Fizik ve Mühendislik bilimleri gibi özellikle uygulamalı bilimlerde karşılaşılan bir çok matematik modelin çözümlerinin araştırılmasında artık analitik yöntemlerden daha ziyade belirli yaklaşıklık mertebesine sahip belirli doğrulukta sayısal yöntemler ön plana çıkmaktadır. Özellikle hızlı sonuç veren, algoritması kolay hazırlanabilen ve hassasiyeti yüksek olan yöntemler son derece ilgi çekici olup hem zamandan hem de maliyetten tasarruf sağlamaktadır. Bu durum özellikle lineer olmayan modellerde daha da çok önem arz etmektedir.
Euler’den günümüze kadar bir çok sayısal yöntem ortaya konulmuştur. Hazırladığımız bu doktora tezinde ilk olarak 1986 yılında Adi türevli diferansiyel denklemler için Zhou tarafından ortaya konulan ancak son dönemlere kadar pek de rağbet görmeyen, bununla birlikte algoritmasının kolay oluşu, hızlı ve yüksek hassasiyette çözüme ulaşması ve de çözüm için karmaşık integraller yerine kolay türevler kullanmasından dolayı dikkat çeken bu yöntem kesirli türevlere sahip diferansiyel denklemler için ve özel bir sınıf gecikmeli diferansiyel denklem olan pantograf denklemler için genişletilmiştir. Bununla birlikte yöntemin iki ve daha çok değişkene sahip kısmi türevli diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan ikinci ve n. mertebesi tanımlanarak özellikleri verilmiştir. Ayrıca bu yöntemle çözülmüş olan örnekler bilinen bazı farklı yöntemlerle karşılaştırılarak sonuçlar tablolar ve grafiklerle verilmiştir.
Laplace, Adomian ayrışımı, Varyasyonel iterasyon yöntem, Homotopi perturbasyon metodu gibi farklı nümerik yöntemler üzerine yapılmış bir çok çalışmaya dikkatlice bakıldığında farklı disiplinlerden bir çok bilim dalında uygulama alanı bulmuş yüzlerce çalışma mevcuttur. Hassasiyet, hesaplama kolaylığı ve kolay algoritmalanabilirliği dikkate alındığında diğer yöntemlerden çok daha etkili olan ve daha hızlı sonuç üreten bu yöntem üzerine yapılan çalışmalara bakıldığında diğer yöntemlerden çok daha az olduğu dikkate çarpmaktadır. Buradan;
metodla ilgili araştırmaların artması ile birlikte metodun geliştirilip birçok bilim dalında daha etkin kullanılabileceğini söylemek mümkündür.
Sonuç olarak benzerlerinden daha etkili olan diferansiyel dönüşüm yöntemi günümüzde çokça karşılaşılan birçok problemin çözümüne yardımcı olmaya aday yeni ve oldukça etkili bir yöntemdir.
KAYNAKLAR
Abdel- Halim Hassan, I.H. “On solving eigenvalue problems by using a differential transformation”, Applied Mathematics and Computation; 127, 1-22, 2002.
Abdel- Halim Hassan, I.H. “Different Applications for the differential transformation in differential equations”, Applied Mathematics and Computation; 129, 183-221, 2002.
Abdel- Halim Hassan, I.H. “Differential Transformation technique for solving higher-order initial value problems”, Applied Mathematics and Computation; 154, 299-311, 2004.
Ajello W.G., Freedman H.I., Wu J. “A model of stage structured population growth with density dependent time delay”, SIAM J. Appl. Math. 52, 1992, 855-869.
Arikoğlu, A., Özkol I. “Solution of boundry value problems for integro- differential equations by using differential transform method”, Applied Mathematics and Computation; 168, 2, 2005, 1145-1158.
Arikoğlu, A., Özkol I. “Solution of differential–difference equations by using differential transform method”, Applied Mathematics and Computation, 181,1, 2006, 153-162.
Arikoğlu, A., Özkol I. “Solution of fractional differential equations by using differential transform method”, Chaos, Solitons & Fractals, 34, 5, 2007, 1473-1481.
Arikoğlu, A., Özkol I. “Solution of difference equations by using differential transform method”, Applied Mathematics and Computation, 174,2, 2006, 1216- 1228.
Ayaz, F., “Solution of partial differential equations by using two dimensional differential transform method”, Third Intern. Symp. Math&Comput. Appl., September 4-6, Konya, TURKEY, 2002.
Ayaz, F. “On the two dimensional differential transform method”, Applied Mathematics and Computation; 143, 2003, 361-374.
Ayaz, F., Oturanç, G., Kurnaz, A., Kiriş M.E. “Isı İletim denkleminin dönüşüm yöntemi ile çözümü”, 14. Ulusal Isı bilimi ve tekniği kongresi, Isparta 3-5 Eylül 2003.
Ayaz, F., “Applications of differential transform methods to differential algebric equations”, Appl. Maths Comput; 152, 2004, 649-657.
Ayaz, F., Oturanç, G. “An approximate solution of burgers equation by differential transform method”, Selcuk Journal of Applied Mathematics; 5-2,, 2004, 15-24.
Bellen A. “One-Step Collocation for delay differential equations” Journal of Computational and Applied Mathematics, 10, 1984, 275-283.
Bellen A., Zennaro M. “Numerical Methods for Delay Differential Equations” Clarendon Press, Oxford, 394, 2003.
Biazar, J. “Solution of systems of integro-differential equations by adomian decomposition method”, Applied Mathematics and Computation; Applied
mathematics and computations,163, 2005, 1232-1238.
Bildik N., Konuralp A. “The use of variatonal iteration method, differential transform method and Adomian decomposition method for solving different types of nonlinear partial differential equations”, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation 7, 2006, 1, 65-70.
Bildik N., Konuralp A., Bek F.O., Küçükarslan S. “Solution of different type of partial differential equation by differential transform method and adomian’s decomposition method”, Applied Mathematics and Computation; 172, 1, 551-567, 2006.
Brunner H. “On the discretization of differential and Volterra integral equations with variable delay” BIT Numerical Mathematics, 37, 1, 1997, 1-12.
Bulut H., Evans D.J. “On solution of the Ricatti equation by the decompositions method”, International Journal of Computer Mathematics, 80, 1, 2001, 1–7.
Bulut H., Asil V., Evans D. J. “The Adomian decomposition method for the approximate solution of homogeneous differential equations with dual variable and dual coefficients”, International Journal of Computer Mathematics, 82, 8, 2005, 977– 986.
Chen, C.K., Ho, S.H. “Application of differential transformation to eigenvalue problems”, Applied Mathematics and Computation; 79, 179-188, 1996.
Chen, C.L., Liu, Y.C. “Differential transformation technique for steady nonlinear heat conduction problems”, Applied Mathematics and Computation; 95, 155-164, 1998.
Chen, C.K., Ho, S.H. “Solving partial differential equations by two dimensional differential transform method”, Applied Mathematics and Computation; 106, 171-179, 1999.
Chen, C.K., Ho, S.H. “Transverse vibration of a rotating twisted timoshenko beams under axial loading using differential transform”, Intenational Journal of Mechanical Science; 41-11, 1339-1356, 1999.
Chen, C.K., Ju, S-P. “Application of differential transformation to trasient advective-dispersive transport equation”, Applied Mathematics and Computation; 155, 25-38, 2004.
Chen, C.K., Chen, S-S. “Application of the differential transformation method to a non linear conservative system”, Applied Mathematics and Computation; 154, 431-441, 2004.
Daftardar-Gejji V., Babakhani A. “Analysis of a system of fractional differential equations” Journal of Mathematical Analysis and Applications, 293, 2, 2004, 511-522.
Derfel G., Iserles A. “The pantograph equation in the complex plane”, J. Math. Anal. Appl., 213, 1997, 117-132.
Diethelm K., Ford N.J., Freed A.D., Luchko Y. “Algorithms for the fractional calculus: A selection of numerical methods”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 194, 2005, 6-8,.
Dragenescu G., Cofan N., Rujan D.L. “Nonlinear vibrations of a nano sized sensor with fractional damping”, Journal of Optoelectronics and Advanced Materials, 7, 2, 2005, 877-884.
El-Safty A., Salim M. S., El-Khatib M. A. “Convergence Of The Spline Function For Delay Dynamic System”, International Journal of Computer Mathematics, 80, 4, 2003, 509–518.
El-Sayed A.M.A. “On the fractional differential equations”, Appl. Math. Comput., 49 1992, 205–213.
El-Sayed A.M.A. “Linear differential equations of fractional orders”, Applied Mathematics and Computation, 55, 1993, 1-12.
El-Sayed, S.M., Abdel-Aziz, M.R. “A comparison of Adomian’s decomposition method and Wavelet-Galerkin method for solving integro differential equations”, Applied Mathematics and Computation; 136, 151-159, 2003.
Ertürk V. S., Momani S., Odibat Z. “Application of generalized differential