Solow Büyüme Modeli

Solow (1956: 65-94) büyüme modeli, orta gelir tuzağını açıklamaya yönelik büyüme teorisinden biridir. Modelin ana fikri olarak sermaye birikimi ve ekonomik büyüme arasındaki ilişkilerin analizi yatmaktadır. Ekonomik büyümenin dışsal bir değişken olan nüfus artışı, amortisman ve ülkeler arasındaki teknolojik değişim ile nasıl ilişkilendirildiğini açıklamaktadır. Ayrıca kademeli olarak büyümeyi arttırarak fakir ülkelerin zengin ülkelere göre daha hızlı büyüdüğünü de açıklayabilmektedir. Dahası, Farah’ın (2016) tezine göre, bazı diğer değişkenlerin yakınsama çerçevesi üzerinde denge duruma getirilmesinin mümkün olduğunu belirtmektedir. Ülkeler arasındaki diğer değişkenler de çok belirgin olduğundan, aynı zamanda farklı bir analiz çerçevesi ortaya çıkabilmektedir.

Solow’un modelinden esinlenen literatürde , büyümenin gelişmiş ülke haline nasıl dönüştürüleceğini tahmin etmektedir. Sonra, orta gelirli ülkelerde büyüme yavaşlama sebeplerini belirlemeye yönelik analizi tam olarak açıklayamammaktadır.

Solow (1956) büyüme modeli, üretim hızını Y(t) olarak gösterebilen tek bir mal olarak çıktıyı açıklamaktadır. Çıktının sürekli s olarak kaydedilmiş kısımları, tasarruf oranı

sY(t) olarak ifade edilmektedir. Toplam sermaye stoku veya sermaye malı, K(t) olarak

gösterilebilir, bu nedenle net yatırım dK/dt veya Ḱ. Sonunda temel yatırım aşağıdaki gibi yazılabilmektedir:

Ḱ = sY(t) 2.1 Çıktı üretmek için, iki değişken gereklidir, emek ve sermaye, L(t) giriş hızı oranıdır. Teknolojik gelişme dışsal olup, üretim fonksiyonu tarafından aşağıdaki şekilde temsil edilmektedir.

Y = F(K,L) 2.2

Yukarıdaki iki denklemi eklenerek, sonraki denklem aşağıdaki gibi yazılabilir:

Ḱ = sF(t) 2.3

Solow, ayrıca Harrod modelini, nüfusun dışsal büyümesi sonucu, iş gücündeki bir artışın dikkate alınması olarak açıklamkaktadır. Harrod’un sabit nispi oranı, n doğal büyüme oranı olarak yazılabilmektedir. Dolayısıyla:

L(t) = 𝐿_𝑜𝑒nt 2.4

Sonuç olarak, (2.3) 'deki L toplam istihdam anlamına gelmektedir. fakat (2.4) 'deki L, emek arzının varlığı anlamına gelmektedir. Emeğin iki tanımı, tam istihdamın sürekliliğini sürdürme varsayımını sağlanması yararlı olmaktadır. Sonra, (2.3) ve (2.4) denklemlerini ekleyerek, yeni denklem:

Ḱ = sF(K, 𝐿_𝑜𝑒nt) 2.5

(2.5) denklemi, tüm emek sahiplerinin çalıştırılması sırasında hangi sermaye birikiminin gerekli olduğunu belirleyen denklemdir. Sonuçta, tek değişkenli K(t) bir diferansiyel denklemdir. Sermaye stoku ve emek arzı için kesirleri anlayarak, hem üretim işlevinin hem de üretim için karşılık gelen sürenin sayılmasına yardımcı olabilmektedir.

Daha fazla açıklama için, Solow (1956: 65-94), sermaye birikiminin, daha fazla denklem için yazılarak, işgücü arzı artış hızıyla tutarlı olup olmadığını kontrol etmek istemiştir. Bu nedenle çözümünün nitel niteliği tanımlanabilmektedir. Denklemin çözümünü bulmak için yeni bir değişken tanıtılmıştır. Yeni değişken r = ^𝐾_𝐿 , sermaye ve

emek oranıdır. Değişken K = rL = r𝐿_𝑜𝑒nt dönüşebilmektedir. Zamana göre farklılık gösterirse, Ḱ = 𝐿_𝑜𝑒ntṙ + nr𝐿_𝑜𝑒nt olarak yazılabilmektedir.

Diferansiyel değişken sonucunun (2.5) denklemi yerine kullanılarak, aşağıdaki gibi yazılabilir:

Ölçeğe sürekli dönüş olduğundan, dolayısıyla F'nin üretim fonksiyonundaki her iki değişkende L = 𝐿_𝑜𝑒nt ile bölünebilmektedir ve aynı zamanda F'yi aynı L faktörü ile

çarpabilmektedir. Böylece yeni denklemi:

𝐿_𝑜𝑒nt (ṙ + nr) = sF𝐿_𝑜𝑒nt ( _𝐿 ^𝐾

𝑜𝑒𝑛𝑡 , 1 )

Sonra değişkenin iki tarafını da böldüğümüzde,

ṙ = sF (r,1 ) - nr 2.6

Yukarıdaki (2.6) denklemi, aslında sermaye ve emek oranını içeren diferansiyel denklemdir. Ayrıca, r = ^𝐾_𝐿 'nin nispi değişim oranı K ve L değişimlerinin nispi değişim

oranları arasındaki farktır, dolaysıyla aşağıdaki gibi de yazılabilmektedir:

ṙ 𝑟

=

𝐾

-

𝐿 Ĺ

𝐿 ^{değişkeni n} önceki gibidir, ve Ḱ = sF(K,L) değişkeni, bu ikameleri aşağıdaki gibi dönüştürmektedir:

ṙ = r ^{𝑠𝐹 (𝐾,𝐿 )}

𝐾 ^{- nr}

Sonunda, L, F'den önce olduğu gibi ayrılırsa, o halde 𝐿

𝐾

=

ikamesi (2.6) denklemi olarak tekrar yazılabilmektedir.

F (r,1) fonksyonu sonunda toplam verimlilik eğrisi ve r miktarlar (bir iş birimi

tarafından kullanılan sermayeyi) ayrılarak tanımlamaktadır. Diğer yandan, işçi başına üretimi işçi başına sermayenin fonksyonu olarak ifade etmek mümkündür. Sermaye ve emek oranı değişimi ikiye ayrılmaktadır, ilki sermaye artırımı, ikincisi ise emek artırımını ifade etmektedir.

Grafik 4’te, (2.6) denklemin iki eğri ile nasıl açıklanabileceğini göstermektedir. Orjinden çıkan ilk eğri nr tarafından gösterilmektedir. O esnada, ikinci eğri sF(r,1) fonksiyonunu ifade etmektedir. nr ve sF(r,1), ṙ = 0 iki eğri arasındaki kesişme noktasındadır. Bu noktada sermaye emek oranı sabittir ve sermaye stoku emeğin genişlemesine veya n’ye eşit olarak genişlemelidir. Bu nedenle, büyüme oranı, sermayenin reel getiri oranı ile açıklanmaktadır ve arz emeğinin doğal oranına eşittir. Ölçeğe göre sabit getiri ile, üretim emekle aynı oranda büyüyecektir ve emek başına

düşen üretim de sabit olacaktır. Bu koşul, tüm faktörlerin, sermayenin ve emeğin tamamen kullanıldığı denge durumunun seviyesi olarak sınırlandırılabilmektedir.

Ek olarak, Solow (1956: 65-94) aynı zamanda sermaye ve emek oranının eğrinin doğal oranına doğru gelişecektir. Eğer r > ṙ sonra nr > sF (r,1)ve r, azalmayı ṙ doğal hızına taşıyacaktır. Benzer şekilde, if r < ṙ then nr < sF (r,1) Eğer r < ṙ sonra nr < sF (r,1) ve r ṙ 'a yükselecektir.

Grafik 4.

Solow Modelinin Temel Diferansiyel Denklemi

Kaynak: Solow (1956)

Herhangi bir gelir seviyesindeki her ülkenin, sermaye ve emek oranı üzerinde yoğunlaşarak büyüyebileceğini ifade etmektedir. anlamına gelmektedir ve sonunda, doğal oranlarına ulaşılacaktır. Daha fakir ülkeler ve orta gelirli ülkeler, büyümelerini daha yüksek gelir seviyesine yaklaştırmak için kendi kendilerini yönetmeleri gerekmektedir (Farah, 2016). Doğal oranlara ulaşmak, ülkenin istikrarlı bir seviyeye ulaştığı anlamına gelmektedir.

Fakat, gerçek durumda, tek bir ülke sıfır üretim büyümesine ulaşma imkanı yoktur. İşçi başına sermayenin sabit olması, yüksek gelirli bir ülkeye dönüştürüldükten sonra bile zaman içinde artabilmektedir. Verimlilik ile sonunda sürdürülebilir bir büyüme sağlanabilmektedir. Böyle bir durumu açıklamak için, verimlilikteki büyüme teknolojik değişimdeki ilerlemeye bağlı olacaktır. Fakat, neoklasik modelde Solow modeli gibi, teknolojik değişim dışşal olarak kabul edildiğinden tanımlanamamaktadır. Dolayısıyla,

teknolojik ilerlemenin rolünü açıklamak için, genellikle endojen büyüme modelinin açıklanması gerekmektedir (Mare, 2004).