BÖLÜM 2: SEYYİD KUTUP'UN DİN VE TOPLUM ANLAYIŞI
2.10. Seyyid Kutup'a Göre Din ve Siyaset
O teste estatístico de Kolmogorov-Smirnov é baseado no cálculo da probabilidade de que duas funções de distribuição acumulativa resultem da mesma distribuição de da- dos. Considere dois conjuntos de medidas de um mesmo observável: {η1, η2, ..., ηN1}
e {η1, η
2, ..., ηN2}. A partir dessas distribuições podemos obter duas funções de dis-
tribuição acumulativa, χN1(η) e ξN2(η) que representam a fração de todas as medidas
que não excedem um certo valor η em relação aos conjuntos de medidas η e η, respecti- vamente. Ou seja:
χN1(η) = 1 N1 N1 X i=1 Θ(η− ηi) (4.4) ξN2(η) = 1 N2 N2 X i=1 Θ(η− ηi). (4.5)
Diferentes distribuições de dados dão origem a diferentes funções de distribuição acu- mulativa [Albano et al. (1995), Press et al. (1986)]. Sendo assim, podemos comparar duas distribuições, ou conjuntos de dados, comparando suas funções de distribuição acumulativa. Essa comparação pode ser feita utilizando a estatística de Kolmogorov- Smirnov. A estatística de Kolmogorov-Smirnov é uma medida simples que é definida como sendo o máximo valor da diferença absoluta entre as duas funções de distribuição acumulativa. No caso das funções de distribuição (4.4) e (4.5) ela é definida como
Dχ,ξ = max −∞<η<∞ ¯ ¯χN1(η)− ξN2(η) ¯ ¯ . (4.6)
Essa estatística está relacionada a um importante resultado obtido por Kolmogorov [Kolmogorov (1933)] e posteriormente extendido por Smirnov [ Smirnov (1939)]. Smirnov demonstrou que, dado λ > 0,
QKS = Pr{Dχ,ξ ≥ λ} = 2 ∞ X j=1 (−1)j−1exp(−2j2λ2 N1N2 N1 + N2 ). (4.7)
Essa probabilidade fornece uma medida de significância para se aceitar a hipótese inicial de que dois conjuntos de medidas (η e η) derivem de uma mesma distribuição. Por
exemplo, suponha que para duas medidas de tamanhos N1 = 55 e N2 = 60, o máximo
desvio absoluto das funções de distribuição acumulativa seja Dχ,ξ = 0.25. Tomando-se
λ = 0.25 teremos que a probabilidade de que um valor seja tão grande quanto este é pouco maior que 0.05 (QKS = 0.05536). Assim, essa diferença, Dχ,ξ = 0.25, não é
grande o suficiente para se rejeitar a hipótese inicial a um nível de significância de 5%. Albano propôs o uso das integrais de correlação como funções de distribuição para o cálculo das probabilidades de Kolmogorov-Smirnov. A probabilidade nesse caso passaria a testar a hipótese de que duas distribuições de pontos tomadas em um espaço de fase pertençam a um mesmo atrator. O principal cuidado que deve ser tomado nesse caso é fazer com que cada uma das integrais de correlação tenha um número de pontos suficientemente grande (N1 e N2 nas equações (4.4) e (4.5)), de forma a garantir uma
boa visitação do atrator.
O trabalho de Albano mostra que as integrais de correlação de atratores similares pos- suirão alguma similaridade topológica e as integrais provenientes de diferentes atratores serão sensivelmente diferentes. Esse aspecto pode ser explorado no sentido de determi- nar o grau de diferença ou o grau de similaridade entre os atratores, e a probabilidade de Kolmogorov-Smirnov é utilizada como ferramenta para quantificar a diferença, ou a semelhança, entre dois atratores.
Seja xh uma série temporal discreta gerada pela integração numérica da equação (1)
com passo h, ou seja, xh = {xh(t0+ mh)}, onde m = 0, 1, 2, ..., N − 1 e t0 é o instante
inicial considerado. Conforme vimos, os atratores serão reconstruídos utilizando como passo de reconstrução o maior retardo da equação (1), ou seja, max(τi). Para simplificar
o processo de cálculo numérico é imposta a condição de que os retardos sejam sempre múltiplos inteiros do passo de integração. Dessa forma podemos escrever max(τi) = l ·h,
com l inteiro. Os atratores bi-dimensionais gerados, gh, serão dados então por
gh = { (xh(t0+ (m− l)h), xh(t0+ mh)) }, (4.8)
onde m = l, l + 1, l + 2, ..., N − 1. As integrais de correlação desses atratores ficam
Ch(2, r) = 1 (N− l)2 NX−1 i, j = l i 6= j Θ[r− |(gh)i− (gh)j|]. (4.9)
onde (gh)i é o i-ésimo ponto da trajetória de fase do atrator. Considere agora duas
séries temporais integradas a partir da equação (1) utilizando o mesmo conjunto de parâmetros. As séries são integradas com passos h e h
2 respectivamente. A estatística de
Kolmogorov-Smirnov relacionada às integrais de correlação dos atratores reconstruídos será dada por
DCh,Ch 2 = max rmin<r<rmax ¯ ¯ ¯Ch(2, r)− Ch 2(2, r) ¯ ¯ ¯ . (4.10)
Alguns cuidados devem ser tomados na escolha dos valores de rmin e rmax. Valores
muito baixos para rmin (rmin ∼ 0) são descartados pois, em geral, o cálculo da integral
de correlação para valores muito pequenos de r é afetado por ruído numérico. Valores muito altos para rmax (rmax ∼ 1) também não são considerados por estarem em uma
região de saturação das integrais de correlação [Albano et al. (1995)]. Os valores de rmin e rmax sugeridos por Albano são rmin = 0.01 e rmax= 0.99.
Utilizamos então a probabilidade de Kolmogorov-Smirnov aplicada às integrais de correlação da equação (1), com o conjunto de parâmetros (4.3), integrada com vários
passos e a partir da mesma condição inicial. Desse modo pretendemos determinar o passo a partir do qual a solução numérica poder ser considerada satisfatória (solução convergida). Para n = 75 e n = 45 utilizamos os passos: h = 0.01, 0.01/2 = 0.005, 0.01/22 = 0.0025, 0.01/23 = 0.00125, 0.01/24 = 0.000625, 0.01/25 = 0.0003125,
0.01/26 = 0.00015625, 0.01/27 = 0.000078125, 0.01/28 = 0.0000390625 e 0.01/29 =
0.00001953125. A condição inicial em todos os casos foi x(t) = constante = 0.4 para t < 0. Um total de 100seg foram descartados como transiente e 1000seg foram utilizados para reconstrução dos atratores.
As integrais de correlação foram calculadas para N1 = N2 = 1000 valores de r entre
0.01 < r < 0.99. Em seguida foram calculadas as probabilidades de Kolmogorov-Smirnov (equação (4.7)) baseadas nas estatísticas dadas por (4.10). Note que as distribuições de pontos dos atratores no espaço de fase estão sendo interpretadas como conjuntos de medidas independentes que queremos comparar. Sendo assim, nesse caso, as probabili- dades QKS representam a probabilidade de que cada atrator integrado com passo h seja
igual ao atrator integrado com passo h/2. Os resultados estão ilustrados na figura 4.8.
A figura 4.9 mostra os valores de ∆h (equação (4.1)) para a série integrada com
passo h = 0.01/28 = 0.0000390625 e para o mesmo conjunto de parâmetros e condição
inicial utilizados na figura 4.8. Note que pelo critério estabelecido em (4.2) não podemos considerar que há convergência. Contudo, se observarmos a figura 4.8, poderemos ver que a probabilidade de que as integrais de correlação associadas a essas séries pertençam a um mesmo atrator é próxima de 100% (99.7%).
Figura 4.8: a) e c) Integrais de correlação dos atratores recontruí- dos a partir dos parâmetros das figuras (4.5-a) e (4.5-b) respectiva- mente utilizando os passos: h = 0.01, 0.01/2, 0.01/22, 0.01/23, 0.01/24,
0.01/25, 0.01/26, 0.01/27, 0.01/28 e 0.01/29. b) e d) Probabilidade de
Kolmogorov-Smirnov (QKS), baseada nas integrais de correlação (a) e
(c), de que cada atrator integrado com passo h seja igual ao atrator integrado com passo h/2.
Figura 4.9: Valores de ∆h (equação (4.1)) para a série integrada com
passo h = 0.01/28 = 0.0000390625 e para o mesmo conjunto de parâmet-
ros e condição inicial utilizados na figura 4.8.
Observando os gráficos correspondentes às probabilidades de Kolmogorov-Smirnov calculadas (figuras 4.8-b e 4.8-d) podemos perceber que, como era esperado, o conjunto de parâmetros que dá origem ao atrator caótico precisa de um passo muito menor para convergir do que o conjunto de parâmetros correspondente à série periódica. Na ver- dade as integrais de correlação referentes aos vários passos de integração da solução periódica são tão próximas que não podem ser distinguidas pelo cálculo da probabil- idade de Kolmogorov-Smirnov. A figura 4.8-d mostra que a probabilidade é de 100% para todos os passos. Isso que quer dizer que, por esse critério, o uso de um passo h = 0.01 seria suficiente para a integração da solução periódica. Para o caso caótico (4.8-b) necessitaríamos de um passo no mínimo igual a 0.01/24 = 0.0003125 para ter
uma probabilidade maior que 99.5%. Em vários testes feitos com outros conjuntos de parâmetros os resultados obtidos com a probabilidade de Kolmogorov-Smirnov apresen- taram resultados razoáveis no sentido de apontar um passo apropriado para integração. Contudo o fato dessa probabilidade “saturar” rapidamente quando tentamos detectar diferenças em integrais de correlação muito próximas fez com que buscássemos um outro critério com maior sensibilidade para distinguir atratores reconstruídos.