinham visto um pantógrafo e ao receberem esse instrumento mostraram-se curiosos em saber o que era e como funcionava.
Ambas as duplas fixaram a cartolina sobre a mesa com fita adesiva e o mapa do Brasil no seu canto esquerdo inferior. Em seguida, depois de algumas tentativas e com a ajuda da pesquisadora fixaram o pantógrafo sobre a mesa com uma morsa, de modo que o lápis responsável pela ampliação da figura não ultrapassasse a superfície da cartolina ao contornar o mapa dado com o outro lápis.
No momento em que estavam fazendo o contorno do mapa, perceberam a necessidade de pressionar levemente sobre o outro lápis do pantógrafo para que os traços do desenho obtido ficassem mais fortes. Durante essa construção, sugeri que eles marcassem também os pontos que indicavam as cidades. Levaram em média 15 minutos para terminarem a construção, sempre um auxiliando o outro. Só recordando que neste momento a atividade estava no nível G0 e quando passaram a usar algum material
Atividade 1: Utilizando o Pantógrafo
Material disponível: régua, transferidor, calculadora, lápis e borracha.
Você esta recebendo uma imagem do mapa do Brasil e um instrumento chamado Pantógrafo. Utilizando o Pantógrafo sobre o mapa do Brasil, obtêm-se uma nova figura. Observe e investigue características comuns entre as duas figuras. Escreva abaixo o que descobrir e tire suas conclusões.
Dupla 1 finalizando a ampliação do mapa dado com o uso do pantógrafo
Dupla 2 finalizando a ampliação do mapa dado com o uso do pantógrafo
Os alunos não apresentaram dificuldades quanto ao uso do pantógrafo e logo perceberam qual era a sua utilidade.
Descreveremos a seguir o desenvolvimento da atividade por cada dupla, iniciando com a dupla 1.
Após a construção, a dupla 1 me chamou e disse que a figura obtida era uma ampliação da outra e que não tinha mudado nada.
Ampliação do mapa com a utilização do pantógrafo da dupla 1
Questionei-os como poderiam verificar esse resultado e eles começaram a fazer medições tomando um segmento de reta de uma extremidade a outra do mapa dado e o seu correspondente do mapa ampliado. Em seguida, fizeram a diferença com as duas medidas encontradas, (21,5 cm e 13,5 cm) dizendo que tinha aumentado 8 cm a mais de uma figura para outra. Esse procedimento nos leva a crer que a concepção de ampliação para essa dupla está associado a um aumento de 8 cm em todas as medidas do mapa original.
Neste momento, pedi para que eles retomassem a atividade realizada na familiarização do Cabri. Nessa atividade eles tinham descoberto que para verificar quanto uma figura ampliou em relação à outra bastava dividir os seus lados correspondentes.
Veja o questionamento do aluno C: “Antes aumentou em cm a mais e agora vai colocar 1,59?” e o aluno D respondeu: “Não, coloca 1,59 x 13,5 = 21,5.” Em seguida me chamaram e mostraram o resultado da divisão e como não tiveram a iniciativa de fazer novas medições, perguntei se só com aquele resultado eles poderiam concluir alguma coisa e perceberam que não. Entretanto, sugeri que tomassem segmentos de retas do mapa dado e os seus correspondentes no mapa ampliado para verificarem a relação entre os segmentos e também que utilizassem os pontos do mapa.
Com as informações dadas eles fizeram mais quatro comparações (1,67; 1,58; 1,52 e 1,56), mas eu aproveitei a oportunidade e pedi para que eles medissem os ângulos com o transferidor para verificarem o que estava acontecendo em relação aos
A dupla 1 concluiu então, que a figura 1 (mapa dado) foi aumentada em média 1,59 cm para a figura 2 (mapa ampliado), que aumentada não alterou nada e tomando um segmento de um ponto ao outro sendo formados alguns ângulos, esses ângulos eram congruentes.
Já a dupla 2, após a construção, tomou dois segmentos correspondentes entre os dois mapas, utilizando também segmentos de um extremo ao outro e os alunos falaram que não estava dando certo, porque a figura ampliada não era o dobro da original.
Ampliação do mapa com a utilização do pantógrafo da dupla 2
Perguntei então se a ampliação de uma figura sempre tinha que ser o dobro da outra e eles responderam dizendo que eu tinha razão, poderia dar outro valor. Pedi então que eles comparassem outros segmentos correspondentes, utilizando pontos do mapa. A partir daí fizeram mais seis pares de medidas, o qual os valores encontrados foram 1,66; 1,52; 1,59; 1,61; 1,5 e 1,62 cm e escreveram suas conclusões. Para esta dupla não foi necessário retomar a idéia de que para verificar quanto uma figura ampliou em relação à outra bastava dividir os seus lados correspondentes.
Em seguida, pedi para investigarem o que aconteceu com os ângulos correspondentes, auxiliando no uso do transferidor, pois eles disseram que já tinham tentado, mas não lembravam como manuseá-lo.
A dupla 2 concluiu a atividade dizendo que comparando os resultados da divisão, das medidas dos segmentos traçados de vários pontos, da figura maior com a menor, a figura ampliou 1,5 vezes da original e concluíram também que os ângulos
Do material disponível foi preciso intervir apenas no uso do transferidor, ambas as duplas mostraram que o uso da régua e da calculadora era indispensável em suas investigações.
Acreditávamos que o enunciado poderia deixá-los em dúvida quanto à escolha de uma estratégia, mas isto não ocorreu, ambas as duplas fizeram as medições de dois segmentos correspondentes entre o mapa dado e o ampliado, mas não sabiam ao certo o que deveriam fazer com o resultado e qual era o seu significado, além do mais não tomaram a iniciativa de fazer novas medições sem que houvesse uma intervenção.
Percebemos que a idéia da proporção entre dois segmentos não estava muito clara para os dois grupos, ou seja, sabiam que a figura obtida pelo pantógrafo era a ampliação da figura dada, mas não relacionavam essa idéia com a proporcionalidade dos segmentos correspondentes entre as figuras.
Ao terminarem suas conclusões, mostraram-se mais confiantes em seus resultados e esperamos que suas dificuldades sejam superadas nas próximas atividades.
Essa atividade tinha como objetivo investigar características comuns presentes na figura desenhada no acrílico com o da cartolina.
Cada dupla recebeu um kit que foi montado em uma carteira em frente a uma cartolina fixada na parede e junto receberam uma caneta de lousa branca para desenhar sobre o acrílico. Em seguida foram dadas todas as orientações para o uso do material entregue. É importante destacar que as distâncias da tela de acrílico e do suporte eram diferentes entre as duplas.
Atividade 2: Projeção Cônica
Material disponível: régua, transferidor, calculadora, lápis e borracha.
Você está recebendo um kit composto por uma tela de acrílico e um suporte. Desenhe sobre o acrílico a figura fixada na parede. Essa figura deverá ser observada através do orifício do suporte. Observe e investigue características comuns entre as duas figuras. Escreva abaixo o que descobrir e tire suas conclusões.
Dupla 1 desenhando a redução da figura da cartolina sobre o acrílico
Dupla 2 desenhando a redução da figura da cartolina sobre o acrílico
Observando a figura da cartolina através do orifício do suporte desenharam a nova figura sobre o acrílico, um auxiliando o outro durante a construção. O interessante é que as duas duplas, após a primeira tentativa, sentiram a necessidade de refazer o desenho, pois perceberam que a figura obtida não estava muito parecida com a figura da cartolina.
Após as construções, as duplas tiraram o acrílico do suporte e começaram a medir com uma régua os lados da figura obtida com os seus correspondentes da cartolina e mediram também os seus ângulos utilizando o transferidor, sem precisarem
Com as medidas conhecidas dos lados correspondentes entre as duas figuras, as duas duplas dividiram o lado maior pelo menor. Então os questionei sobre o que tinham observado até aquele momento e me responderam que a figura obtida era uma redução em relação à figura dada. Em seguida perguntei qual era a razão de redução e logo perceberam que precisavam dividir o lado menor pelo maior.
A dupla 1, para mostrar os lados e os ângulos correspondentes, fez algumas representações na folha da atividade, acompanhadas dos cálculos para obter a razão de redução, que ficou em torno de 0,21 cm.
Resolução da atividade 2 pelo grupo 1
A dupla 2, preferiu anotar as medidas dos lados das figuras, no próprio material em que se encontravam, ou seja, na cartolina e no acrílico, mostrando na folha da atividade apenas os cálculos e dois desenhos representando os ângulos correspondentes do que eles chamaram de figura original e a cópia.
Resolução da atividade 2 pelo grupo 2
Nas considerações finais, a dupla 1, concluiu que essa atividade era igual a atividade 1, mas com uma diferença, a figura dada foi diminuída. Quanto aos ângulos perceberam que não foram alterados, afirmando serem congruentes. Já a dupla 2, concluiu dizendo que a razão encontrada foi de 0,12 cm, pois obteve-se a redução da figura dada, explicando que eles dividiram os lados da figura menor pelos lados da figura maior. Além disso, eles mostraram que a soma dos lados da figura menor dividido pela soma dos lados da figura maior, tinha a mesma razão, ou seja, 0,12 cm (11,50/93 = 0,12). E não se esqueceram de dizer que os ângulos eram congruentes, independente se a figura aumentou ou diminuiu.
No final de suas conclusões, perguntei para cada dupla o que significava dizer que os lados correspondentes eram proporcionais e juntos concluímos que para esse resultado bastava que a razão entre os segmentos correspondentes entre duas figuras fosse igual, ou seja, constante.
Novamente, percebemos certa dificuldade na compreensão de dois segmentos serem proporcionais, pois eles não estavam relacionando essa idéia com a razão encontrada ser constante, mas dessa vez sabiam que era a razão que iria mostrar o fator
O objetivo dessa atividade era estabelecer relações e encontrar características comuns entre as duas fotos recebidas.
Mostramos aos alunos seis fotos diferentes de animais, cada uma com dois tamanhos diferentes, sendo cinco delas fotos de cachorros e uma de um lobo e pedimos que as duplas escolhessem uma das fotos para a realização da atividade.
As duas duplas optaram pelas fotos de cachorros e imediatamente perceberam que uma era a ampliação da outra.
Acreditávamos que os alunos teriam dificuldades em estabelecer as relações necessárias entre as duas fotos, pois nelas não estava marcado nenhum ponto pré- determinado e foi o que aconteceu. Interessante que ambas as duplas iniciaram suas medições se preocupando apenas com o contorno das fotos, ou seja, observaram as fotos como sendo um retângulo, medindo seus comprimentos e larguras, não se atentando às imagens contidas nelas. Inicia-se aqui a transição entre G0 e G1.
A dupla 1 após ter medido o comprimento e a largura de cada foto, fez a divisão entre os segmentos correspondentes, enquanto que a dupla 2 somou todos os lados das figuras e dividiu os resultados encontrados. Desta forma, sugerimos que traçassem segmentos de retas em uma das fotos utilizando pontos bem determinados e comparacem com os segmentos correspondentes da outra foto.
Atividade 3: Comparando Fotos
Material disponível: régua, transferidor, calculadora, lápis e borracha.
Você está recebendo duas fotos de tamanhos diferentes. Observe e investigue características comuns entre as duas fotos. Escreva abaixo o que descobrir e tire suas conclusões.
Dupla 1 estabelecendo relações entre as duas fotos
Dupla 2 estabelecendo relações entre as duas fotos
Cada dupla traçou quatro segmentos correspondentes entre uma foto e outra, escolhendo, por exemplo, pontos entre os dois olhos, entre as duas orelhas, entre as duas patas, entre uma pata e o rabinho e assim por diante, calculando em seguida a razão entre esses segmentos.
Foto escolhida pela dupla 1
Foto escolhida pela dupla 2
Nas considerações finais, a dupla 1 escreveu que houve uma redução de 0,80 cm a 0,85 cm da figura maior para a menor e os ângulos não se alteraram, esses ângulos a que eles se referiram foram apenas os que formavam o retângulo em que as fotos estavam contidas, ou seja, os ângulos retos. A dupla 2, explicou todo o procedimento da escolha dos pontos das fotos e concluiu que a razão de redução de uma figura para outra foi de 0,55 cm e que a divisão da soma dos lados da figura maior pela menor também resultou 0,55 cm. Quanto aos ângulos afirmaram ser todos de 90º, tendo o mesmo pensamento da dupla 1.
Em nenhum momento tivemos nas conclusões dos alunos a idéia da proporcionalidade entre os segmentos correspondentes entre as figuras, parece que este conceito ainda não está muito claro para eles.
O objetivo dessa atividade era que o aluno observasse e investigasse similaridades entre os dois objetos recebidos.
Dos pares de objetos que tínhamos disponíveis para entregar aos alunos, escolhemos um par com regiões circulares, sendo uma lata de milho e uma de pêssego e outro par sem apresentar regiões circulares, sendo duas caixas de amido de milho (grande e médio). Essa escolha foi feita para observarmos se as dificuldades na manipulação dos objetos que rolam com os que não rolam, caso ocorressem seriam as mesmas ou não.
A dupla 1 recebeu a lata de milho e a de pêssego e logo que leram as informações da atividade iniciaram suas medições contornando o comprimento da circunferência de cada lata com o cordão do material disponível, marcando com um lápis sobre o cordão a medida encontrada. Em seguida com o auxílio da régua mediram o comprimento do cordão.
A estratégia escolhida pela dupla foi a mesma que tínhamos previsto e o importante é que não houve a necessidade de nenhuma intervenção. No momento da manipulação dos objetos os alunos apresentam-se no nível G0, passando para o nível G1 com a utilização da régua.
Atividade 4: Comparando Objetos
Material disponível: régua, transferidor, calculadora, cordão, lápis e borracha. Você está recebendo dois objetos de tamanhos diferentes. Observe e investigue características comuns entre os dois objetos. Escreva abaixo o que descobrir e tire suas conclusões.
Dupla 1 encontrando as medidas das latas
Dupla 1 encontrando as medidas das latas
Após medirem o comprimento da circunferência de ambas as latas, a dupla 1 obteve também as medidas das alturas dos objetos e dos respectivos diâmetros, sempre com a utilização do cordão e transferindo os seus valores com o uso da régua.
No momento de estabelecer relações entre as medidas encontradas, a dupla 1 fez em seus cálculos a diferença entre os valores correspondentes das duas latas, apresentando dificuldades em chegar a alguma conclusão, apesar de terem notado que os dois objetos tinham a mesma forma. Foi preciso intervir retomando a idéia utilizada nas outras atividades sobre o cálculo da razão entre dois segmentos correspondentes o que os levou a fazer as divisões necessárias.
poderíamos relacionar os dados obtidos e como não apresentaram dificuldades nas atividades 2 e 3 quanto a essa idéia, acreditávamos que esse conceito já estava claro para eles. A diferença dessa atividade em relação às três anteriores é a manipulação de objetos espaciais e não planos, o que nos leva a crer que os alunos não perceberam a similaridade de tais objetos no momento de investigar características comuns entre eles.
As razões encontradas pela dupla 1 entre a lata de milho e a lata de pêssego foram: 0,74 cm na divisão dos comprimentos das circunferências, 0,72 cm na divisão das alturas e 0,75 cm na divisão dos diâmetros.
Na conclusão, a dupla 1 afirmou que a lata menor tinha sido reduzida em relação a maior dizendo “nós vimos que a menor foi reduzida entre 0,70 a 0,75”.
A dupla 2 ao receber as duas caixas de amido de milho também não apresentou dificuldades em estabelecer relações entre elas. Eles mediram de ambas as caixas a altura, a espessura que chamaram de “largura do lado”, o comprimento que chamaram de “largura da frente”, a diagonal da frente e a diagonal do lado, desenhando na folha a representação de cada situação medida.
Resolução da atividade 4 pela dupla 2
Ao encontrar cada medida mencionada, obtiveram a razão entre a caixa maior e a caixa menor anotando os seguintes valores: 1,23 cm para a razão entre as alturas, 1,22 cm para a razão entre as espessuras, 1,26 cm para a razão entre os comprimentos, 1,23 cm para a razão entre as diagonais da frente e 1,24 cm para a razão entre as diagonais do lado.
Em suas conclusões a dupla 2 explicou que dividiu o objeto maior pelo menor obtendo uma razão em torno de 1,23 cm, que os ângulos eram congruentes e todos de 90º, considerando apenas os ângulos dos cantos das caixas. O interessante é que a dupla teve a preocupação em medir também as letras da palavra maisena de ambas as caixas, mas logo perceberam que as letras da caixa maior eram diferentes da menor e isto se confirmou ao encontrar a razão e não ser um valor tão próximo de 1,23 cm.
Nenhuma das duplas teve dificuldades na manipulação dos objetos, mas percebemos que a dupla 2 teve uma desenvoltura muito melhor em suas investigações, tornando a idéia da razão entre os segmentos correspondentes mais clara e sendo um fator essencial para tirar suas conclusões. Quanto ao fato dos segmentos serem proporcionais, os alunos apresentaram dificuldades em entender esse conceito mesmo
tendo sido mencionado em vários momentos que solicitaram ajuda, e mesmo por que essa idéia não consta em suas escritas.
Nesse momento, encerramos as atividades com validações empíricas com material concreto.
Para dar um fechamento às idéias trabalhadas neste bloco, foi feita a institucionalização dos resultados das quatro atividades, socializando as conclusões de cada dupla, as dificuldades que surgiram no decorrer das atividades e relacionando as similaridades entre cada experimento. Ao final dessas considerações, preocupamo-nos em mostrar aos alunos que quando a razão de cada dois segmentos correspondentes entre dois polígonos é igual, então os seus lados são proporcionais. A partir dessa discussão foi deixado claro aos alunos que duas figuras são semelhantes quando a razão entre dois segmentos correspondentes quaisquer é constante, sendo a primeira vez que a palavra “semelhança” é mencionada.
Após a institucionalização das atividades, foi mostrado aos alunos que nem sempre duas figuras “parecidas” são semelhantes, tomando como exemplo duas garrafas de refrigerante, uma de 1,5 litros e a outra de 600ml. Ao perguntar se essas duas garrafas eram semelhantes, os alunos responderam que sim, mas pedi para que eles observassem as tampas das garrafas, até que perceberam que eram de tamanhos iguais. Desta forma, concluímos juntos que a razão de qualquer medida correspondente entre as duas tampas seria sempre um e sendo assim, não teria, por exemplo, a mesma razão entre as alturas das garrafas e, portanto, não poderiam ser semelhantes.
4.4.1.1 Conclusão do Bloco 1
Percebemos após analisar as quatro atividades desse bloco, que os alunos tinham uma noção muito deficiente em relação ao conceito essencial à nossa proposta de ensino, que era a idéia da proporção ou proporcionalidade entre dois segmentos. Na primeira atividade verificou-se que no momento de estabelecer relações entre duas figuras no plano, a dupla 1 ao invés de dividir os segmentos correspondentes para obter a razão entre essas figuras, fez a diferença, ou seja, apresentou dificuldades quanto ao uso das estruturas multiplicativas. Com a intervenção da pesquisadora, essa dupla
mesmo erro na quarta atividade, fazendo a diferença entre os segmentos correspondentes entre os dois objetos recebidos. Trabalhar com razão acarreta dificuldades e segundo VERGNAUD (1991), as dificuldades representadas pelas noções de razão, proporção, fração e função que fazem parte das estruturas multiplicativas, não devem ser subestimadas, mas devem ser alvos de precauções didáticas importantes desde o ensino elementar. Essas mesmas dificuldades, ou seja, em utilizar as estruturas aditivas ao invés das multiplicativas são observadas por BAIRRAL (1998) em sua pesquisa para identificar dificuldades apresentadas por alunos da 7ª série no processo de construção do conceito de semelhança. Diante disto, VERGNAUD (1983), afirma que as estruturas multiplicativas, embora tenham elementos comuns as aditivas, diferem delas o suficiente para serem tratadas como um novo campo