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O anseio por mudanças que se vinculam às novas abordagens educacionais tem conduzido à adoção de práticas pedagógicas diversificadas e adequadas. Neste sentido, nos últimos anos, diversas escolas da Rede Pública de Ensino do Distrito Federal estão adotando processos metodológicos que têm como referência os projetos de trabalho, estudos temáticos e a interdisciplinaridade como meio de integrar os objetivos, as práticas educativas e a avaliação da aprendizagem (HERNÁNDEZ, 1998).

Ainda nessa perspectiva, Zaidan (1997) afirma que há um grande esforço também no sentido de tornar a Matemática mais presente, trabalhando com resolução de problemas. Após discorrer a respeito da importância dos problemas à matemática, faz-se necessário uma definição de problema e situação-problema.

Conforme Ferreira (1986), de modo geral, significa qualquer questão que dá margem à hesitação ou perplexidade, por ser difícil de explicar ou de resolver. Trata, portanto, de algo que possa suscitar uma condição de desequilíbrio ou anormalidade em relação a uma situação considerada como normal.

Segundo Lester (1983, apud POZO, 1998), problema é uma situação que um indivíduo ou grupo quer ou precisa resolver e para a qual não dispõe de um caminho rápido e direto que o leve à solução.

Para Onuchic (1999, p. 215), problema é tudo aquilo que não se sabe fazer mas que se está interessado em resolver.

De acordo com Pozo (1998) o termo problema pode fazer referência a situações muito diferentes em função do contexto no qual ocorrem e das características e expectativas das pessoas que nelas se encontram envolvida.

Assim, como o desenvolvimento desta pesquisa está alicerçado no estabelecimento do conceito de resolução de problemas em matemática, passo, então, a discuti-lo de uma forma mais específica.

Na perspectiva da Educação Matemática, um problema, ainda que simples, pode instigar o gosto pelo trabalho mental se provocar a curiosidade e proporcionar ao educando o prazer pela descoberta da resolução. Neste sentido, os problemas podem estimular a curiosidade do estudante, fazê-lo interessar-se pela matemática de modo que ao procurar resolvê-los adquire capacidades de análise e de crítica, desenvolve a criatividade e aprimora o raciocínio, além de utilizar e ampliar o seu conhecimento matemático. Porém, o processo de elaboração não é realizado sem percalços. Os problemas, geralmente oferecem resistências e as soluções são quase sempre parciais, ainda que idéias criativas, inovadoras, provoquem avanços substanciais, que por diversas vezes não são reconhecidos, desde o seu processo inicial.

Assim, se em um problema de matemática no seu processo de resolução existe percalços, resistências, entendemos que num determinado grupo de educandos as

possibilidades de apresentação de conhecimentos prévios são múltiplas, determinando assim, numa mesma circunstância, diversas estratégias de solução.

É muito freqüente encontrarmos nos livros didáticos de matemática, listas e mais listas de “problemas” no final de cada seção de ensino. O propósito desse material didático é desenvolver a capacidade e a habilidade dos educandos em relação às estratégias de resolução de problemas, e, além de exigir deles os conhecimentos de determinado assunto, estratégias que os ajudem a resolver as diversas tarefas que possam ser apresentadas. Em outras palavras, diante das tarefas propostas na maioria desses livros didáticos podem-se adquirir conhecimentos ou adquirir a capacidade de saber o que fazer com esse conhecimento.

Acreditamos que a partir de um planejamento bem elaborado pelo professor(a) a oferta de bons problemas matemáticos deve possibilitar o prazer e o gosto pela descoberta no processo de aprendizagem da matemática. Podemos então perceber que o ato de escolher o conteúdo envolve a necessidade de conhecer o sujeito que queremos educar e o conteúdo por meio do qual pretendemos educar. Assim, o “fazer” do professor começa a ser explicitado a partir dos atos a serem executados, sendo um deles, a necessidade de conhecer o conteúdo que está sendo ensinado, bem como os fundamentos e especificidades do mesmo. Nesta perspectiva, na oferta de uma mesma atividade, cada aluno a percebe de diversas maneiras em função de sua maturidade e dos conhecimentos prévios que trazem, as estratégias que podem ser desenvolvidas por eles para a busca de uma solução e ainda, o interesse, a motivação e o significado que cada educando atribui a experiência. Portanto, aqui vale ressaltar o cuidado e a importância que o professor(a) deve ter em relação ao conjunto de atividades ofertadas aos educandos no sentido de considerar as múltiplas diferenças existentes no interior da sala

de aula, tomando o cuidado de mediar o processo de resolução de problema de maneira que contemple a diversidade de experiências dos educandos.

Outro aspecto essencial na produção de uma solução é a validação da resposta ( quarta etapa do esquema de Polya). Em geral, no processo de produção de uma solução, a validação é fator essencial. Desenvolvidas as diversas etapas do processo de resolução do problema para a busca de uma resposta, a mesma somente adquire o caráter de solução, quando da redução e/ou eliminação das resistências, percalços, obstáculos que geraram o processo, após sua validação. Nas heurísticas apresentadas como caminhos para a superação dos obstáculos em curso, a validação assume um duplo papel: primeiro, a importância estratégica da verificação adequada da resposta como solução. Segundo, o problema ora em análise requer uma validação mediante o grupo de educandos da turma. Neste momento, comunicar acerca do processo de aprendizagem. Assim, aprender passa necessariamente pela conscientização, pela motivação e pela importância do conhecimento matemático no contexto da sociedade contemporânea. Se estes aspectos estiverem bem estruturados e maduros suficientes para os educandos, o processo de aprendizagem será efetivo e eficaz. Enfim, a comunicação sobre o processo de aprendizagem dos alunos contribui decisivamente para o sucesso escolar e uma participação mais efetiva no mundo do trabalho e na vida social.

Dessa maneira, faz-se necessário fazermos algumas considerações sobre exercícios e problemas e estabelecer a distinção entre os mesmos.

Em Echeverría (1998, p. 48) essa distinção é muito bem esclarecedora. “os exercícios servem para consolidar e automatizar certas técnicas, habilidades e procedimentos necessários para posterior solução de problemas”. Prosseguindo nessa linha de pensamento o autor diz, “é que dificilmente podem trazer alguma ajuda para

que essas técnicas sejam usadas em contextos diferentes daqueles onde foram apreendidas ou exercitadas, ou dificilmente podem servir para a aprendizagem e compreensão de conceitos”.

Echeverría (1998) faz a distinção de dois tipos de exercícios, sendo o primeiro com ênfase na repetição de uma determinada técnica previamente exposta pelo professor (a). Neste caso, o objetivo desse tipo de exercício é a consolidação e a automatização da técnica. Em relação ao segundo tipo de exercício, o cálculo mental, o autor diz que a repetição da tabuada ou a solução contínua de equações de 1º e 2º graus são exemplos desse segundo tipo de exercícios.

Para Echeverría (1998), a eficiência na automatização de algoritmos não depende somente do número de vezes que são repetidos, mas também, da forma em que estão ordenados e do tipo de dificuldade que possam representar para os estudantes. Assim, de acordo com o autor, o segundo tipo de exercícios não pretende somente que sejam automatizadas umas séries de técnicas, mas também, que sejam apreendidas alguns procedimentos nos quais se inserem essas técnicas. É importante salientar que a diferença entre o primeiro e o segundo tipo de exercícios reside em que na segunda tarefa, o educando é obrigado a realizar uma tradução da linguagem falada para a linguagem matemática, e assim, obriga-o a planejar a ordem em que à tarefa deve ser resolvida. Dessa forma, na medida em que esse segundo tipo de exercício tem uma meta ou objetivo, está mais próximo dos problemas do que o primeiro tipo de tarefas que pontuamos.

De acordo com Echeverría (1998), enquanto exercício é repetir, cujo objetivo é a consolidação da automatização da técnica, o conceito de problema se constitui daquilo que seja um “obstáculo, dificuldade”, que obrigue uma pessoa a questionar-se sobre qual seria o caminho que precisaria seguir para alcançar a meta.

Neste sentido, a nossa compreensão é de que o exercício pode desenvolver uma estrutura operacional a qual cria as condições preliminares para a exploração de um determinado problema. Assim, ao resolver um problema, o estudante gera novos procedimentos, executa ações, tarefas e/ou habilidades, desenvolvidas por meio da resolução de exercícios. Portanto, um problema é sempre uma situação de alguma forma surpreendente, contém sempre elementos novos, imprevisíveis, que exigem uma reorganização dos elementos presentes. Os problemas devem ser caracterizados pelo uso de estratégias novas que requeiram a capacidade crítica e a criatividade dos educandos.

Assim, entendemos a resolução como um processo no qual os aspectos da motivação, o interesse, a criticidade e a criatividade, além das heurísticas devem estar presentes para a produção de uma resposta.

• As idéias a seguir contribuem para que os professores desenvolvam atividades estruturadas de resolução de problemas:

• eleger problemas que requeiram uma análise conceitual para ser resolvidos.

• fazer com que o aluno explique como resolveu uma determinada situação-problema.

• fazer com que o aluno resolva o mesmo problema usando diferentes abordagens.

Após analisar a especificidade dos termos exercício e problema, vamos aprofundar na compreensão do significado dos problemas de matemática. Encontramos em Butts (1998, p. 32-36) uma classificação mais detalhada que os distinguem em cinco tipos, a saber: exercícios de reconhecimento, exercícios de algoritmos, problemas de aplicação, problemas de pesquisa aberta e situações-problemas. Estes tipos de

problemas podem ser agrupados em dois blocos; no primeiro, incluem-se os exercícios de reconhecimento que são aqueles que têm o objetivo de aplicar um fato ou um conceito matemático específico; os exercícios algoritmos que tratam de tarefas relacionadas aos procedimentos para o desenvolvimento de determinados cálculos numéricos, e os problemas de aplicação que são aqueles que envolvem a utilização direta de algoritmos para a sua resolução. Os exemplos a seguir caracterizam bem essa questão:

• Exemplo 01: Calcule o valor de [(3.4) + 2] : 7.

• Exemplo 02: Uma dona de casa solicitou a um artesão que lhe fizesse um determinado quadro utilizando palitos de fósforo. Para realizar este trabalho são necessários 2.400 palitos de fósforo. Sabendo que cada caixa contém, em média, 40 palitos e cada pacote contêm 10 caixas, quantos pacotes serão usados nesse trabalho? No exemplo 1 exige-se dos educandos a mobilização dos algoritmos da expressão dada. As exigências cognitivas, nesse caso, serão a memória e aplicação. Em relação ao segundo exemplo além da memorização e aplicação de uma operação matemática, o educando deve se confrontar com dados e realizar transformações. Ele tem que conceituar quantidade e espaço. Conforme Butts (1998, p.35), este primeiro bloco constitui uma alta porcentagem de todos os exercícios e problemas dos livros didáticos da Elementary School, Secundary School e o início dos cursos de nível superior.

Para efeito de definição desta pesquisa, as concepções deste primeiro bloco são o que chamo de Problemas Fechados, ou seja, são os problemas convencionais

muito freqüentes nos livros-texto da educação básica, especificamente, no caso brasileiro.

No segundo bloco de problemas temos: os problemas de pesquisa aberta que são aqueles os quais não existe uma estratégia única para resolvê-los. Caracteriza “pela presença de expressões tais como “prove que”, encontre todos”, “para quais é...”, etc. Segue o terceiro exemplo:

• Exemplo 03: Numa reunião da Associação dos Moradores do Setor O, da cidade de Ceilândia - DF, a equipe de direção é composta de 6 membros. Se cada um dos membros trocar um aperto de mão com todos os outros, fruto do resultado da pavimentação asfáltica do bairro, quantos apertos de mão terão ao todo?

Na perspectiva da “situação-problema” os exercícios de reconhecimento, de aplicação e de procedimentos não são considerados como resolução de problemas, pois o ponto de partida de toda atividade matemática é a situação-problema. As atividades dos educandos devem ser constituídas por experiências significativas de aprendizagem que tenham sentido, valor próprio. O problema deve propor elementos novos, imprevisíveis e requer a utilização de estratégias para que o educando necessite valer-se de sua capacidade crítica, criatividade e de uma organização lógica de suas idéias. O objetivo não está na resposta, mas no processo rumo à sua resolução. Vale ressaltar que a validação é um elemento preponderante nas possíveis soluções encontradas pelos educandos. Desta maneira, o processo de resolução de uma situação-problema pretende desenvolver no aluno habilidades e atitudes próprias de gestão de informações, de comunicação, de heurísticas, de registro e conhecimentos que permita a busca da solução de uma situação problemática. O exemplo a seguir caracteriza bem essa questão.

• Exemplo 04: A senhora Francisca tem em mãos apenas notas de R$1,00, de R$5,00 e de R$10,00. Mostre todas as maneiras que ela poderia usar para pagar um livro de matemática que custa R$25,00? Para efeito de definição desta pesquisa, as concepções deste segundo bloco são o que chamo de problemas abertos.

Assim, em nossa visão, o ensino da matemática por meio da situação- problema em nível de reflexão, a busca é feita de diversas maneiras, pois a reflexão se baseia nas indagações e desarmonias da estrutura mental dos educandos. Dessa forma, os alunos devem concentrar seu pensamento e indagação em torno de uma situação problemática. Sendo assim, os problemas abertos podem ser apresentados em novas atividades, podem representar uma alternativa para provocar a ruptura à visão anterior. Portanto, entendemos que um problema aberto tem por objetivo permitir que o educando desenvolva um processo de resolução de problemas que chamamos de “contexto científico”, ou seja, onde o educando desenvolverá a capacidade de testar, supor, testar e provar o que for proposto como solução para o problema, implicando em oposição aos problemas fechados.

Um problema de matemática, segundo Kantowski (1997, p.270) deve “se constituir de uma situação que se enfrente sem contar com um algoritmo que garanta uma solução”. Ainda, conforme a autora, para resolver um problema, é preciso reunir os conhecimentos que forem relevantes e organizá-los em nova disposição.

Já de acordo com Silveira (1999), um problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo, e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado. O fundamental é que o resolvedor desenvolva habilidades, competências e pensamento crítico que aponte caminhos para uma determinada solução.

Para Onuchic, (1998, p. 215), “um problema é tudo aquilo que não se sabe fazer mas que se está interessado em resolver”. Continua a autora, “o problema é um ponto de partida na sala de aula, e que através da resolução do problema os professores devem fazer conexões entre os diferentes ramos da matemática, gerando novos conceitos e novos conteúdos”.

Sob essas considerações, vimos que esses autores defendem que os problemas matemáticos devem se constituir de situações que apresentem a exigência da capacidade crítica, da criatividade, da sistematização dos conhecimentos, da exploração dos mecanismos algoritmicos e da mediação do professor (a).

Fisher e Scriven (1997) na obra Critical Thinking: its definition and assessment, discutem os vários aspectos relativos à resolução de problemas. Os autores fazem a distinção entre pensar criticamente e raciocínio, e resolução de problemas na tomada de decisão.

Para Fisher e Scriven (1997), um esforço de combinação ocorre numa grande variedade de problemas mal-estruturados (abertos). O pensar crítico envolve claramente a estrutura de entendimento de determinado problema. Este é divido em – compreensão, interpretação, elaboração, execução e verificação – que normalmente não é utilizado em problemas convencionais (fechados) desenvolvidos nas salas de aula, particularmente no ensino da matemática na modalidade Educação de Jovens e Adultos.

Em nossa visão, não há dúvidas de que ensinar com problemas não é uma prática pedagógica fácil. As tarefas precisam ser planejadas ou selecionadas a cada dia considerando a compreensão dos educandos e as necessidades do currículo. Entretanto, é importante que nas atividades de sala de aula, a distinção entre exercícios e problemas esteja bem definida e, principalmente, que fique claro para o educando que as tarefas

exigem algo mais de sua parte do que o simples exercício repetitivo. Sendo assim, na resolução de problemas, as técnicas “sobre aprendidas” (aprendizagem por repetição) previamente exercitadas, constituem um meio ou recurso instrumental necessário, mas não suficiente para alcançar a solução; além delas, são exigidas estratégias, conhecimentos conceituais, compreensão matemática, estabelecimento de relações entre elas, desenvolvimentos de formas de raciocínio, estabelecimento de conexões entre temas matemáticos a outras áreas do conhecimento, atitudes que são essenciais ao educando no momento de decidir pela maneira de usá-las em busca da solução.

Tal perspectiva rompe com a visão limitada de problemas, aqui chamados de fechados que tradicionalmente estão presentes na maioria dos livros didáticos, em tarefas propostas na sala de aula e, quase sempre dissociados da realidade dos alunos.

Na atualidade, concebe-se resolução de problemas como uma metodologia que se caracteriza por uma postura de inconformismo diante dos obstáculos e do que foi estabelecido por outros, sendo um exercício contínuo de desenvolvimento da investigação, senso crítico e exploração de novos conceitos. Aqui, o professor (a) propõe e constrói com os educandos uma situação que permita alguma problematização. O professor (a) não mais se ocupa em ensinar, mas sim em fazer aprender, isto é, criar situações favoráveis que facilitem o processo de aprendizagem dos alunos. O aluno envolve-se com o fazer matemático resolvendo problemas, como aprende matemática para resolver problemas. Nesta perspectiva, o ensino de resolução de problemas não é mais um processo isolado. Essa abordagem desenvolvida, em particular por (POZO, 1998), foi retomada por muitos estudiosos da didática nas diversas áreas do conhecimento.

Para Onuchic (2004, p. 220), numa sala de aula onde o trabalho é feito com a abordagem de ensino-aprendizagem da matemática através da Resolução de Problemas,

busca-se tudo o que havia de bom nas reformas anteriores; repetição, compreensão, o uso da linguagem matemática, da Teoria dos conjuntos, resolução de problemas e, às vezes, até a forma de um ensino tradicional.

Segundo Branca (1997, p. 10) resolver problemas é o processo de aplicação de conhecimentos previamente adquiridos em situações novas e desconhecidos. De acordo com o autor ainda que os livros didáticos proporcionem o acesso aos processos de resolução de problemas, o aluno deve se defrontar com problemas de outras fontes. Corroborando com a visão do autor, as estratégias de resolução de problemas envolvem propor questões, analisar situações, interpretar resultados, ilustrar resultados, traçar diagramas e usar tentativa e erro.

Dessa forma, para o pesquisador, neste contexto, problema é entendido como uma desarmonia mental, ou seja, conflito cognitivo do educando, onde suas inquietações, incômodos, indagações devem estar presentes em torno de uma situação problemática.

Dissemos então que o sujeito a quem o problema está presente deve percebê- lo como uma circunstância na qual não tem uma solução imediata e ele deve estar envolvido com o processo de resolução. É nesta perspectiva que faz do problema uma questão peculiar ao sujeito. Por outro lado, o que pode ser um problema para uma pessoa, pode não ser para outra. Esta questão varia de pessoa para pessoa pois uma atividade pode ser um problema para um determinado grupo de pessoas, no entanto, essa mesma atividade pode não ser para outro grupo de pessoas. Vale dizer que cada pessoa ou grupo de pessoas interage com o problema a partir de seus conhecimentos prévios e da capacidade em produzir caminhos que possam atender à solução desejada e o significado que cada um constrói a partir de sua experiência de aprendizagem.

Neste contexto, aponta a Proposta Curricular de Educação de Jovens e Adultos – segundo segmento – 5ªa 8ª série do Ensino Fundamental (BRASIL, 2002). Ela enfatiza a importância de um ensino de matemática com perfil construtivista. Construir a partir dos conhecimentos prévios dos alunos, enfatizarem sobre o pensar, dar tempo para pensar, esperar por explicações ou justificativas para as respostas ou pelo modo de pensar, fazer perguntas e saber ouvir, reconhecer que a matemática é “parte invenção” e “parte convenção”, trabalhar os conceitos e procedimentos matemáticos em termos de resolução de problemas. No entanto, segundo Onuchic (1999, p.212), “há pouca discussão quanto à sua operacionalização em sala de aula”. Nesta perspectiva, é fato que a didática da resolução de problemas praticada,