4.1. Sistematik Bulgular
4.1.5. Familya: RAPHIGNATHIDAE Kramer, 1877
Corol´ario 4.5.9. Considere as mesmas hip´oteses do teorema anterior. Existe uma sequˆencia exata longa ⋯ → HomR(Rx, Hm,Ji (M)) → H i m,J(M) → Fi xR,m,J(M) → ⋯ para todo i∈ Z.
4.6
O grade formal com respeito a um par de ideais
Conceito de grade formal foi introduzido por Peskine and Szpiro [41] e at´e o presente momento n˜ao se sabe muito sobre ele. Em nosso contexto, como somente para alguns casos temos o isomorfismo Fi
a,I,J(M) ≅ ˇFia,I,J(M), precisamos dar duas defini¸c˜oes de grade formal, diferentemente ao feito por Schenzel [45].
Defini¸c˜ao 4.6.1. Para um ideal a de R definimos por fgrade(a, I, J, M) = inf{i ∈ Z ∶ Fi
a,I,J(M) ≠ 0} e
ˇ
fgrade(a, I, J, M) = inf{i ∈ Z ∶ ˇFi
a,I,J(M) ≠ 0}.
Note que fgrade(a, I, J, M) ≥ ˇfgrade(a, I, J, M) pela Proposi¸c˜ao 4.1.4. O pr´oximo resul- tado extende [30, Proposi¸c˜ao 2.2 e Corol´ario 2.4].
Proposi¸c˜ao 4.6.2. Seja (R, m) um anel local. Se 0 → P → M → N → 0 ´e uma sequˆencia
exata de R-m´odulos finitamente gerados, ent˜ao as seguintes afirma¸c˜oes acontecem. (a) fˇgrade(a, I, J, M) ≥ min{ ˇfgrade(a, I, J, P), ˇfgrade(a, I, J, N)}.
(b) fˇgrade(a, I, J, P) ≥ min{ ˇfgrade(a, I, J, M), ˇfgrade(a, I, J, N) + 1}. (c) fˇgrade(a, I, J, N) ≥ min{ ˇfgrade(a, I, J, P) − 1, ˇfgrade(a, I, J, M)}. (d) Uma das igualdades acontece:
ˇ
fgrade(a, I, J, M) = ˇfgrade(a, I, J, P), ˇ
4.6 O grade formal com respeito a um par de ideais 90 ˇ
fgrade(a, I, J, M) = ˇfgrade(a, I, J, N) = ˇfgrade(a, I, J, P), ˇ
fgrade(a, I, J, N) = ˇfgrade(a, I, J, P) − 1. Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 4.2.4 segue que
⋯ → ˇFi
a,I,J(P) → ˇFia,I,J(M) → ˇFia,I,J(N) → ˇFia,I,J+1 (P) → ⋯.
Ent˜ao temos imediatamente as afirma¸c˜oes (a), (b) and (c). Denote ˇfgrade(a, I, J, M) = t, ˇ
fgrade(a, I, J, N) = s e ˇfgrade(a, I, J, P) = r. Para provar (d), suponha que nenhuma das
igualdades ocorrem. Ent˜ao uns dos casos a seguir acontence: (i) r < s < t (ii) s < r < t (iii) t < r < s (iv) t < s < r (v) s < t < r (vi) r < t < s.
Mostraremos somente dois casos, e os demais seguem analogamente. Se r< s < t, ent˜ao s+ 1 ≤ t. Portanto por (b), s + 1 ≤ r < s e isto ´e uma contradi¸c˜ao.
Se s< r < t, ent˜ao s ≤ r − 1 < t. Assim por (c) temos que r − 1 ≤ s. Isto ´e novamente uma contradi¸c˜ao pois s= r − 1.
Corol´ario 4.6.3. Sejam a, b dois ideais de R. Ent˜ao
(a) fˇgrade(a ∩ b, I, J, M) ≥
min{ ˇfgrade(a, I, J, M), ˇfgrade(b, I, J, M), ˇfgrade((a, b), I, J, M) + 1}. (b) fˇgrade((a, b), I, J, M) ≥
min{ ˇfgrade(a ∩ b, I, J, M) − 1, ˇfgrade(a, I, J, M), ˇfgrade(b, I, J, M)}. Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 4.4.1, existe a seguinte sequˆencia exata longa
⋯ → ˇFia∩b,I,J(M) → ˇFia,I,J(M) ⊕ ˇF i b,I,J(M) → ˇF i (a,b),I,J(M) → ˇF i+1 a∩b,I,J(M) → ⋯.
Portanto, analogamente ao feito na Proposi¸c˜ao 4.6.2 o resultado segue.
Observa¸c˜ao 4.6.4. ´E claro que ˇfgrade(a, I, J, M) = fgrade(a, I, J, M), para todos os casos presentes no Corol´ario 4.1.6.
4.6 O grade formal com respeito a um par de ideais 91
O leitor pode comparar o pr´oximo resultado com [3, Corol´ario 4.2] e [45, Lema 4.8 (d)].
Teorema 4.6.5. Sejam (R, m, K) um anel local completo e Cohen-Macaulay de dimens˜ao d
e J ≠ 0 um ideal perfeito de R de grade t, i.e, pdR(R/J) = grade(J, R) = t. Ent˜ao, para um
R-m´odulo M finitamente gerado,
fgrade(a, m, J, M) + cda(M, S) + grade(J, R) = dim R, onde S= Hd−t
m,J(R)∨.
Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 4.5.5 temos que Hi
m,J(M) ≅ HomR(ExtdR−t−i(M, S), ER). Assim Fi
a,m,J(M) = lim←ÐH i
m,J(M/anM)
≅ lim←Ð HomR(ExtdR−t−i(M/anM, S), ER(K)) = HomR(limÐ→ ExtdR−t−i(M/anM, S), ER(K))
.
Como Ha(M, S) = limi
Ð→ ExtdR−t−i(M/anM, S) [20], para todo i ∈ Z, existem os isomorfismos Fi
a,m,J(M) ≅ HomR(Had−t−i(M, S), ER(K)).
Portanto
inf{i ∈ Z ∶ Fi
a,m,J(M) ≠ 0} = inf{i ∈ Z ∶ Had−t−i(M, S) ≠ 0} = inf{d − t − j ∶ Hj
a(M, S) ≠ 0} = d − t − sup{j ∶ Hj
a(M, S) ≠ 0} = dim R − grade(J, R) − cda(M, S).
Segue abaixo um exemplo que faz uso de alguns resultados obtidos neste cap´ıtulo. O leitor pode comparar este exemplo com o [45, Lema 5.4].
Exemplo 4.6.6. Sejam (R, m) um anel local Noetheriano e completo, x = x1, . . . , xs um
sistema de elementos de R, I= (x), J ideais de R e M um R-m´odulo finitamente gerado.
(a) Se M ´e um R-m´odulo J-tor¸c˜ao indecompon´ıvel e fgrade(a, m, J, M) ≥ 2 para um ideal
4.6 O grade formal com respeito a um par de ideais 92
(b) Se M ´e um R-m´odulo J-tor¸c˜ao indecompon´ıvel, √I+ J = m e
fgrade(a, I, J, M) ≥ 2 para um ideal a de R, ent˜ao SuppRM/aM/{m} ´e conexo.
Demonstra¸c˜ao. Para a prova do item(a), suponha por contradi¸c˜ao que SuppRM/aM/{m} ´e
n˜ao conexo. Isto significa que existem ideais L, K em R tais que,
(1) L∩ K ⊆√(0);
(2) √L+ K = m;
(3) √L≠ m e √K ≠ m.
Pela sequˆencia de Mayer - Vietoris (Corol´ario 4.4.2 (a)) e a hip´otese que fgrade(a, m, J, M) ≥ 2, temos que
F0L,m,J(M) ⊕ F0K,m,J(M) ≃ F0(L,K),m,J(M). Pelo item (2) e Proposi¸c˜ao 4.3.1 (a) segue que F0
(L,K),m,J(M) ≃ M. Como M ´e indecom-
pon´ıvel segue que, sem perda de generalidade, F0
L,m,J(M) ≃ M e F0K,m,J(M) = 0.
Al´em disto, uma vez que M ´e J-tor¸c˜ao, pela Proposi¸c˜ao 4.1.6 segue que F0
L,m,J(M) = F 0 L,m(M) e F0K,m,J(M) = F0K,m(M). Assim, pelo [45, Lema 4.1 (c) e (b)] temos que
AssRM = {p ∈ AssRM ∶ dimR/(p, L) = 0}.
Portanto
m= ⋂
p∈AssRM
Rad(L, p) = RadL,
mas isto n˜ao ocorre por causa do item(3).
Usando a Proposi¸c˜ao 2.1.4 (6),(7) e o Corol´ario 4.4.2 (b) a demonstra¸c˜ao do item (b) ´e an´aloga.
Cap´ıtulo 5
Artinianidade e propriedades de
finitude da cohomologia local formal
Nesta se¸c˜ao, nosso objetivo principal ´e estudar algumas propriedades de finitude e artini- anidade de Fi
a,I,J(M) e ˇFia,m,J(M). Vale lembrar que tais investiga¸c˜oes s˜ao motivadas pelo o
estudo de tais temas na cohomologia local. Vamos analisar o m´aximo e m´ınimo inteiro i∈ N
tal que Fi
a,m,J(M) e ˇFia,m,J(M) s˜ao Artinianos. Al´em disto, obteremos resultados envolvendo os primos atachados, coassociados e o cossuporte da cohomologia local formal definida por um par de ideais. Os resultados que aqui est˜ao, podem sem encontrados em [27].
5.1
O filter-depth da cohomologia local formal
Sejam R um anel local com ideal maximal m e M um R-m´odulo finitamente gerado. Por [9], relembre que uma sequˆencia x1, . . . , xn de elementos de R ´e dita ser uma sequˆencia M -filter regular se, para todo p ∈ Supp(M) ∖ m, a sequˆencia x1/1, . . . , xn/1 de elementos
de Rp ´e uma sequˆencia filter M -regular. Para um ideal I de R, o f -depth de I sobre
M ´e definido como o comprimento de qualquer sequˆencia M -filter regular maximal em I,
denotada por f -depth(I, M ). Quando uma sequˆencia M -filter regular maximal em I n˜ao
existe, entenderemos que o comprimento ´e∞.
Proposi¸c˜ao 5.1.1. Seja M um R-m´odulo finitamente gerado. Considere t um inteiro n˜ao
negativo tal que Fi
5.1 O filter-depth da cohomologia local formal 94
todo K⊂ J e todo i < t. Em particular, inf{i ∣ Fi
a,I,J(M) ´e n˜ao Artiniano} ≤ f −depth(I, M).
Demonstra¸c˜ao. Procederemos por indu¸c˜ao sobre t. Se t = 0, n˜ao temos nada o que pro-
var. Seja t = 1. Como ΓI,K(M/anM) ⊆ ΓI,J(M/anM) (Proposi¸c˜ao 2.1.4 (3), temos que lim
←Ð ΓI,K(M/anM) ⊆ lim←Ð ΓI,J(M/anM) para todo K ⊆ J, e assim a afirma¸c˜ao segue.
Suponha agora que t > 1. Uma vez que Hi
I,J(M/anM) ≅ H i I,J(
M/anM
ΓI,J(M/anM)) para todo
i> 0 (Corol´ario 2.1.13 (4)), segue que para todo i ≥ 0 lim
←ÐHI,J(M/ai nM) ≅ lim←ÐHI,Ji (
M/anM ΓI,J(M/anM))
e assim podemos assumir que ΓI,J(M/anM) = 0. Seja E o envolvente injetivo de M ∶= M/anM
para cada n e considere Nn = E/M. Ent˜ao Hi+1
I,J(M/anM) ≅ H i I,J(Nn) e H i+1 I,K(M/anM) ≅ Hi
I,K(Nn) para todo i ≥ 0. Assim Fia,I,J+1 (M) ≅ lim←ÐH i
I,J(Nn) e Fia,I,K+1 (M) ≅ lim←ÐH i
I,K(Nn) para todo i≥ 0. Portanto Nn satisfaz a hip´otese de indu¸c˜ao. Podemos ent˜ao concluir que Fia,I,K(M) ´e Artiniano para todo K ⊂ J e i < t. Se K = 0, a ´ultima afirma¸c˜ao segue pelo [36, Teorema 3.1].
Este pr´evio resultado nos motiva a considerar a seguinte defini¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 5.1.2. Seja a um idela do anel local (R, m). O menor inteiro tal que a coho-
mologia local formal e a ˇCech-cohomologia local formal s˜ao n˜ao Artinianas s˜ao chamadas,
respectivamente, por formal filter depth e formal ˇCech-filter depth com respeito a
um par de ideais (I, J). Mais especificamente
f f−depth(a, I, J, M) ∶= inf{i ∣ Fia,I,J(M) ´e n˜ao Artiniano}, f ˇf−depth(a, I, J, M) ∶= inf{i ∣ ˇFi
a,I,J(M) ´e n˜ao Artiniano}.
Analogamente, definimos o maior inteiro tal que a cohomologia local formal e a ˇCech-cohomologia local formal s˜ao n˜ao Artinianas por
gg−depth(a, I, J, M) ∶= sup{i ∣ Fia,I,J(M) ´e n˜ao Artiniano}, ggˇ−depth(a, I, J, M) ∶= sup{i ∣ ˇFia,I,J(M) ´e n˜ao Artiniano}.
5.1 O filter-depth da cohomologia local formal 95
Estas defini¸c˜oes s˜ao generaliza¸c˜oes naturais da formal filter depth dada em [18, Defini¸c˜ao 2.1] e [4, Defini¸c˜ao 2.11]. Pela Proposi¸c˜ao 4.1.4 ´e f´acil ver que
f ˇf−depth(a, I, J, M) ≤ ff −depth(a, I, J, M) gg−depth(a, I, J, M) ≤ gˇg−depth(a, I, J, M).
O pr´oximo resultado mostra que a formal filter depth ´e invariante por radicais.
Proposi¸c˜ao 5.1.3. Sejam a e b ideais de R tais que Rad(a) = Rad(b). Ent˜ao temos que
f f−depth(a, m, J, M) = ff −depth(b, m, J, M). Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 4.5.6 temos que
Fi
a,m,J(M) ≅ HomR(Ha−i(HomR(M, Dx,J)), ER(K)) e Fi
b,m,J(M) ≅ HomR(Hb−i(HomR(M, Dx,J)), ER(K)).
Uma vez que a cohomologia local usual ´e invariante por radicais, o resultado segue. Proposi¸c˜ao 5.1.4. f f − depth(a, m, J, M) = ff −depth(a ̂R,m ̂R, J ̂R, ̂M).
Demonstra¸c˜ao. Uma vez que Fi
a,m,J(M) ≅ Fia ̂R,m ̂R,J ̂R(̂M) (Teorema 4.1.3), o resultado segue.
Proposi¸c˜ao 5.1.5. Sejam a⊆ b ideais de R. Ent˜ao temos que
f f− depth(a, m, J, M) ≤ ff − depth(b, m, J, M) + ara(b/a).
Demonstra¸c˜ao. Pela Proposi¸c˜ao 5.1.3, podemos assumir que existe x1, . . . , xn ∈ R tal que b = a + (x1, . . . , xn). Vamos proceder por indu¸c˜ao sobre n, entretanto ´e suficiente mostrar
somente para o caso n= 1. Pelo Teorema 4.5.8, existe uma sequˆencia exata longa
⋯ → Fi
a,m,J(M) → Fib,m,J(M) → HomR(Rx,J,Fia,m,J+1 (M)) → ⋯. (5.1)
Para todo i < ff − depth(a, m, J, M) − 1, pela Defini¸c˜ao 5.1.2 devemos ter Fi
a,m,J(M) e Fi+1
a,m,J(M) s˜ao Artinianos. Ent˜ao HomR(Rx,Fia,m,J+1 (M)) ´e Artiniano pela sequˆencia exata 5.1. Portanto f f− depth(a, m, J, M) ≤ ff − depth(b, m, J, M) + 1.