7. UYGULAMA ÖRNEĞĠ
7.2. Sistemde Arıza Durumu Devam Ederken ĠM 5 Tarafında OluĢan Geçici 3 Faz-Toprak Arızasında Arıza Yeri Bulma
Nosso trabalho consiste em propor uma nova distribui¸c˜ao q-Maxwelliana da veloci- dade rotacional projetada com v´ınculos f´ısicos oriundos da dinˆamica da rota¸c˜ao estelar. Para isso, teremos como pressuposto elaborar uma abordagem te´orica que possibilite uma correla¸c˜ao entre o expoente do decaimento rotacional (j) e o expoente da distribui¸c˜ao (q). No geral, tal v´ınculo f´ısico ´e advindo da teoria de perda da taxa de momentum angular pelo vento estelar magn´etico ou, em outras palavras, da teoria do freio magn´etico.
No Cap´ıtulo 2 ´e exposto o trabalho feito pelos autores Soares et al. (2006) que propu- seram uma nova fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de velocidade baseada na estat´ıstica n˜ao-extensiva. Esta fun¸c˜ao, proposta por estes autores, consiste em uma generaliza¸c˜ao da fun¸c˜ao Maxwel- liana proposta por Deutsch (1970). Ainda no Cap´ıtulo 2, relacionamos as fun¸c˜oes q- Maxwellianas generalizadas, obtidas por Soares et al. (2006), com um parˆametro de freio proposto por de Freitas (2006). Esse autor, partindo dos trabalhos de Huang (1965 e 1967) elaborou uma generaliza¸c˜ao para a lei de Skumanich. Por fim, n´os iremos genera- lizar a fun¸c˜ao q-Maxwelliana utilizando v´ınculo advindo do parˆametro proposto por de Freitas (2006) denominado de fator de freio.
No Cap´ıtulo 3, focamos nossa aten¸c˜ao na descri¸c˜ao detalhada da amostra de estrelas utilizadas em nosso trabalho. Tal amostra foi retirada da vers˜ao atualizada do cat´alogo Geneva-Copenhagen Survey por Holmberg et al. (2007, 2009) com foco nos parˆametros estelares mais relevantes para o nosso trabalho, como: massa, metalicidade, idade e velo- cidade de rota¸c˜ao projetada (v sini). A sele¸c˜ao foi definida apenas por estrelas do tipo F e G com idades bem definidas.
No Cap´ıtulo 4, mostramos os resultados e discuss˜oes obtidos dos ajustes das nossas distribui¸c˜oes e as distribui¸c˜oes emp´ıricas. Al´em disso, mostraremos que existe uma de- pendˆencia entre os expoentes j e q acima mencionados.
Cap´ıtulo
2
Distribui¸c˜ao
q-Maxwelliana com v´ınculos
Nesse Cap´ıtulo teremos como objetivo modificar as q-Maxwellianas propostas inici- almente por Silva, Plastino e Lima (1998) e contextualizada para a rota¸c˜ao estelar por Soares et al. (2006). No geral, enquanto as Maxwellianas generalizadas propostas por Silva, Plastino e Lima (1998) tem como arcabou¸co te´orico a teoria cin´etica dos gases, a vers˜ao contextualizada de Soares et al. (2006) apresenta tamb´em como base central a quest˜ao da aleatoriedade dos eixos de rota¸c˜ao. No entanto, essa vers˜ao n˜ao traz `a tona outros elementos extra´ıdos do contexto da rota¸c˜ao estelar, tais como o decaimento ro- tacional pelo freio magn´etico, os efeitos da topologia do campo e/ou da lei do d´ınamo. Nossa proposta est´a inteiramente baseada nos efeitos desses parˆametros sobre o compor- tamento da distribui¸c˜ao emp´ırica da velocidade de rota¸c˜ao. Enfim, nossa hip´otese inicial est´a associada `a ideia de que o expoente do decaimento rotacional controla a dinˆamica do espa¸co de fase das velocidades rotacionais, ou seja, tal expoente j controla o perfil da distribui¸c˜ao que por sua vez depende do ´ındice entr´opico q, como veremos mais tarde.
2.1
Fun¸c˜ao distribui¸c˜ao q-Maxwelliana
No contexto da n˜ao-extensividade, as distribui¸c˜oes gaussianas das velocidades que le- varam Maxwell a usar uma exponencial ´e um caso particular de uma fam´ılia de leis de potˆencia. Essas s˜ao as q-exponenciais, expq(f ) ≡ [1 + (1 − q)f]1−q1 , onde f ´e uma fun¸c˜ao
de vari´aveis aleat´orias1, que inclui a exponencial padr˜ao para o caso onde q = 1. Esse for-
1Uma vari´avel aleat´oria discreta pode assumir valores em um conjunto finito. A fun¸c˜ao associada a
essa vari´avel ´e a fun¸c˜ao de probabilidade, que obedece a duas regras:
p(x) ≥ 0 (2.1)
X
p(x) = 1 (2.2)
Se a vari´avel aleat´oria puder assumir qualquer valor em um intervalo cont´ınuo, ser´a chamada de vari´avel aleat´oria cont´ınua. A probabilidade de uma vari´avel aleat´oria cont´ınua assumir um valor exato ´e zero.
malismo, diferentemente das fun¸c˜oes padr˜ao de BG, proporciona uma not´avel ponte com a Mecˆanica Estat´ıstica n˜ao-extensiva, onde as q-exponencias desempenham um papel fun- damental (assim como a exponencial faz dentro da estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs). Se- gundo Lima et al. (2000), esta observa¸c˜ao permitiu a q-generaliza¸c˜ao do teorema cl´assico da equiparti¸c˜ao da energia produzindo tamb´em uma distribui¸c˜ao tipo lei de potˆencia em que o parˆametro vari´avel ´e a energia cin´etica. Por outro lado, Latora et al. (2002) tem usado a velocidade de rota¸c˜ao como um parˆametro vari´avel em seus trabalhos sobre dinˆamica de um sistema Hamiltoniano com N spins cl´assicos planares. Ao passo que Campa et al. (2001) tem usado os mesmos princ´ıpios no estudo de rotatores interagindo atrav´es de um potencial de alcance infinito.
Deutsch (1970) considerou a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao para a magnitude de um vetor que tem orienta¸c˜ao aleat´oria. Por isto, ´e necess´ario encontrar a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de um escalar positivo ω (velocidade angular da estrela), que ´e a magnitude de um vetor ~ω. As- sumimos que a distribui¸c˜ao de ~ω ´e isotr´opica. Assumimos tamb´em que se for decomposta em eixos cartesianos, a distribui¸c˜ao de qualquer componente ´e independente dos outros.
Deutsch (1970) definiu Ω como uma quantidade adimensional jω, onde j ´e um parˆametro com dimens˜ao de ω−1
, assim ~
Ω = Ωxˆi + Ωyˆj + Ωzkˆ (2.6)
A probabilidade de que Ωxse encontre no intervalo [Ωx, Ωx+dΩx], Ωyem [Ωy, Ωy+dΩy]
e Ωz em [Ωz, Ωz + dΩz] ´e ent˜ao
F (Ω)d3Ω = f (Ωx)f (Ωy)f (Ωz)dΩxdΩydΩz (2.7)
com Ω = pΩ2
x+ Ω2y + Ω2z. ´E simples (ver Deutsch, 1970) mostrar que F (Ω) ´e a distri-
bui¸c˜ao Maxwelliana padr˜ao
F (Ω) = 4 πΩ
2
exp(−Ω2) (2.8)
Assim, ser˜ao relevantes as probabilidades em que a vari´avel assuma valores em determinados intervalos. Esses s˜ao calculados por meio da fun¸c˜ao densidade de probabilidade, que obedece as trˆes regras:
f (x) ≥ 0 (2.3) +∞ Z −∞ f (x)dx = 1 (2.4) b Z a f (x)dx = P (a < x ≤ b), b > a (2.5)
Dessa forma, podemos analisar o problema no ˆambito n˜ao-extensivo proposto por Tsal- lis (1988), modificando a hip´otese b´asica de independˆencia estat´ıstica entre a distribui¸c˜ao associada com as componentes de ~Ω. Como foi salientado por Silva, Plastino e Lima (1998), a independˆencia entre as trˆes componentes da velocidade n˜ao se mant´em em sis- temas de intera¸c˜ao de longo alcance, onde o car´ater n˜ao-extensivo ´e observado. Levando em conta tais argumentos, Silva, Plastino e Lima (1998) propˆos a seguinte generaliza¸c˜ao para Eq. (2.7):
F (Ω)d3Ω = expq(lnqf (Ωx) + lnqf (Ωy) + lnqf (Ωz))dΩxdΩydΩz (2.9)
onde a q-exponencial expq(f ) e q-logaritmo lnq(f ) s˜ao fun¸c˜oes definidas como
expq(f ) = [1 + (1 − q)f]1/(1−q) (2.10) lnq(f ) =
f1−q− 1
1 − q (2.11)
nota-se que no limite q = 1, expq(f ) e lnq(f ) reproduzem as fun¸c˜oes exponenciais e lo-
gar´ıtmicas habituais recuperando a forma padr˜ao da Eq. (2.7).
A diferencia¸c˜ao parcial da q-log em rela¸c˜ao a Ωi ´e (ver Deutch., 1970)
∂ lnqF
∂Ωi
= ∂
∂Ωi
(lnqfx+ lnqfy + lnqfz) (2.12)
desde que expq(lnq(f )) = lnq(expq(f )) = f , onde i = x, y, z. Equivalentemente,
Ωi χ F′ (χ) Fq(χ) = ∂ ∂Ωi (lnqfi) (2.13) onde χ =pΩ2 x+ Ω2y+ Ω2z e F ′
(χ) ´e a derivada total de F (χ). Definindo Φ(χ) ≡ (1/χ)F′
(χ)/Fq(χ), podemos rescrever a Eq. (2.13) como
Φ(χ) = 1 Ωx ∂ ∂Ωx (lnqfx) = 1 Ωy ∂ ∂Ωy (lnqfy) = 1 Ωz ∂ ∂Ωz (lnqfz) (2.14)
Esta equa¸c˜ao pode ser satisfeita apenas se todos os termos forem iguais a uma cons- tante que n˜ao cont´em os componentes Ω. Assim, podemos fazer Φ(χ) = −γ, que ´e,
1 Ωi
∂ ∂Ωi
Assim, as solu¸c˜oes da Eq. (2.15) para f (Ωi) ser˜ao dados por
lnqfi = −
γΩ2 i
2 + lnqA, (2.16)
Onde A ´e uma constante de integra¸c˜ao. Tomando a q-exponencial obtemos f (Ωi) = 1 + (1 − q) lnqA − γΩ2 i 2 1/(1−q) (2.17) Definindo uma nova constante como
2 σ2 ≡ γ 1 + (1 − q) lnqA = γ A1−q (2.18)
onde o parˆametro σ ´e a largura da q-Maxwelliana, e substituindo na Eq. (2.17) resulta em f (Ωi) = Aq 1 − (1 − q)Ω 2 i σ2 1/(1−q) . (2.19)
Aqui introduzimos o sub-´ındice q para explicitar a q-dependˆencia de A2. Eq. (2.19)
recupera os termos da exponencial padr˜ao da fun¸c˜ao Gaussiana para q = 1.
Ent˜ao a probabilidade de Ω esta no intervalo [Ω, Ω + dΩ] pode ser determinada como se segue:
F (Ω) = Z
f (Ω)d3Ω Colocando d3Ω = Ω2sinθdθdϕdΩ, para um dado Ω obtemos
Fq(Ω) = Z Z AqΩ2 1 − (1 − q)Ω 2 σ2 1/(1−q) sinθdθdϕ,
e ap´os a integra¸c˜ao n´os temos que
Fq(Ω) = 4πAqΩ2 1 − (1 − q)Ω 2 σ2 1/(1−q) . (2.20)
Uma vez que a distribui¸c˜ao padr˜ao da velocidade verdadeira x para uma amostra de estrela ´e F (x) ∝ x2e−x2
, como mostrado por Deutsch (1970), o padr˜ao da distribui¸c˜ao de velocidade de rota¸c˜ao projetada xsini, para eixos orientados aleatoriamente, deve ser dado por φ(y) ∝ ye−y2
(ver Kraft., 1970), com y ≡ xsini. Agora, a q-distribui¸c˜ao φq(y)
deve reproduzir o padr˜ao, da mesma forma que Fq(x) recupera F (x) para o caso limite
2A
q = 1.
Desta forma, propomos a seguinte fun¸c˜ao distribui¸c˜ao para as velocidades de rota¸c˜ao estelar observadas: φq(y) = Bqy 1 − (1 − q)y 2 σ2 1/(1−q) (2.21) onde Bq ´e uma constante que depende de q e deve ser determinada analiticamente da
normaliza¸c˜ao de φq(y).
´
E visto na Fig 2.1 o comportamento da fun¸c˜ao q-Maxwelliana para diferentes valores de q. Nota-se a influˆencia do ´ındice entr´opico q na cauda da distribui¸c˜ao. Nota-se tamb´em que existe uma descontinuidade na fun¸c˜ao para q = 0.5. Esse comportamento j´a havia sido observado por Tsallis (1988), onde o autor prop˜oe uma cut-off na fun¸c˜ao para alguns valores de q menores que a unidade onde a fun¸c˜ao q-generalizada apresentaria um com- portamento at´ıpico. J´a na Fig 2.2 pode-se ver a compara¸c˜ao entre a fun¸c˜ao Maxwelliana padr˜ao e a fun¸c˜ao q-generalizada q-Maxwelliana.
Figura 2.1: Fun¸c˜ao distribui¸c˜ao q-Maxwelliana para diferentes valores de q. ´
E interessante vermos que na literatura as fun¸c˜oes q-Maxwellianas n˜ao levam em conta os v´ınculos f´ısicos associados ao processo de desacelera¸c˜ao rotacional, pois as mesmas s˜ao fun¸c˜oes mais gerais. Isso pode ser evidenciado em Soares et al. (2006), por exemplo. Nosso trabalho consiste em levar em conta esse fator de freio na fun¸c˜ao distribui¸c˜ao, que ´e um v´ınculo f´ısico. Isso consiste em um diferencial importante desse trabalho.
Ressaltamos que as vari´aveis y presentes na q-Maxwelliana s˜ao aleat´orias (estoc´asticas). No contexto do nosso trabalho, essas vari´aveis obedecem uma lei determin´ıstica que est´a associada aos efeitos do freio magn´etico durante a evolu¸c˜ao estelar na sequˆencia principal. Nesse sentido, se faz necess´ario incluir esses efeitos que dependem do tempo. Na se¸c˜ao posterior iremos extrair o parˆametro que engloba tais efeitos.
Figura 2.2: Comparativo entre a fun¸c˜ao Maxwelliana e a q-Maxwelliana para diferentes valores de q.