2. İLGİLİ ARAŞTIRMALAR
2.2. Sosyal Olabilme İle İlgili Araştırmalar
La rigidit ´e des b ˆatiments est li ´ee `a leur conception. Plus effil ´es et plus hauts que leurs pr ´ed ´ecesseurs, les gratte-ciel modernes sont aussi plus flexibles. Sous l’effet de puissantes rafales de vent, ces construc-tions oscillent, ce qui est d ´esagr ´eable pour les occupants et risque d’endommager la structure. Pour y rem ´edier, il existe des syst `emes passifs : les masses amortissantes (Tuned Mass Dampers ou TMD).
On consid `ere donc les vibrations lat ´erales d’une tour, qu’on mod ´elise comme un syst `eme `a 1 degr ´e de libert ´e (masse ´equivalente m, ressort de raideur k, amortisseur de coefficient d’amortissement c),
figure48a et b. x(t) est le d ´eplacement au sommet de la tour. On s’int ´eresse au cas ou une rafale de
vent vient de passer, et o `u la tour oscille librement (en vibrations libres, donc).
FIGURE48 – Mod `eles de vibration
1°) Dans le cas o `u l’amortissement est faible, rappeler l’expression de la solution en vibrations libres x(t)(rappeler l’expression des diff ´erentes grandeurs en fonction des donn ´ees m, k et c).
2°) En une p ´eriode T , l’amplitude d ´ecroit. Donner l’expression de r, le pourcentage de d ´ecroissance de l’amplitude sur 1 cycle (r = (x(t) − x(t + T ))/x(t)) en fonction des donn ´ees.
Montrer qu’avec une faible valeur du pourcentage d’amortissement ε, il peut s’ ´ecrire r ≈ 2πε, ex-pression que vous utiliserez dans toute la suite.
FIGURE49 – Solutions adopt ´ees ( `a gauche : pour la tour Citicorp, imagehttp://www.lemessurier.
com/citigroup_center, `a droite : pour la tour Taipei 101, image A. du Plessis, Wikimedia Commons CC BY 3.0)
sources :http://www.lemessurier.com/citigroup_center
3°) Pour la tour Citicorp `a New-York (59 ´etages, 279 m de haut, ci-contre), la p ´eriode des vibrations libres est de T = 6, 5 s et laiss ´ee `a elle-m ˆeme l’amplitude des oscillations d ´ecroit de r = 0, 01 = 1 % par cycle.
En d ´eduire les expressions puis les valeurs num ´eriques de la pulsation propre ω0et du pourcentage d’amortissement ε.
4°) Toujours pour la m ˆeme tour, lorsque l’amplitude du d ´eplacement est de X = 0, 5 m, quelle est l’amplitude A de l’acc ´el ´eration. Donnez la valeur de celle-ci en pourcentage de l’acc ´el ´eration de la pesanteur g = 9, 81 m/s2.
La valeur pr ´ec ´edente de l’acc ´el ´eration est suffisamment ´elev ´ee et dure suffisam-ment longtemps pour que les occupants ressentent une naus ´ee. Afin d’am ´eliorer les choses, un syst `eme particulier est install ´e dans les ´etages sup ´erieurs de la tour : une masse additionnelle M = 400 t est mont ´ee sur des patins lubrifi ´es, et reli ´ee au mur par un ressort de raideur K et un amortisseur de coefficient d’amortissement C, figure49( `a gauche). L’ensemble du syst `eme oscillant est alors mod ´elis ´e par un syst `eme `a 2 degr ´es de libert ´es,figure48c : x(t) est la position absolue du sommet
de la tour, y(t) est la diff ´erence de position de sorte que la position absolue de la masse M par rapport au sol soit x(t) + y(t).
5°) Si la masse avait une tr `es grande inertie, elle ne bougerait quasiment pas et on se trouverait dans le m ˆeme cas qu’une suspension classique,figure48d.
5a) Quels seraient alors la raideur ´equivalente keq et l’amortissement ´equivalent Ceq?
5b) Quelles seraient alors les nouvelles expressions des p ´eriode d’oscillation libre T0et pourcentage de d ´ecroissance de l’amplitude par cycle r0?
6°) On ne peut cependant pas immobiliser la masse M par rapport au sol,
fi-gure48c. Donner alors les ´equations du mouvement.
7°) L’objectif est de d ´eterminer M , K et C pour limiter au maximum les oscillations libres. Cette optimi-sation, qui n’est pas demand ´ee ici, conduit usuellement `a avoir une pulsation propre ω1du seul syst `eme ajout ´e, ´egal `a ω0de la tour seule. Si on note µ = M/m, l’optimisation arrive `a un pourcentage d’amor-tissement du seul syst `eme ajout ´e ε1 =
√ µ
2 , et `a un pourcentage d’amortissement apparent (quand on regarde le seul mouvement de la tour) εeq= ε +
√ µ
4 .
Avec ce choix, en d ´eduire les expressions de M , K, C et du nouveau pourcentage de d ´ecroissance par cycle r1de la tour, en fonction des donn ´ees (m, k, c), de ω0et de µ.
sources :http://www.motioneering.ca,http://www.vibrationdata.com, Structure Magazine, vol. 41, 2006 Une autre conception est celle de la tour Taipei 101 `a Taiwan (101 ´etages, 508 m de haut — c’est
la deuxi `eme plus haute tour du monde, ci-dessous). Dans celle-ci une masse sph ´erique de M = 660 t est suspendue au bout de c ˆables de longueur L et li ´ee `a la tour par des amortisseurs, figure48e et
figure49`a droite. On conserve la m ˆeme mod ´elisation pour la tour seule (m, k, c).
8°) Lafigure48f montre ce syst `eme dans une position y. Avec un angle θ petit, et l’acc ´el ´eration de la
pesanteur −→g, quelle est l’expression de la force F agissant sur la boule `a l’horizontale et qui tend `a la ramener en position y = 0 ?
Montrer alors que ce syst `eme est ´equivalent `a un ressort de raideur K dont vous donnerez l’ex-pression en fonction des donn ´ees. Pour avoir une fr ´equence propre de ce seul syst `eme ω1 ´egale `a ω0, comment doit-on choisir K ? Application num ´erique pour L sachant que la p ´eriode d’oscillation libre de la tour Taipei 101 est de T = 6, 8 s.
9°) Pour la tour Taipei 101, on a µ = 0, 013. En d ´eduire les expressions puis les valeurs num ´eriques de C et de r1.
10°) Dans cette question, on prendra pour la tour Taipei 101 sans la masse M le pourcentage d’amor-tissement ε = 0, 016. On consid `ere maintenant une sollicitation harmonique forc ´ee, et on s’int ´eresse donc `a l’amplitude des vibrations forc ´ees de la tour.
10a) Sans la masse M , quel serait la valeur maximale de la fonction de transfert en d ´eplacement ? Application num ´erique.
10b) Avec le syst `eme ajout ´e, lorsque la sollicitation harmonique s’applique sur l’ext ´erieur de la tour, on a les deux fonctions de transfert en d ´eplacement Hx pour l’amplitude du d ´eplacement x(t) de la tour et Hy pour l’amplitude du d ´eplacement y(t)de M par rapport `a la tour, figure50. Si l’amplitude maximale de la tour sans la masse M pouvait ˆetre de 0, 5 m, quelle est-elle maintenant ? Quelle est alors l’am-plitude maximale de d ´eplacement de la masse M dans la tour ? Conclusion sur ces deux valeurs.
