Dada uma seq¨uˆencia de cardinais −→λ = hλζ : ζ < µi, consideremos
FIN(−→λ) := {ǫ : ǫ ´e uma fun¸c˜ao tal que domǫ ∈ [µ]<ω e ǫ(ζ) ∈ λ
ζ, para todo ζ ∈ domǫ}.
Seja λ um cardinal. Notemos que se λζ = λ, para todo ζ < µ, ent˜aoFIN(
− →
λ) = Fn(µ, λ). Consideremos S um conjunto, −→λ = hλζ : ζ < µi uma seq¨uˆencia de cardinais e
B = {hBi
ζ : i < λζi : ζ < µ} uma fam´ılia de parti¸c˜oes de S.
Defini¸c˜ao 6.2.1. Seja κ um cardinal. Dizemos que B ´e κ-independente se, para cada ǫ∈FIN(−→λ), a cardinalidade do conjunto
´e maior ou igual a κ. Diremos que B ´e independente se, e somente se, B for 1-independente (isto ´e, B[ǫ] 6= ∅, para toda ǫ ∈ FIN(−→λ)).
Defini¸c˜ao 6.2.2. Dizemos que a fam´ıliaB ´e separante se, para cada {α, β} ∈ [S]2, existem
ζ < µ e {ρ, ν} ∈ [λζ]2 tais que α ∈ Bζρ e β ∈ Bζν.
Denotaremos por τB a topologia sobre S gerada pela subbase
{Bi
ζ : ζ < µ, i < λζ}
e designaremos o espa¸co topol´ogico (S, τB) por XB.
Proposi¸c˜ao 6.2.3. O espa¸co topol´ogico XB ´e zero-dimensional e a fam´ılia {B[ǫ] : ǫ ∈
FIN(−→λ)} constitui uma base de abertos para o espa¸co em quest˜ao. Al´em disso, XB ´e T2 se,
e somente se, B ´e separante.
Demonstra¸c˜ao. Observamos, primeiramente, que a fam´ılia {B[ǫ] : ǫ ∈ FIN(−→λ)}
constitui uma base de abertos para XB pois esta ´e igual, a menos do conjunto vazio, `a
cole¸c˜ao de todas as intersec¸c˜oes finitas de elementos da subbase {Bi
ζ : ζ < µ, i < λζ}
que gera a topologia de XB.
Dada ǫ ∈ FIN(−→λ), temos que B[ǫ] ´e aberto em XB. Mostremos que B[ǫ] ´e, tamb´em,
fechado em XB. Com efeito,
B[ǫ] = \
ζ∈domǫ
Assim, S\B[ǫ] = S \ ( \ ζ∈domǫ Bζǫ(ζ)) = [ ζ∈domǫ (S \ Bζǫ(ζ)). Logo, S\B[ǫ] = [ ζ∈domǫ,i<λζ,i6=ǫ(ζ) Bζi pois hBi
ζ : i < λζi ´e uma parti¸c˜ao de S, para todo ζ ∈ domǫ. Portanto, S \B[ǫ] ´e aberto em
XB, o que implica que B[ǫ] ´e fechado em XB. Logo, XB ´e zero-dimensional.
Mostremos, por fim, que XB´e T2se, e somente se,B ´e separante. Se B for separante, dado
{α, β} ∈ [S]2, existem ζ < µ e {ρ, ν} ∈ [λ
ζ]2 tais que α ∈ Bζρ e β ∈ Bζν. Como hBζi : i < λζi
´e uma parti¸c˜ao de S, segue que Bζρ∩ Bν
ζ = ∅. Como B ρ ζ e B
ν
ζ s˜ao abertos em XB, conclu´ımos
que XB ´e T2. Reciprocamente, se XB ´e T2, dados {α, β} ∈ [S]2, existem δ, ǫ ∈ FIN(
− →
λ) tais que α ∈ B[δ], β ∈ B[ǫ] e B[δ] ∩ B[ǫ] = ∅. Em particular, α 6∈ B[ǫ] = ∩ζ∈domǫBζǫ(ζ). Logo,
existe ζ ∈ domǫ tal que α 6∈ Bζǫ(ζ). Claramente, β ∈ Bζǫ(ζ).
Se ζ ∈ domδ, ent˜ao δ(ζ) 6= ǫ(ζ), pois α ∈ B[δ] = ∩ζ∈domδBδ(ζ)ζ e, portanto, α ∈ B δ(ζ)
ζ .
Neste caso,B ´e separante.
Se ζ 6∈ domδ, consideremos δ∗ ∈ FIN(−→λ) tal que dom δ∗ = domδ ∪ {ζ}, δ∗ ↾
domδ= δ e
δ∗(ζ) = ρ, onde ρ < λζ ´e tal que α ∈ Bζρ. Este ρ existe e ´e ´unico, pois hBζi : i < λζi ´e uma
parti¸c˜ao de XB. Evidentemente, B[δ∗] ∩B[ǫ] = ∅, pois B[δ∗] ⊂B[δ]. Al´em disso, α ∈ B[δ∗].
Temos que δ∗(ζ) 6= ǫ(ζ), pois α ∈ Bδ∗(ζ)
ζ e α 6∈ B ǫ(ζ)
ζ . Logo, B ´e separante.
Teorema 6.2.4. Sejam κ, λ e µ cardinais infinitos e seja B = {hBα0, B
1
αi : α < λ}
uma fam´ılia separante e µ-independente de parti¸c˜oes de κ. H´a um homeomorfismo entre o espa¸co topol´ogico XB = (κ, τB) e um subespa¸co µ-denso de 2λ.
Demonstra¸c˜ao. Seja ψ : XB → 2λ dada por ψ(x)(α) = 0 se x ∈ B0 α 1 se x ∈ B1 α para cada α < λ.
Tal fun¸c˜ao est´a bem definida pois, para todo α < λ, hB0
α, Bα1i ´e uma parti¸c˜ao de κ.
Mostremos, primeiramente, que ψ ´e injetora. Para tanto, consideremos x, y ∈ κ tais que ψ(x) = ψ(y). Ent˜ao, ψ(x)(ζ) = ψ(y)(ζ), para todo ζ < λ. Logo, x ∈ Bζψ(x)(ζ) = Bζψ(y)(ζ) e y ∈ Bζψ(x)(ζ) = Bζψ(y)(ζ), para todo ζ < λ. Como, por hip´otese, B ´e separante, segue que x= y. Portanto, ψ ´e injetora.
Provaremos, agora, que ψ[XB] ´e µ-denso em 2λ. Um aberto b´asico de 2λ ´e da forma
Ω(p) = Y ζ<λ Aζ onde p ∈ Fn(λ, 2) e Aζ := {p(ζ)} se ζ ∈ domp 2 se ζ 6∈ domp
Seja p ∈ Fn(λ, 2), qualquer. Como B ´e µ-independente, temos que |\{Bζp(ζ) : ζ ∈ domp}| ≥ µ.
Para todo
x∈ \
ζ∈domp
temos que ψ(x)(ζ) = p(ζ), qualquer que seja ζ ∈ domp. Assim, ψ(x) ∈ Ω(p). Como ψ ´e injetora, temos que |ψ[XB] ∩ Ω(p)| ≥ µ. Logo, ψ[XB] ´e µ-denso em 2λ.
Mostremos, por fim, que ψ ´e um homeomorfismo sobre sua imagem. De fato, ψ ´e cont´ınua pois, se Ω(p) ´e um aberto b´asico de 2λ, ent˜ao
ψ−1[Ω(p)] = \
ζ∈domp
Bζp(ζ)
´e aberto em XB. Al´em disso, ψ ´e aberta. Com efeito, da proposi¸c˜ao 6.2.3 vem que
{B[p] : p ∈ Fn(λ, 2)} constitui uma base de abertos para o espa¸co topol´ogico XB. Como
ψ[B[p]] = Ω(p) ∩ ψ[XB]
segue que ψ[B[p]] ´e aberto em ψ[XB].
Teorema 6.2.5. Para cada cardinal infinito κ, existe uma fam´ılia B = {hBi
ζ : i < κi : ζ < 2 κ}
de parti¸c˜oes de κ que ´e separante e κ-independente.
Demonstra¸c˜ao. Do teorema de Hewitt-Marczewski-Pondiczery, segue que κ2κ
cont´em um subconjunto Z de cardinalidade κ, que ´e κ-denso em κ2κ
. Vamos, a partir de Z, construir uma fam´ılia
B = {hBi
ζ : i < κi : ζ < 2 κ}
de parti¸c˜oes de κ, que ´e separante e κ-independente.
Como |Z| = κ, existe uma bije¸c˜ao ψ : κ → Z. Fixemos ζ < 2κ. Para cada i < κ,
definamos
´
E f´acil ver que hBi
ζ : i < κi ´e uma parti¸c˜ao de κ, para todo ζ < 2
κ e, portanto, que
B = {hBi
ζ : i < κi : ζ < 2 κ}
´e uma fam´ılia de parti¸c˜oes de κ.
A fim de provar que B ´e κ-independente, consideremos p um elemento arbitr´ario de Fn(2κ, κ) e mostremos que |T
ζ∈dompB p(ζ) ζ | ≥ κ.
Seja Ω(p) o aberto b´asico de κ2κ
dado por Ω(p) = Y ζ<2κ Aζ onde Aζ := {p(ζ)} se ζ ∈ domp κ se ζ 6∈ domp Como Z ´e κ-denso em κ2κ
, temos que |Z ∩ Ω(p)| ≥ κ.
Seja y ∈ Z ∩ Ω(p). Consideremos x ∈ κ tal que y = ψ(x). Temos que x ∈ ∩ζ∈dompBζp(ζ),
pois ψ(x)(ζ) = y(ζ) = p(ζ), para todo ζ ∈ domp. Uma vez que ψ ´e bijetora, segue que | \
ζ∈domp
Bζp(ζ)| ≥ κ. Portanto, B ´e κ-independente.
Mostremos, finalmente, queB ´e separante. Seja {α, β} ∈ [κ]2. Como ψ ´e injetora, temos
que ψ(α) 6= ψ(β) e, portanto, existe ζ ∈ 2κ tal que ψ(α)(ζ) 6= ψ(β)(ζ). Logo, α ∈ Bψ(α)(ζ) ζ
Apresentaremos, por fim, o principal teorema desta se¸c˜ao. Teorema 6.2.6. Sejam κ um cardinal infinito e B = {hB0
ξ, Bξ1i : ξ < 2κ} uma fam´ılia
κ-independente de parti¸c˜oes de κ. Seja D uma fam´ılia n˜ao vazia de subconjuntos κ-densos do espa¸co topol´ogico XB. Existe uma fam´ılia κ-independente e separante C = {hCξ0, Cξ1i :
ξ <2κ} de parti¸c˜oes de κ, satisfazendo as seguintes propriedades:
(1) Se D ∈ D, ent˜ao D ´e κ-denso em XC (e, portanto, ∆(XC) = κ);
(2) XC ´e D-for¸cado;
(3) Se N ∈ [κ]<κ, ent˜ao N ´e um subconjunto raro de X C;
(4) XC ´e NODEC.
Al´em disso, se J ⊂ 2κ ´e tal que |2κ\ J| = 2κ, podemos assumir que
(5) C ↾ J = B ↾ J.
Demonstra¸c˜ao. Seja J ⊂ 2κ tal que |2κ \ J| = 2κ. Definamos I = 2κ \ J. Consideremos
I = I0 ∪ I′ uma parti¸c˜ao de I, tal que |I0| = κ<κ e |I′| = 2κ. Observamos que ´e poss´ıvel
obter uma tal parti¸c˜ao, pois κ<κ ≤ 2κ.
Particionemos I0 em uma cole¸c˜ao de subconjuntos enumer´aveis e n˜ao vazios JA,α, para
todo A ∈ [κ]<κ e todo α ∈ κ \ A. Observamos, novamente, que ´e poss´ıvel obter uma tal
parti¸c˜ao, uma vez que |[κ]<κ| = κ<κ e |κ \ A| = κ.
Seja ξ ∈ I0. Existem ´unicos A ∈ [κ]<κ e α ∈ κ \ A tais que ξ ∈ JA,α. Definamos
Cξ0 = (Bξ0∪ A) \ {α} e
Temos que C0
ξ ∩ Cξ1 = ∅ e Cξ0∪ Cξ1 = κ, para todo ξ ∈ I0. Portanto, hCξ0, Cξ1i constitui
uma parti¸c˜ao de κ, para todo ξ ∈ I0.
Fixemos uma enumera¸c˜ao {Fν : ν < 2κ} de [κ]κ. Por indu¸c˜ao transfinita em ν < 2κ,
definiremos
• Fun¸c˜oes parciais finitas ην ∈ Fn(2κ,2) e conjuntos
Kν ⊂ I′\ [ [ ζ<ν Kζ ∪ [ {domηζ : ζ < ν}] de modo que Kν = ∅ ou |Kν| = κ; • parti¸c˜oes hC0
σ, Cσ1i de κ, para todo σ ∈ Kν, tais que
|D ∩Bν[ǫ]| = κ
quaisquer que sejam ǫ ∈ Fn(2κ,2) e D ∈ D, onde
Bν = {hCσ0, Cσ1i : σ ∈ Iν} ∪ {hB0σ, Bσ1i : σ ∈ 2 κ\ I ν} com Iν = I0∪ [ ζ<ν Kζ.
Salientamos que, desta forma, todo subconjunto D de D ser´a κ-denso em XBν.
ν = 0
Observemos, primeiramente, que
B0 = {hCσ0, Cσ1i : σ ∈ I0} ∪ {hBσ0, Bσ1i : σ ∈ 2 κ\ I
Como, por hip´otese, |B[ǫ] ∩ D| = κ, para toda ǫ ∈ Fn(2κ,2) e todo D ∈ D, temos que
|B0[ǫ] ∩ D| = κ, quaisquer que sejam ǫ ∈ Fn(2κ,2) e D ∈ D.
ν ordinal limite
Sejam ǫ ∈ Fn(2κ,2) e D ∈ D, quaisquer.
Se domǫ ⊂ (2κ \ I
ν) ∪ I0, ent˜ao Bν[ǫ] = B0[ǫ]. Logo, |Bν[ǫ] ∩ D| = κ.
Se domǫ ∩ (∪ζ<νKζ) 6= ∅, tomamos λ = max{ζ < ν : domǫ ∩ Kζ 6= ∅}. Como ν ´e
ordinal limite, temos que λ + 1 < ν. Al´em disso, Bν[ǫ] = Bλ+1[ǫ]. Portanto, das hip´oteses
de indu¸c˜ao, segue que |Bν[ǫ] ∩ D| = κ.
ν+ 1
Consideremos, agora, os passos sucessores. Assumiremos que as hip´oteses da indu¸c˜ao transfinita est˜ao satisfeitas para ν e distinguiremos dois casos.
Caso 1. Fν cont´em um (D, XBν)-peda¸co, isto ´e, Fν ⊃ D∩Bν[ην], para alguma ην ∈ Fn(2κ,2)
e algum D ∈ D.
Escolhamos ǫ ∈ Fn(2κ,2) tal que D ∩B
ν[ǫ] ⊂ Fν, para algum D ∈ D e fa¸camos ην = ǫ.
Tomemos Kν = ∅.
Teremos, neste caso, que Iν = Iν+1 e, portanto, Bν =Bν+1.
Logo, nossas hip´oteses de indu¸c˜ao s˜ao trivialmente verificadas.
Caso 2. Fν n˜ao cont´em um (D, XBν)-peda¸co, isto ´e, (D ∩Bν[ǫ]) \ Fν 6= ∅, para toda
Neste caso, escolheremos Kν ⊂ I′\ [ [ ζ<ν Kζ ∪ [ {domηζ : ζ < ν}]
um conjunto de cardinalidade κ. Seja Kν = {γν,i : i < κ} uma enumera¸c˜ao de Kν. Fa¸camos,
ainda, ην = ∅.
Queremos modificar as parti¸c˜oes hB0
σ, Bσ1i de κ, para σ ∈ Kν, de maneira a tornar o
conjunto Fν fechado e discreto em XBν+1.
Definamos, portanto, para todo i < κ,
Cγ0ν,i = (Bγ0ν,i\ Fν) ∪ {i}
e
Cγ1ν,i = (Bγ1ν,i ∪ Fν) \ {i}.
Para cada i < κ, temos que
Fν ∩ Cγ0ν,i ⊂ {i}.
Portanto, Fν ´e fechado e discreto em XBν+1.
Finalmente, suponhamos por absurdo que
|D ∩Bν+1[ǫ]| < κ
para algum D ∈ D e alguma ǫ ∈ Fn(2κ,2).
Como
|(D ∩Bν+1[ǫ]) ∪ {i ∈ κ : γν,i ∈ domǫ ∩ Kν}| < κ
existe ξ ∈ I0 \ domǫ tal que
(D ∩Bν+1[ǫ]) ∪ {i ∈ κ : γν,i ∈ domǫ ∩ Kν} ⊂ Cξ0.
Seja ǫ∗ ∈ Fn(2κ,2) tal que domǫ∗ = domǫ ∪ {ξ}, ǫ∗ ↾
Temos que
D∩Bν+1[ǫ∗] = ∅.
Como Bν[ǫ∗] =Bν[ǫ] ∩ Cξ1, temos que se x ∈Bν[ǫ∗], ent˜ao x 6= i, para todo i < κ tal que
γν,i ∈ domǫ ∩ Kν, uma vez que Cξ0∩ Cξ1 = ∅. Portanto,
Bν+1[ǫ∗] ⊃Bν[ǫ∗] \ Fν.
Conseq¨uentemente,
∅ = D ∩Bν+1[ǫ∗] ⊃ (D ∩Bν[ǫ∗]) \ Fν 6= ∅,
uma contradi¸c˜ao.
Portanto, o processo de indu¸c˜ao tranfinita est´a completo. Definamos I2κ = I0∪ [ ζ<2κ Kζ e C = {hC0 σ, Cσ1i : σ ∈ I2κ} ∪ {hBσ0, Bσ1i : σ ∈ 2κ\ I2κ}.
Mostremos que a fam´ılia de parti¸c˜oes de κ acima explicitada possui as caracter´ısticas desejadas. Em primeiro lugar, observamos queC ´e separante. De fato, se α, β ∈ κ e α 6= β, tomando ξ ∈ J{α},β ⊂ I0, decorre que α ∈ Cξ0 e β ∈ Cξ1.
Das hip´oteses da indu¸c˜ao transfinita conclu´ımos que C ´e κ-independente e que (1) vale. Se A ∈ [κ]<κe α ∈ κ \ A, ent˜ao A ⊂ C0
ξ e α ∈ Cξ1, para todo ξ ∈ JA,α. Logo α 6∈ clXC(A).
Portanto, A ´e fechado em XC. Como ∆(XC) = κ, conclu´ımos que A ´e raro em XC. Assim,
(3) est´a satisfeita.
Seja F um subconjunto raro de XC. Queremos mostrar que F ´e fechado em XC. De
F = Fν. Se neste passo da indu¸c˜ao transfinita estiv´essemos no caso 1, existiria D ∈ D tal
que F ⊃ D ∩Bν[ην]. Como Bν[ην] =C[ην], ter´ıamos que F ⊃ D ∩C[ην] e, portanto
clXC(F ) ⊃ clXC(D ∩C[ην]) = clXC(C[ην]) ⊃C[ην]
o que ´e absurdo, pois F ´e raro em XC. Esta contradi¸c˜ao mostra que no ν-´esimo passo da
indu¸c˜ao transfinita estamos no caso 2. Logo, F = Fν ´e fechado e discreto em XBν+1 e,
portanto, em XC. Conseq¨uentemente, XC ´e NODEC, ou seja, vale (4).
Resta verificar que XC ´e D-for¸cado, isto ´e, que (2) ´e satisfeita. De acordo com a
proposi¸c˜ao 6.1.6, basta mostrar que todo subconjunto abundante de XCcont´em um (D, XC)-
peda¸co. Seja E um subconjunto abundante de XC. De (3), segue que |E| = κ e, portanto,
existe ν < 2κ tal que F
ν = E. No ν-´esimo passo da indu¸c˜ao transfinita devemos estar no
caso 1 pois E ´e, por hip´otese, abundante em XC. Logo, existem ην ∈ Fn(2κ,2) e D ∈ D
tais que E = Fν ⊃ D ∩Bν[ην]. ComoC[ην] = Bν[ην], segue que E cont´em o (D, XC)-peda¸co
D∩C[ην].
Finalmente, (5) ´e trivialmente v´alido por constru¸c˜ao.
Ressaltamos que todos os espa¸cos topol´ogicos XC obtidos atrav´es de uma aplica¸c˜ao do
teorema 6.2.6 s˜ao zero-dimensionais e T2 e, portanto, completamente regulares. Al´em disso,
decorre de (1) que tais espa¸cos s˜ao, tamb´em, densos em si mesmo.