Proposi¸c˜ao 5.1.6. Sejam a, J ideais de (R, m). Se f − depthM < ∞, ent˜ao
f f− depth(a, I, J, M) ≤ min{f −depth(I, M), dimM/(a + J)M}.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente note que
f f − depth(a, m, J, M) ≤ sup{i ∣ Fi
a,m,J(M) ´e n˜ao Artiniano} ≤ sup{i ∣ Fi
a,m,J(M) ≠ 0} = dimM/(a + J)M.
A ´ultima igualdade segue pelo Teorema 4.3.2. Agora, pela Proposi¸c˜ao 5.1.1 temos que f f− depth(a, m, J, M) ≤ inf{i ∣ Hm(M) ´e n˜ao Artiniano}, o que completa a demonstra¸c˜ao.i
5.2
Artinianidade da cohomologia local formal
Um dos mais importantes problemas em cohomologia local ´e investigar propriedades de artinianissidade. Partindo disto, o principal prop´osito desta se¸c˜ao ´e dar alguns resultados sobre a artinianissidade dos m´odulos de cohomologia local formal e a ˇCech-cohomologia local formal, ambos com respeito a um par de ideais. Seja t um inteiro. Yan Gu [18] e A. Mafi [32], mostraram que ˇFi
I(M) ´e Artiniano para todo i < t (respectivamente para i > t) se, e somente se, existe um inteiro r> 0 tal que IrFˇi
I(M) = 0 para todo i < t (respectivamente para i > t). Para o nosso caso temos a seguinte vers˜ao deste resultado.
Teorema 5.2.1. Sejam a, J ideais de um anel local (R, m), M um R-m´odulo finitamente
gerado e t um inteiro n˜ao nulo. Se Γa(M) ´e um R-m´odulo J-tor¸c˜ao, as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(a) ˇFi
a,m,J(M) ´e Artiniano para todo i > t; (b) a⊆ Rad(0 ∶ ˇFi
a,m,J(M)) para todo i > t.
Demonstra¸c˜ao. (a) ⇒ (b) Seja i > t. Como ˇFi
a,m,J(M) ´e Artiniano e R um anel local, temos que ajFi
a,m,J(M) = 0 para algum inteiro positivo j. Ent˜ao a ⊆ Rad(0 ∶ ˇFia,m,J(M)) para todo i> t.
5.2 Artinianidade da cohomologia local formal 97 (b) ⇒ (a) Provaremos usando indu¸c˜ao sobre dimM = d. Se d = 0 temos pela Proposi¸c˜ao 4.1.4 que ˇFi
a,m,J(M) = Fia,m,J(M) = 0 para todo i > 0. Assim o resultado ´e verdadeiro. Agora,
suponha que d > 0 e que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para todos os valores menores que d.
Primeiramente, como Γa(M) ´e a-tor¸c˜ao e J-tor¸c˜ao, temos que ˇFi
a,m,J(Γa(M)) ≅ Hm(Γi a(M)). Ent˜ao, a partir da sequˆencia exata
0 → Γa(M) → M → M/Γa(M) → 0,
segue do Teorema4.2.4 a sequˆencia exata longa
. . . → Hm(Γi a(M)) → ˇFia,m,J(M) → ˇFa,m,Ji (M/Γa(M)) → Hmi+1(Γa(M)) → . . . (♯). Assim, se ˇFi
a,m,J(M/Γa(M)) ´e Artiniano para todo i > t temos a afirma¸c˜ao. Por (♯) podemos ver que a⊆ Rad(0 ∶ ˇFi
a,m,J(M/Γa(M))) para todo i > t. Ent˜ao podemos assumir Γa(M) = 0. Seja x∈ a um elemento M-regular. Por hip´otese, para todo i > t, existe um inteiro positivo ji tal que xjiFˇi
a,m,J(M) = 0. A sequˆencia exata
0 → M x→ M → Mji /xjiM →0
induz a sequˆencia exata 0 → ˇFi
a,m,J(M) → ˇFia,m,J(M/xjiM) → ˇFia,m,J+1 (M)
para todo i> t. Esta sequˆencia mostra que a ⊆ Rad(0 ∶ ˇFi
a,m,J(M/xjiM)) e, pela hip´otese de indu¸c˜ao, ˇFi
a,m,J(M/xjiM)) ´e Artiniano para todo i > t. Portanto ˇF i
a,m,J(M) ´e Artiniano para todo i> t.
Como uma imediata consequˆencia do resultado pr´evio, temos a seguinte caracteriza¸c˜ao.
Corol´ario 5.2.2. Sejam a, J ideais de um anel local (R, m). Considere M um R-m´odulo
finitamente gerado e t um inteiro n˜ao negativo. Se Γa(M) ´e um R-m´odulo J-tor¸c˜ao, ent˜ao gˇg−depth(a, m, J, M) = sup{i ∶ a /⊆ Rad(0 ∶ ˇFia,m,J(M))}.
Observa¸c˜ao 5.2.3. 1) Pelo pr´evio resultado e a Proposi¸c˜ao 4.1.4 ´e poss´ıvel mostrar que: Se a⊆ Rad(0 ∶ ˇFi
5.2 Artinianidade da cohomologia local formal 98
Por outro lado, para a cohomologia local formal Fi
a,m,J(M) a afirma¸c˜ao (a) ⇒ (b)
tamb´em ´e verdadeira.
Note tamb´em que, para todos os casos em Corol´ario 4.1.6, as equivalˆencias entre (a) e
(b) acontecem para Fi
a,m,J(M).
2) Usando a mesma id´eias do teorema pr´evio, ´e poss´ıvel mostrar tamb´em que ˇFi
a,m,J(M) ´e Artiniano para todo i< t se, e somente se, a ⊆ Rad(0 ∶ ˇFi
a,m,J(M)) para todo i < t.
Corol´ario 5.2.4. Sejam a, J ideais do anel local (R, m). Considere M um R-m´odulo finita-
mente gerado e t um inteiro n˜ao negativo. Se Γa(M) ´e um R-m´odulo J-tor¸c˜ao, ent˜ao f ˇf−depth(a, m, J, M) = inf{i ∶ a /⊆ Rad(0 ∶ ˇFi
a,m,J(M))}.
Vamos dar agora um interessante resultado que generaliza [16, Proposi¸c˜ao 2.1], [8, Teo- rema 2.1, Teorema 2.2]. Relembre que um ideal primo p de R ´e dito ser um primo atachado
de M se, para todo ideal finitamente gerado I ⊆ p, existe x ∈ M tal que I ⊆ (0 ∶R x) ⊂ p.
Denotaremos por AttR(M) o conjunto de todos os primos atachados do R-m´odulo M.
Teorema 5.2.5. Assuma que a ´e um ideal do anel local (R, m). Seja M um R-m´odulo
finitamente gerado tal que dimM= d. Ent˜ao Fd
a,I,J(M) ´e Artiniano para todos ideais I, J de R. Al´em disto
AttR(Fd
a,I,J(M)) = {p ∈ SuppRM∩ V (J) ∣ cd(I, R/p) = d} ∩ V (a),
onde cd(I, R/p) ´e a dimens˜ao cohomol´ogica do R-m´odulo R/p com respeito a I. Em particular AttR(Fd
a,I,J(M)) ⊂ AttR(Fda,I(M)).
Demonstra¸c˜ao. Seja R = R/AnnRM. Como Hd
I,J(M) ≅ H
d
IR,J R(M) [8, Lema 2.1] podemos
considerar que AnnM = 0 e assim d = dimR. Uma vez que Hi
I,J(R) = 0 para todo i > d ( Teorema 2.4.6), pelo Lema 2.4.7 temos
HI,Jd (M/anM) ≅ HI,Jd (R) ⊗RM/anM ≅ HI,Jd (M) ⊗RR/an ≅ Hd
5.2 Artinianidade da cohomologia local formal 99
Pelo [10, Teorema 2.1] (tamb´em citado no Cap´ıtulo 2, Se¸c˜ao 2.6), Hd
I,J(M) ´e um R-
m´odulo Artiniano. Ent˜ao, existe um inteiro n0 tal que, para todo inteiro t ≥ n0, temos que atHd
I,J(M) = an0H d
I,J(M). Como
Fd
a,I,J(M) ≅ HI,J(M)/ad n0HI,Jd (M)
segue que ´e um R-m´odulo Artiniano. Para a segunda afirma¸c˜ao, use [37, Proposi¸c˜ao 5.2], [8, Teorema 2.1] e a equa¸c˜ao anterior.
Teorema 5.2.6. Assuma a e J ideais do anel local(R, m). Seja M um R-m´odulo finitamente
gerado tal que dimM= d. Ent˜ao
AttR(Fd
a,m,J(M)) = {p ∈ SuppRM∩ V (J) ∣ dim R/p = d} ∩ V (a). Demonstra¸c˜ao. A prova segue por [8, Teorema 2.2] e Teorema 5.2.5.
Agora uma imediata consequˆencia do Teorema 5.2.5.
Corol´ario 5.2.7. Considere a, I, J ideais do anel local(R, m). Sejam M e N dois R-m´odulos finitamente gerados de dimens˜ao d tal que SuppRM = SuppRN. Ent˜ao AttR(Fda,I,J(M)) = AttR(Fd
a,I,J(N)).
Para o pr´oximo resultado, relembre que um R-m´odulo n˜ao nulo S ´e chamado de se-
cond´ario quando S ≠ 0 e, para cada r ∈ R, rS = S ou existe n ∈ N tal que rnS = 0. Uma
representa¸c˜ao second´aria para um R-m´odulo M ´e uma express˜ao de M como uma
soma finita de subm´odulos second´arios de M . Se tal representa¸c˜ao existe, dizemos que M ´e represent´avel. Se M admite uma representa¸c˜ao second´aria minimal M = S1+. . .+Sn, ent˜ao o conjunto AttR(M) dos primos atachados de M ´e o conjunto {Rad(0 ∶R Si) ∶ i = 1, . . . , n} [6, Defini¸c˜ao 7.2.2]. Em alguns resultados n´os usaremos o seguinte resultado elementar.
Lema 5.2.8. Sejam R um anel comutativo e M , N dois R-m´odulos. Ent˜ao AnnR(M) ∪
AnnR(N) ⊂ AnnRExtiR(M, N) para todo inteiro i.
Demonstra¸c˜ao. Sejam x∈ AnnR(M) ∪ AnnR(N) e χNx ∶ N → N definido por n ↦ xn. Este
mapa induz o mapa
ExtiR(M, χN x) ∶ Ext
i
5.2 Artinianidade da cohomologia local formal 100
que ´e dado pela multiplica¸c˜ao por x. Assuma agora que x∈ AnnR(N). Ent˜ao o mapa χNx ´e o mapa nulo, e assim isto implica que o mapa induzido ExtiR(M, χN
x) ´e tamb´em o mapa nulo. Em outra palavras, multiplica¸c˜ao por x sobre ExtiR(M, N) ´e zero, como quer´ıamos. O caso onde x∈ AnnR(M) ´e feito similarmente, usando o mapa χMx .
Teorema 5.2.9. Sejam (R, m) um anel local, a, I, J ideais de R e M um R-m´odulo finita-
mente gerado. Se Fi
a,I,J(M) ´e n˜ao nulo e represent´avel, para um inteiro i, ent˜ao a ⊂ p para todo p∈ AttR(Fia,I,J(M)).
Demonstra¸c˜ao. Seja Fi
a,I,J(M) = S1 + . . . + Sn uma representa¸c˜ao second´aria minimal de Fi
a,I,J(M), onde Sk ´e pk-second´ario para k = 1, . . . , n. Suponha, por contradi¸c˜ao, que a /⊆ pk para um inteiro k ∈ {1, . . . , n}. Ent˜ao existe um elemento x ∈ a ∖ pj. Podemos assumir um elemento 0≠ y = (yj) ∈ Sk ⊂ Fia,I,J(M) com yj ∈ Sk sendo da primeira componente n˜ao nula de y.
Note que xSk = Sk uma vez que x /∈ pj. Como xjSk ⊆ xjFia,I,J(M), segue que Sk ⊆ xjFi
a,I,J(M). Al´em disto, xjHI,Ji (M/ajM) = 0 pelo Lema 5.2.8, ent˜ao podemos concluir que a j-´esima componente de cada elemento de xjFi
a,I,J(M). Assim temos uma contradi¸c˜ao devido ao fato que y∈ xjFi
a,I,J(M) e yj ∈ Sk s˜ao n˜ao nulos. Isto finaliza a prova da afirma¸c˜ao. Uma consequˆencia imediata do resultado pr´evio mostra que a a- cohomologia local formal com respeito a um par de ideais, quando s˜ao represent´aveis, s˜ao m´odulos de a-tor¸c˜ao.
Corol´ario 5.2.10. Considere as mesmas hip´oteses do resultado anterior. Se Fi
a,I,J(M) ´e n˜ao nulo e represent´avel, para um inteiro i, ent˜ao a⊆ Rad(0 ∶ Fi
a,I,J(M)). Demonstra¸c˜ao. Como Rad(0 ∶ Fi
a,I,J(M)) = ∩p∈AttR(Fia,I,J(M))p, pela mesma id´eia da [6, Pro-
posi¸c˜ao 7.2.11] e o teorema pr´evio segue que a⊆ ∩p∈AttR(Fi
a,I,J(M))p. Assim temos a afirma¸c˜ao.
Observa¸c˜ao 5.2.11. Pelo corol´ario anterior, podemos concluir tamb´em que, se Fi
a,I,J(M) ´e Artiniano para todo i> t (respectivamente i < t), ent˜ao a ⊆ Rad(0 ∶ Fi
a,I,J(M)) para todo i > t (respectivamente i< t), uma vez que m´odulos Artinianos s˜ao represent´aveis. Portanto temos que
sup{i ∶ a /⊆ Rad(0 ∶ ˇFi
5.2 Artinianidade da cohomologia local formal 101
e
0≤ ff −depth(a, m, J, M) ≤ inf{i ∶ a /⊆ Rad(0 ∶ ˇFi
a,m,J(M))}.
Note que neste caso n˜ao estamos assumindo que Γa(M) ´e um R-m´odulo J-tor¸c˜ao. O
leitor pode comparar este resultado com a Observa¸c˜ao 5.2.3.
Na sequˆencia damos um dos nosso principais resultados desta se¸c˜ao.
Teorema 5.2.12. Assuma (R, m) um anel local e a, J ideais de R. Seja M um R-m´odulo
finitamente gerado tal que Γa(M) ´e J-tor¸c˜ao. Se para algum inteiro t, ˇFi
a,m,J(M) ´e Artiniano para todo i> t, ent˜ao ˇFt
a,m,J(M)/aˇFta,m,J(M) ´e Artiniano.
Demonstra¸c˜ao. Vamos provar por indu¸c˜ao sobre dimM∶= n.
Se n = 0, temos que ˇF0
a,m,J(M) ≅ F0a,m,J(M) (Proposi¸c˜ao 4.1.4). Ent˜ao pelo Teorema 5.2.5, ˇF0
a,m,J(M) ´e Artiniano como quer´ıamos. Agora assuma que n > 0 e que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para todos os valores menores que n. A partir da sequˆencia exata
0 → Γa(M) → M → M/Γa(M) → 0
pelo Teorema 4.2.4 temos a sequˆencia exata longa ⋯ → ˇFi
a,m,J(Γa(M)) → ˇFia,m,J(M) → ˇFia,m,J(M/Γa(M)) → ˇFia,m,J+1 (Γa(M)) → ⋯.
Uma vez que Γa(M) ´e a-tor¸c˜ao segue que ˇ
Fi
a,m,J(Γa(M)) = Hi(lim←Ð(Cx,Jˇ ⊗ Γa(M)/anΓa(M)) ≅ Hm,Ji (Γa(M)).
Pela hip´otese, temos que ˇFi
a,m,J(Γa(M)) ≅ Hm(Γi a(M)) ´e Artiniano para todo i. Assim ˇ
Fi
a,m,J(M/Γa(M)) ´e Artiniano para todo i > t. Agora tomando a sequˆencia exata
Hm(Γt a(M)) → ˇFta,m,J(M) ϕ → ˇFt a,m,J(M/Γa(M)) ψ → Ht+1 m (Γa(M)) (5.2)
5.2 Artinianidade da cohomologia local formal 102 0 → Kerϕ → ˇFt a,m,J(M) → Imϕ → 0 e 0 → Imgϕ → ˇFi a,m,J(M/Γa(M)) → Imψ → 0. (5.3)
A partir disto podemos deduzir as seguintes as seguintes sequˆencias exatas Kerϕ aKerϕ → ˇ Ft a,m,J(M) aˇFt a,m,J(M) → Imϕ aImϕ (1) e
TorR1(R/a, Imψ) → Imϕ aImϕ → ˇ Ft a,m,J(M/Γa(M)) aˇFt a,m,J(M/Γa(M)) . (2)
Como Kerϕ e Imψ s˜ao Artinianos, de (1) e (2) que, se ˇF
t
a,m,J(M/Γa(M))
aˇFt
a,m,J(M/Γa(M))
´e Artiniano, ent˜ao ˇ
Ft a,m,J(M)
aˇFt a,m,J(M)
´e Artiniano. A partir disto, podemos assumir que Γa(M) = 0.
Seja x∈ a ∖ ∪p∈AssRMp e assim temos dimM/xM = n − 1. Ent˜ao, a sequˆencia exata
0 → M → M → Mx /xM → 0
induz a seguinte sequˆencia exata longa
⋯ → ˇFi a,m,J(M) x → ˇFi a,m,J(M) α → ˇFi a,m,J(M/xM) β → ˇFi+1 a,m,J(M) → ⋯. (5.4)
Uma vez que ˇFi
a,m,J(M) ´e Artiniano para todo i > t, a pr´evia sequˆencia exata nos diz que ˇFi
a,m,J(M/xM) ´e Artiniano para todo i > t. Ent˜ao pela hip´otese de indu¸c˜ao temos que ˇ
Ft
a,m,J(M/xM)/aˇFta,m,J(M/xM) ´e Artiniano. A partir desta sequˆencia exata longa, podemos considerar as seguintes sequˆencias exatas
0 → Imα → ˇFta,m,J(M/xM) → Imβ → 0 e
ˇ
Fta,m,J(M) x
→ ˇFta,m,J(M) → Imα → 0 que induzem as seguintes duas sequˆencias exatas
TorR1(R/a, Imβ) → Imα aImα → ˇ Ft a,m,J(M/xM) aˇFt a,m,J(M/xM) (3) e ˇ Ft a,m,J(M) aˇFt a,m,J(M) x → Fˇ t a,m,J(M) aˇFt a,m,J(M) → Imα aImα → 0. (4)