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Tendo em vista que os alunos n˜ao haviam tido contato com o estudo da Trigonometria no C´ırculo Trigonom´etrico, a oficina desenvolvida com os professores foi adaptada para ser aplicada a eles. A oficina encontra-se no apˆendice G.

A aplicac¸˜ao da oficina teve como p´ublico alvo, 35 alunos de segundo ano do Ensino M´edio, sendo desenvolvida durante as aulas de Matem´atica previstas no hor´ario escolar, ocu- pando 6 horas aulas. ´E importante destacar que o conhecimento trigonom´etrico deste grupo estava restrito `a Trigonometria no triˆangulo retˆangulo e que o primeiro contato com a Trigono- metria no c´ırculo foi durante a oficina.

O objetivo dessa etapa da pesquisa era confrontar as observac¸˜oes, expectativas e pers- pectivas dos professores e dos alunos, quando submetidos a um processo de ensino e aprendi- zagem diferente do usual com a utilizac¸˜ao de Material Manipul´avel e, ao mesmo tempo, tendo em vista os diferentes Registros de Representac¸˜ao Semi´otica do conte´udo, respondendo, dessa forma, `as quest˜oes iniciais da investigac¸˜ao.

Primeiramente os alunos foram divididos em grupos de at´e quatro elementos. Ap´os a divis˜ao dos grupos, foi informado a eles que ao t´ermino das atividades eles seriam capazes de in- formar o valor aproximado das relac¸˜oes trigonom´etricas usando apenas o Material Manipul´avel a ser constru´ıdo. Tamb´em conseguiriam resolver uma quantidade expressiva de exerc´ıcios pro- postos presentes no livro did´atico por eles utilizados.

Em uma cartolina, os alunos passaram a fazer a construc¸˜ao do c´ırculo de raio unit´ario com centro na origem do plano cartesiano e identificar a posic¸˜ao dos ˆangulos de 0º a 360º. Ap´os essa etapa conclu´ıda, mostrou-se a eles, com aux´ılio do triˆangulo retˆangulo de hipote- nusa unit´aria que pode ser formado internamente ao c´ırculo, que o eixo x (da parte interna ao c´ırculo) ´e destinado aos valores da relac¸˜ao cosseno e que ao eixo y (da parte interna ao c´ırculo) corresponde aos valores da relac¸˜ao seno.

Figura 43: Oficina com os alunos I

Na segunda etapa da construc¸˜ao geom´etrica, os alunos constru´ıram uma reta perpen- dicular ao eixo x e outra ao eixo y e tangente ao c´ırculo nos pontos demarcados como 0º e 90º respectivamente. Feito isso por semelhanc¸a de triˆangulos, foi demonstrado que a reta da vertical ´e destinada a valores da tangente e a reta da horizontal ´e destinada ao estudo da cotangente.

Figura 44: Oficina com os alunos II

Fonte: O autor.

Para localizar a relac¸˜ao secante e cossecante foi enfatizado o fato de que elas s˜ao o inverso do cosseno e do seno respectivamente, portanto sua posic¸˜ao em relac¸˜ao ao c´ırculo constru´ıdo ´e a parte externa, ou seja, no eixo x o valor da secante pode ser encontrado no inter- valo_(−∞,−1] ∪ [1,+∞) e os valores da relac¸˜ao cossecante no eixo y no intervalo (−∞,−1] ∪ [1,+∞).

Figura 45: Oficina com os alunos III

Fonte: O autor.

Dando continuidade, os alunos seguindo instruc¸˜oes passaram a desenhar na folha de acetato as linhas que serviram para indicar os valores das relac¸˜oes trigonom´etricas estudadas. Para tal, os alunos encontraram o ponto central “O” da folha e por ele fizeram uma reta (r).

Feito isso, desenharam outra reta (s) perpendicular `a reta r com metade da distˆancia unit´aria do ponto central “O”. Por ´ultimo, desenharam um c´ırculo com as extremidades do diˆametro no ponto “O” e a intersecc¸˜ao das retas r e s.

Figura 46: Oficina com os alunos III

Fonte: O autor.

Tendo constru´ıdo o c´ırculo nessa folha, foi preciso demonstrar que em um semic´ırculo o triˆangulo inscrito ´e sempre retˆangulo, justificando assim o uso desse c´ırculo na folha de acetato para assinalar o valor das relac¸˜oes seno e cosseno.

Para concluir a construc¸˜ao do Material Manipul´avel, os alunos fixaram a cartolina com o desenho do C´ırculo Trigonom´etrico na base de MDF, posicionaram a folha de acetato de forma que o ponto “O” estivesse coincidindo com a origem do plano cartesiano contido no desenho da cartolina e com um prego prenderam-os de maneira que o acetato pudesse ser movido 360º.

Figura 47: O Material Manipul´avel elaborado por alunos

Fonte: O autor.

Depois dessas etapas os grupos puderam manusear seus instrumentos e o dos colegas, verificando algumas imperfeic¸˜oes e conclu´ıram que elas ocorreram devido `a falta de precis˜ao das medidas no momento da construc¸˜ao. Entretanto todos os instrumentos produzidos apre- sentaram pequenos desvios e puderam ser usados para resoluc¸˜ao de uma s´erie de atividades presentes no livro did´atico que encontram-se no apˆendice F.

Essas atividades foram desenvolvidas num total de seis horas aulas, sendo que qua- tro aulas e meia para confecc¸˜ao do material, com algumas demonstrac¸˜oes alg´ebricas e outras geom´etricas e uma aula e meia para a resoluc¸˜ao das atividades do livro did´atico. ´E importante salientar que a todo momento procurou-se deixar expl´ıcito que ao se trabalhar com o Material Manipul´avel, estamos no campo geom´etrico; e quando se faz c´alculos, no campo alg´ebrico.

Para concluir a oficina foi proposto aos alunos a resoluc¸˜ao de uma quantidade signi- ficativa de exerc´ıcios. Pela experiˆencia do autor, outras turmas concluiriam essas atividades usando de quatro a cinco aulas. Com uso do material por eles produzido, fizeram-nas em uma aula e com grande porcentagem de acerto.

6 RESULTADOS E DISCUS ˜OES

Para o melhor entendimento do leitor, se far´a neste cap´ıtulo a divis˜ao do estudo em duas sec¸˜oes. Na sec¸˜ao 6.1 tratar-se-´a da explanac¸˜ao e an´alise dos dados obtidos ap´os o desen- volvimento da oficina aplicada a sete professores que atualmente encontram-se em exerc´ıcio com a disciplina de matem´atica. J´a na sec¸˜ao 6.2 abordar-se-´a a an´alise da aplicac¸˜ao de uma oficina similar `a aplicada aos professores, por´em desenvolvida com alunos de segundo ano de ensino m´edio.

Na sec¸˜ao 6.1.1 ser˜ao codificados os sujeitos da pesquisa e os elementos usados nela. Isso ´e necess´ario para melhor compreender a an´alise dos dados obtidos durante a aplicac¸˜ao da oficina. Na sec¸˜ao 6.1.2 destacam-se a formac¸˜ao docente e os conte´udos trigonom´etricos tra- balhados por eles com seus alunos. A sec¸˜ao 6.1.3 trata da an´alise do pr´e-teste e do p´os-teste em trˆes diferentes categorias. Essas categorias foram estabelecidas ap´os a leitura flutuante, na qual se percebeu que os participantes possuem diferentes n´ıveis de entendimento quanto `as relac¸˜oes analisadas. As categorias observadas foram divididas na sec¸˜ao 6.1.3.1 em Relac¸˜ao Seno, Relac¸˜ao Cosseno e Relac¸˜ao Tangente. Na sec¸˜ao 6.1.3.2 em Relac¸˜ao Cotangente, Relac¸˜ao Cossecante e Relac¸˜ao Secante. Na sec¸˜ao 6.1.3.3 tratar-se-´a das relac¸˜oes fundamentais da tri- gonometria. Na sec¸˜ao 6.1.4 ser´a feita a an´alise do docente frente `a oficina, dando ˆenfase na aplicac¸˜ao do Material Manipul´avel para soluc¸˜ao de problemas.

A sec¸˜ao 6.2 foi planejada ap´os a aplicac¸˜ao da oficina destinada aos professores. No desenrolar dela com os docentes surgiu a inquietac¸˜ao por parte do pesquisador em aprofundar seus estudos e, para tal, sentiu a necessidade de aplicar a oficina antes proposta aos docentes, agora aos discentes, obviamente com algumas mudanc¸as.

6.1 OFICINA UM: OS PROFESSORES EM AC¸ ˜AO