Sejam X um espa¸co topol´ogico e D uma fam´ılia de subconjuntos densos de X.
Defini¸c˜ao 6.1.1. Um subconjunto M de X ´e dito um (D, X)-mosaico se existe uma fam´ılia celular maximal V de X tal que, para cada V ∈ V, ´e poss´ıvel obter DV ∈ D de modo que
M =[{V ∩ DV : V ∈ V}.
Defini¸c˜ao 6.1.2. Um subconjunto M de X ´e dito um (D, X)-mosaico parcial se existe uma fam´ılia celular V de X tal que, para cada V ∈ V, ´e poss´ıvel obter DV ∈ D de modo
que
M =[{V ∩ DV : V ∈ V}.
Defini¸c˜ao 6.1.3. Um subconjunto P de X da forma P = D ∩ U
onde D ∈ D e U ´e um aberto n˜ao vazio de X ´e dito um (D, X)-peda¸co.
Quando n˜ao houver d´uvidas acerca do espa¸co topol´ogico X considerado, escreveremos D-mosaico, em vez de (D, X)-mosaico, D-mosaico parcial, em vez de (D, X)-mosaico parcial e D-peda¸co, em vez de (D, X)-peda¸co.
Proposi¸c˜ao 6.1.4. Sejam X um espa¸co topol´ogico e D uma fam´ılia de subconjuntos densos de X. Todo D-mosaico ´e denso em X e todo D-peda¸co ´e abundante em X.
Demonstra¸c˜ao. Seja
um D-mosaico, onde V ´e uma fam´ılia celular maximal de X. Se M n˜ao fosse denso em X, existiria um subconjunto aberto n˜ao vazio U de X tal que U ∩ M = ∅. Como DV ∈ D,
para todo V ∈ V, conclu´ımos que V ∪ {U } ´e uma fam´ılia celular de X que cont´em V propriamente, o que contraria a maximalidade de V. Logo, M ´e um subconjunto denso de X.
Seja
P = D ∩ U
um D-peda¸co, onde D ∈ D e U ´e um aberto n˜ao vazio de X. Temos que ¯P = D ∩ U = ¯U e, portanto,
int( ¯P) = int( ¯U) ⊃ U 6= ∅. Logo, P ´e um subconjunto abundante de X.
Apresentaremos, a seguir, a principal defini¸c˜ao deste cap´ıtulo.
Defini¸c˜ao 6.1.5. Seja D uma fam´ılia de subconjuntos densos de um espa¸co topol´ogico X. Dizemos que X ´e D-for¸cado se todo subconjunto denso de X cont´em um D-mosaico.
A pr´oxima proposi¸c˜ao apresenta uma caracteriza¸c˜ao alternativa dos espa¸cos topol´ogicos D-for¸cados.
Proposi¸c˜ao 6.1.6. Um espa¸co topol´ogico X ´e D-for¸cado se, e somente se, todo subconjunto abundante de X cont´em um D-peda¸co.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que X seja um espa¸co topol´ogico D-for¸cado. Seja A um subconjunto abundante de X. Consideremos
Temos que
¯
S ⊃ ¯A∪ (X \ ¯A) = X.
Portanto, S ´e denso em X. Como X ´e D-for¸cado, S cont´em um D-mosaico M =[{V ∩ DV : V ∈ V}
onde V ´e uma fam´ılia celular maximal de X e DV ∈ D, para todo V ∈ V.
Como A ´e abundante em X, existe um subconjunto aberto n˜ao vazio U de X tal que U ⊂ ¯A. Portanto, U ∩ (X \ ¯A) = ∅.
Se U ∈ V, ent˜ao U ∩ DU ⊂ M ⊂ S. Como U ∩ DU ⊂ U ⊂ ¯A, temos que
(U ∩ DU) ∩ (X \ ¯A) = ∅. Portanto, o D-peda¸co U ∩ DU est´a contido em A. Se U 6∈ V, da
maximalidade de V segue que existe V ∈ V tal que U ∩ V 6= ∅. Logo, DV ∩ (U ∩ V ) 6= ∅,
pois DV ´e denso em X. Como V ∩ DV ⊂ M ⊂ S, temos que DV ∩ (U ∩ V ) ⊂ S. Como
DV ∩ (U ∩ V ) ⊂ U ⊂ ¯A, segue que [DV ∩ (U ∩ V )] ∩ (X \ ¯A) = ∅. Portanto, o D-peda¸co
DV ∩ (U ∩ V ) est´a contido em A.
Reciprocamente, seja X um espa¸co topol´ogico tal que todo subconjunto abundante de X cont´em um D-peda¸co. Mostremos que X ´e D-for¸cado. Para tanto, seja D um subconjunto denso de X e seja
A = {Y ⊂ D : intX[clX(Y )] 6= ∅}.
Notemos que A 6= ∅, pois D ∈ A.
Por hip´otese, cada Y ∈ A cont´em um D-peda¸co PY = VY ∩ DVY
onde VY ´e um aberto n˜ao vazio de X e DVY ´e um elemento de D.
Seja V uma fam´ılia maximal de elementos dois a dois disjuntos do conjunto {VY : Y ∈
seja U um aberto n˜ao vazio de X. Como D ´e um subconjunto denso de X, temos que U ∩ D = ¯U e, portanto, int(U ∩ D) = int( ¯U) ⊃ U 6= ∅. Logo, U ∩ D ∈ A. Fazendo Y = U ∩ D, conclu´ımos que existe um D-peda¸co
PY = VY ∩ DVY
onde VY ∈ A ´e um aberto n˜ao vazio de X e DVY ´e um elemento D, tal que PY ⊂ Y .
Se VY ∈ V, nada temos a fazer. Se VY 6∈ V, em virtude da maximalidade de V, existe
VYe ∈ V tal que VY ∩ VYe 6= ∅. Como DVY ´e denso em X, segue que VY ∩ VYe ∩ DVY 6= ∅.
Logo, ∅ 6= VYe ∩ PY ⊂ U ∩ VYe.
Portanto, V ´e uma fam´ılia celular maximal de X. Seja M =[{VY ∩ DVY : VY ∈ V}.
Temos que M ´e um D-mosaico e M ⊂ D.
Uma vez que um espa¸co topol´ogico X ´e sempre denso em X, a escolha mais simples para D ´e D = {X}.
Proposi¸c˜ao 6.1.7. Seja X um espa¸co topol´ogico. Um subconjunto P de X ´e um {X}- peda¸co se, e somente se, P ´e um aberto n˜ao vazio de X. Um subconjunto M de X ´e um {X}-mosaico se, e somente se, M ´e um aberto denso de X. Conseq¨uentemente, X ´e {X}-for¸cado se, e somente se, ´e OHI.
Demonstra¸c˜ao. Sejam X um espa¸co topol´ogico e P um subconjunto de X. Suponhamos, primeiramente, que P seja um {X}-peda¸co ou seja, que P = U ∩X = U , para algum aberto n˜ao vazio U de X. Ent˜ao, P ´e um aberto n˜ao vazio de X. Reciprocamente, se P ´e um aberto n˜ao vazio de X, ent˜ao P ´e um {X}-peda¸co, pois P = P ∩ X.
Seja M um subconjunto de X. Se M ´e um {X}-mosaico, ent˜ao existe V uma fam´ılia celular maximal de X tal que
M =[{V ∩ X : V ∈ V} = [
V∈V
V.
Claramente, M ´e aberto em X. Se M n˜ao fosse denso em X, existiria U um aberto n˜ao vazio de X tal que M ∩ U = ∅ e, portanto, V ∩ U = ∅, para todo V ∈ V. Assim, V ∪ {U } seria uma fam´ılia celular de X que cont´em V propriamente, o que contraria a maximalidade de V. Portanto, M ´e denso em X. Reciprocamente, seja M um subconjunto aberto e denso de X. Temos que {M } ´e uma fam´ılia celular maximal de X e M = M ∩ X. Portanto, M ´e um {X}-mosaico.
Se X ´e um espa¸co topol´ogico {X}-for¸cado, ent˜ao todo subconjunto denso de X cont´em um {X}-mosaico, ou seja, todo subconjunto denso de X cont´em um aberto denso em X. Do teorema 3.1.2 segue que X ´e OHI. Reciprocamente, se X ´e OHI, do teorema 3.1.2 conclu´ımos que todo subconjunto denso de X cont´em um aberto denso em X ou seja, todo subconjunto denso de X cont´em um {X}-mosaico. Logo, X ´e {X}-for¸cado.
O pr´oximo resultado fornece uma descri¸c˜ao ´util dos subconjuntos raros de espa¸co topol´ogico D-for¸cado.
Inicialmente, observamos que um subconjunto N de um espa¸co topol´ogico X ´e raro se, e somente se, S \ N ´e denso em X, para todo subconjunto denso S de X. De fato, seja N um subconjunto raro de um espa¸co topol´ogico X e suponhamos, por absurdo, que S \ N n˜ao seja denso em X, para algum S ⊂ X denso. Existe, portanto, um aberto n˜ao vazio U de X tal que (S \ N ) ∩ U = ∅, ou seja, tal que (S ∩ U ) \ N = ∅. Logo, S ∩ U ⊂ N e da´ı decorre que S ∩ U ⊂ ¯N. Como S ´e denso em X, temos que S ∩ U = ¯U e, portanto, ∅ 6= U ⊂ ¯U ⊂ ¯N, o que contradiz o fato de N ser raro.
Reciprocamente, seja N um subconjunto de X tal que S \ N ´e denso em X, para todo subconjunto denso S de X. Afirmamos, primeiramente, que (X \ ¯N) ∪ N ´e denso em X. De fato, se U ´e um aberto n˜ao vazio de X tal que U ∩ N = ∅, ent˜ao U ∩ ¯N = ∅ e, portanto, U ⊂ X \ ¯N. Tomando S = (X \ ¯N) ∪ N temos, por hip´otese, que S \ N = X \ ¯N ´e denso em X. Da´ı, segue que ¯N n˜ao cont´em nenhum aberto n˜ao vazio de X e, portanto, N ´e raro em X.
Lema 6.1.8. Seja X um espa¸co topol´ogico D-for¸cado. Ent˜ao
N (X) = {Y ⊂ X : D \ Y ´e denso em X, para todo D ∈ D}. Demonstra¸c˜ao. Em virtude da observa¸c˜ao acima, ´e evidente que
N (X) ⊂ {Y ⊂ X : D \ Y ´e denso em X, para todo D ∈ D}.
A fim de mostrar a inclus˜ao contr´aria, tomemos Y um subconjunto de X tal que D \ Y ´e denso em X, para todo D ∈ D e mostremos que Y ´e um subconjunto raro de X. Com efeito, se Y fosse um subconjunto abundante de X, da proposi¸c˜ao 6.1.6 seguiria que Y cont´em um subconjunto da forma U ∩ D, onde D ∈ D e U ´e um aberto n˜ao vazio de X, j´a que X ´e, por hip´otese, um espa¸co topol´ogico D-for¸cado. Ent˜ao, (D \ Y ) ∩ U = ∅, ou seja, D\ Y n˜ao ´e denso em X, o que ´e absurdo. Logo, Y ´e um subconjunto raro de X.
Lema 6.1.9. Seja X um espa¸co topol´ogico tal que se D ´e um subconjunto denso de X, ent˜ao X \ D ´e raro. Nestas condi¸c˜oes, X ´e OHI.
Demonstra¸c˜ao. Mostraremos que todo subconjunto denso de X tem interior denso em X. Do teorema 3.1.2 seguir´a que X ´e OHI. De fato, seja D um subconjunto denso de X. Temos que int(D) = X \ (X \ D). Seja U um aberto n˜ao vazio de X. Se U ∩ int(D) = ∅,
ent˜ao U ⊂ X \ D, o que ´e absurdo, pois por hip´otese X \ D ´e raro. Logo, int(D) ∩ U 6= ∅. Portanto, int(D) ´e denso em X.
Proposi¸c˜ao 6.1.10. Seja X um espa¸co topol´ogico D-for¸cado e considere S um subconjunto denso de X tal que, para cada D ∈ D, vale que S ∩ D ´e raro ou S \ D ´e raro. Nestas condi¸c˜oes, S ´e OHI.
Demonstra¸c˜ao. Mostraremos que todo subconjunto denso T de S tem complemento raro em S. Do lema 6.1.9 decorrer´a que S ´e OHI.
Seja T um subconjunto denso de S. Como S ´e denso em X, T tamb´em ´e denso em X. Como X ´e D-for¸cado, T cont´em um D-mosaico
M =[{V ∩ DV : V ∈ V}
onde V ´e uma fam´ılia celular maximal de X e DV ∈ D, para todo V ∈ V.
Para cada V ∈ V temos, por hip´otese, que S ∩ DV ´e raro ou que S \ DV ´e raro. Como
M ⊂ T ⊂ S, segue que V ∩ DV ⊂ S e, portanto, V ∩ DV ⊂ S ∩ DV, para todo V ∈ V. Mas
∅ 6= V ⊂ ¯V = V ∩ DV ⊂ S ∩ DV. Logo, S ∩ DV ´e abundante, qualquer que seja V ∈ V e,
portanto, S \ DV ´e raro, para todo V ∈ V.
Como (S ∩ V ) \ (V ∩ DV) ⊂ S \ DV, segue que (S ∩ V ) \ (V ∩ DV) ´e raro, para todo
V ∈ V. Temos, ainda, que V ∩ DV ⊂ T ∩ V , para todo V ∈ V. Portanto, (S ∩ V ) \ (T ∩ V )
´e raro, para todo V ∈ V. Se S \ T n˜ao for raro, existir´a um aberto n˜ao vazio U de X tal que U ⊂ S \ T . Como V ´e uma fam´ılia celular maximal de X, existe V ∈ V tal que V ∩ U 6= ∅. Logo, ∅ 6= U ∩ V ⊂ (S \ T ) ∩ V ⊂ [(S \ T ) ∩ V ], o que ´e absurdo, pois (S \ T ) ∩ V = (S ∩ V ) \ T ´e raro.
Proposi¸c˜ao 6.1.11. Sejam X um espa¸co topol´ogico e µ um cardinal tal que µ ≥ ˆc(X) – ou seja, tal que X n˜ao possua µ subconjuntos abertos, dois a dois disjuntos. Seja D uma fam´ılia de subconjuntos densos de X. Suponhamos que para cada E ∈ [D]µ, exista
F ∈ [E]bc(X) tal que D ∩ D′
´e denso em X, quando {D, D′} ∈ [F]2. Ent˜ao, para uma fam´ılia
qualquer de D-peda¸cos {Pi : i < µ}, existe {i, j} ∈ [µ]2 tal que Pi∩ Pj ´e abundante em X.
Em particular, se X ´e D-for¸cado e |D|+ ≥ ˆc(X), ent˜ao X n˜ao ´e |D|+-resol´uvel.
Demonstra¸c˜ao. Seja {Pi : i < µ} uma fam´ılia qualquer de (D, X)-peda¸cos. Para cada
i < µ, existem Ui um aberto n˜ao vazio de X e Di ∈ D, com
Pi = Ui∩ Di.
Por hip´otese, existe I ∈ [µ]ˆc(X) tal que D
i ∩ Dj ´e denso em X, para todo {i, j} ∈ [I]2.
Da defini¸c˜ao de ˆc(X), decorre que existe {i, j} ∈ [I]2 tal que
Ui∩ Uj 6= ∅.
Como Di∩ Dj ´e denso em X, temos que (Di∩ Dj) ∩ (Ui∩ Uj) 6= ∅. Mas
(Ui∩ Uj) ∩ (Di∩ Dj) = (Ui∩ Di) ∩ (Uj∩ Dj) = Pi∩ Pj.
Logo,
∅ 6= (Ui ∩ Uj) ⊂ (Ui ∩ Uj) = (Ui∩ Uj) ∩ (Di∩ Dj) = Pi∩ Pj.
Portanto, Pi∩ Pj ´e abundante em X.
Suponhamos, agora, que X seja D-for¸cado e que |D|+ ≥ ˆc(X). Observamos que todas as
hip´oteses do teorema est˜ao trivialmente verificadas. Como X ´e D-for¸cado, todo subconjunto denso de X cont´em um D-mosaico e, em particular, um D-peda¸co. Portanto, X n˜ao ´e |D|+-
Lema 6.1.12. Seja µ > 1 um cardinal. Sejam D uma fam´ılia de subconjuntos densos de um espa¸co topol´ogico X e
M =[{V ∩ DV : V ∈ V}
um D-mosaico parcial, onde V ´e uma fam´ılia celular de X. Se DV ´e µ-resol´uvel, para todo
V ∈ V, ent˜ao M tamb´em ´e µ-resol´uvel.
Demonstra¸c˜ao. Como DV ∩ V ´e aberto em DV, do fato 2.2.3 segue que DV ∩ V tamb´em
´e µ-resol´uvel. Do fato 2.2.5 decorre que
M =[{V ∩ DV : V ∈ V}
tamb´em o ser´a.
Defini¸c˜ao 6.1.13. Seja κ > 1 um cardinal. Um espa¸co topol´ogico X ´e dito hereditariamente κ-resol´uvel se todo subespa¸co denso em si mesmo de X for κ-resol´uvel. Proposi¸c˜ao 6.1.14. Seja X um espa¸co topol´ogico D-for¸cado, onde D ´e uma fam´ılia de subconjuntos densos de X. Suponhamos que todo subespa¸co denso em si mesmo de X ´e abundante. Ent˜ao, para cada subespa¸co denso em si mesmo S de X, existe um D-mosaico parcial M ⊂ S que ´e denso em S. Al´em disso, se todo D ∈ D for µ-resol´uvel, para algum cardinal µ > 1, ent˜ao X ser´a hereditariamente µ-resol´uvel.
Demonstra¸c˜ao. Seja S um subconjunto denso em si mesmo de X. Seja V uma fam´ılia maximal de subconjuntos abertos de X, dois a dois disjuntos, tal que, para cada V ∈ V, exista DV ∈ D com V ∩ DV ⊂ S.
Seja
Temos que M ´e um D-mosaico parcial e que M ⊂ S. Afirmamos, ainda, que M ´e denso em S. De fato, como clS(M ) = clX(M ) ∩ S, temos que
S\ clS(M ) = S \ [clX(M ) ∩ S] = [S \ clX(M )] ∪ (S \ S) = S \ clX(M ).
Logo, se M n˜ao fosse denso em S, ter´ıamos que S \ clX(M ) 6= ∅.
Afirmamos que S \ clX(M ) ´e denso em si mesmo. De fato, se p fosse um ponto isolado
de S \ clX(M ), ent˜ao
{p} = W ∩ [S \ clX(M )] = W ∩ [X \ clX(M )] ∩ S
para algum subconjunto aberto W de X. Portanto, p ´e um ponto isolado de S, j´a que W∩ [X \ clX(M )] ´e aberto em X. Contudo, isto ´e um absurdo, pois S ´e denso em si mesmo.
Como S \ clX(M ) ´e denso em si mesmo temos, por hip´otese, que S \ clX(M ) ´e abundante
em X. Como X ´e D-for¸cado, da proposi¸c˜ao 6.1.6 segue que S \ clX(M ) cont´em um D-
peda¸co P = U ∩ D, onde U ´e um aberto n˜ao vazio de X e D ∈ D. Logo, U ∩ D ⊂ S e (U ∩ D) ∩ clX(M ) = ∅.
Se existisse V ∈ V tal que U ∩ V 6= ∅, ent˜ao U ∩ V ∩ DV 6= ∅, pois DV ´e denso
em X. Como V ∩ DV ⊂ M ⊂ S, ter´ıamos que U ∩ V ∩ DV ⊂ M ⊂ S. Logo,
U∩ V ⊂ clX(U ∩ V ) = clX(U ∩ V ∩ DV) ⊂ clX(M ). Portanto, ∅ 6= (U ∩ V ) ∩ D ⊂ clX(M ),
o que ´e um absurdo, pois
∅ 6= (U ∩ V ) ∩ D ∩ clX(M ) ⊂ (U ∩ D) ∩ clX(M ) = ∅.
Logo, U ∩ V = ∅, para todo V ∈ V, o que contraria a maximalidade de V. Portanto, M ´e denso em S. Al´em disso, se todo D ∈ D for µ-resol´uvel, M tamb´em o ser´a, devido ao lema 6.1.12. Como M ´e denso em S, S tamb´em ser´a µ-resol´uvel, pela proposi¸c˜ao 2.2.4. Logo, X ´e hereditariamente µ-resol´uvel.
Encerraremos esta se¸c˜ao observando que se X ´e um espa¸co topol´ogico NODEC, ent˜ao todo subespa¸co denso em si mesmo de X ´e abundante.
Com efeito, seja A um subespa¸co denso em si mesmo de X. Suponhamos, por absurdo, que A seja raro. Seja p ∈ A. Temos que A \ {p} ⊂ A. Logo, A \ {p} ⊂ ¯A e, portanto, int(A \ {p}) ⊂ int( ¯A) = ∅. Da´ı, segue que A \ {p} ´e raro e, portanto, ´e fechado em X, uma vez que X ´e NODEC. Como
X\ (A \ {p}) = (X \ A) ∪ {p} ´e aberto em X, temos que
A∩ [(X \ A) ∪ {p}] = {p}
´e aberto em A, o que ´e absurdo, pois A n˜ao tem pontos isolados.