du lingot
Le but des simulations numériques est de prédire la répartition en trois dimensions des défauts en fonction des conditions thermomécaniques d’élaboration. Les principales étapes des calculs consistent tout d’abord à déterminer les contraintes en chaque point des lingots puis, en appliquant des modèles physiques appropriés de génération de défauts sous contraintes (notamment le modèle Alexander et Haasen –AH- ou celui d'Alexander, Haasen et Sumino – AHS-), à déterminer les densités de défauts en chaque point.
Contraintes thermomécaniques
I.3.3.1.
Pendant l’élaboration du lingot, la température dans la phase solide n’est pas homogène, ce qui engendre des gradients de dilatation thermique qui à leur tour provoquent des contraintes
Chapitre I
35 thermomécaniques. La détermination de ces contraintes s’effectue d’abord en calculant la déformation totale , qui est la somme d’une contribution élastique et d’une contribution provenant de la dilatation [Boley12;Noda02] :
Equ. 1. 13 avec : coefficient de dilatation et Tref : température de référence. En considérant le matériau comme totalement élastique, les contraintes peuvent être calculées à l’aide de la loi de Hooke ici écrite dans un repère cartésien :
Equ. 1. 14 avec , et : composantes sur (x,y,z) du tenseur des déformations élastiques, du tenseur des contraintes et du tenseur des modules d’élasticité. Une présentation plus complète de ces équations est faite dans [Chen10].
Pour les matériaux cubiques, on peut considérer que la déformation plastique commence quand la contrainte de Von Mises, définie ci-dessous, dépasse la limite élastique :
√
( ) ( ) ( ) ( )
Equ. 1. 15
Dans le domaine du Si solaire, c’est ce critère qui est le plus pertinent et qui est généralement utilisé.
Estimation des contraintes thermomécaniques grâce à la
I.3.3.2.
morphologie de l’interface solide-liquide
Comme expliqué dans le § 2.3.2, on fait souvent l'hypothèse que les contraintes thermomécaniques peuvent être estimées à l’aide de la forme de l’interface solide-liquide. Dans le cas d’une interface plane, [Garandet89] calcule théoriquement que le lingot est libre de se déformer (dans une configuration axi-symétrique), et démontre qu'une solution sans contrainte existe et qu'elle correspond à une distribution linéaire de la température dans l’axe de croissance avec des isothermes plates.
De même, [Hurle04] à partir des conclusions de [Indenbom79] donne la formule théorique suivante pour calculer les contraintes à partir de la courbure de l’interface solide liquide. Les contraintes sont proportionnelles à la déviation d’une isotherme plane.
Chapitre I
36
Avec : contrainte, : coefficient d’expansion thermique, : module de Young, : une longueur caractéristique (de l’ordre du diametre du cristal), : la température, : coordonnées dans l’axe de croissance et : la déviation maximale des isothermes à la planéité.
Modélisations numériques des contraintes thermomécaniques
I.3.3.3.
et/ou de la densité de défauts
Pour déterminer les contraintes à l’échelle d’un lingot, des simulations numériques sont effectuées à l’aide de codes d’éléments finis (Comsol, ANSYS,…). Des simulations ont ainsi été effectuées pour optimiser des géométries de fours [Gao13] ou des cycles thermiques [Black12;X.J. Chen08;Chen10;Liu15]. Afin de réaliser ces calculs, différentes hypothèses sont faites ainsi que différentes étapes.
Dans un premier temps, les champs de température dans le lingot sont calculés pour le procédé thermique et la géométrie de four utilisés. A cette étape, les hypothèses sur la géométrie sont faites notamment, l’hypothèse d’axisymétrie qui simplifie les calculs [X. J. Chen08;Fang13;Gao13;Gao16;Bing Gao12a;Garandet89].
Calcul de la déformation induite par les champs de température à l’aide de l’équation 1.13 en considérant le matériau élastique.
Choix des conditions limites (CL) mécaniques appliquées au lingot pour le calcul des contraintes mécaniques. Les conditions appliquées le plus souvent aux surfaces sont : libre de se déformer, indéformable et non-déformation perpendiculairement aux plans. Dans [Chen10], les surfaces sont dans un cas libres de se déformer sauf le bas du lingot qui ne peut pas se déformer verticalement à cause de son poids et du fond du creuset et dans l'autre cas toutes fixes sauf la surface supérieure. Les CL convergent vers une déformation libre des surfaces [Gao13;Gao16;Nguyen17] car l’influence du poids est expérimentalement négligeable dans le cas d’une répartition homogène [Trempa16]. Des conditions limites particulières existent pour simuler des phénomènes spécifiques comme le collage du lingot au creuset [Gallien14].
Calcul des contraintes dans le lingot à partir de la loi de Hooke (équation 1.14) en considérant le matériau comme isotrope ou anisotrope (AHS nécessite un matériau anisotrope [Gao16]).
A cette étape, les contraintes calculées peuvent être utilisées pour améliorer le cycle thermique ou la géométrie du four [Chen08;B. Gao12;Liu15] pour éviter des contraintes trop importantes pendant la solidification et le refroidissement. La Figure 1. 16 donne un exemple de cartographie de contraintes de Von Mises calculées.
Chapitre I
37 Figure 1. 16. Exemple de cartographie des contraintes de Von Mises calculées dans un creuset à base carré
[Chen10].
Une fois ces contraintes calculées, elles sont comparées au critical resolved shear stress (CRSS) et la densité N de dislocations induites est proportionnelle à la différence entre contrainte locale () et CRSS (CRSS) comme dans l’équation ci-dessous :
Equ. 1. 17
Ces cartographies donnent une idée de la répartition de la densité de dislocations. Pour obtenir une répartition finale des défauts, il faut calculer l’évolution des défauts en ajoutant le modèle de AH ou de AHS. Pour cela, des étapes supplémentaires sont nécessaires :
Calcul de la contrainte effective (Equ. 1. 9) ;
Multiplication à partir des contraintes effectives (Equ. 1. 12) ;
Calcul de la contrainte interne provoquée par la nouvelle densité de dislocations.
Ces trois étapes sont répétées jusqu’à convergence de la densité de dislocations. Puis on passe au pas de temps suivant en utilisant les densités de dislocations calculées pour le calcul de la contrainte effective du nouveau pas de temps, etc…
Parmi les avantages du modèle de AHS, il y a la possibilité d’avoir une idée précise de la distance que parcourent les dislocations sur chaque plan de glissement [Gao15]. Celui-ci a montré un bon accord entre expérimentation et simulations dans le cas de recuits de lingot initialement sans dislocations.