Düzlem çubuk elemanlarda iç kuvvet – şekildeğiştirme bağıntıları ve akma (kırılma) koşulları

A educação passa atualmente por um momento crucial. Nosso sistema de ensino é sistematicamente criticado, sobretudo, pelo baixo índice de qualidade e, por outro lado, pela insuficiência no desempenho acadêmico dos alunos. Para isso contribuem as conseqüências do histórico descaso para com a educação e problemas sociais. A interação desses e outros fatores com os conflitos entre concepções pedagógicas diversas, que permeiam o ambiente escolar, agravam as dificuldades do ensino, exigindo de professores, diretores, educadores, pesquisadores, gestores públicos e privados e a sociedade civil organizada ações e posturas frente a essas questões. São freqüentes as críticas em relação à maneira como é ensinada a Matemática, práticas educativas apoiadas na repetição, no qual o recurso à memorização a fatos básicos é considerado importante. Outros aspectos, os conteúdos que compõem à matriz curricular da educação básica, particularmente, da disciplina Matemática, descontextualizados, distantes e aquém da realidade dos educandos.

Nos últimos anos, muitos esforços estão sendo feitos para tornar o ensino da Matemática mais eficiente. Segundo Onuchic (2004, p.214), “as reformas sociais ao longo do século XX mostraram-se um provocador de muitos movimentos de mudança na Educação Matemática mundial. A Educação Matemática foi se tornando um assunto de grande interesse, sendo, muitas vezes, responsáveis por imensos debates”. Reformulações curriculares e novas propostas pedagógicas se fazem presentes nas escolas e universidades, particularmente, os gestores do sistema educacional têm-se mostrado sensíveis a elas. Mas, a sua aplicação encontra vários obstáculos, entre elas, as habituais resistências à mudança. Neste contexto, insere-se o ensino da Matemática (ROCHA, 2001).

Nas décadas de 60 e 70, o ensino da Matemática no Brasil, bem como em outros países, foi fortemente influenciado pelo movimento de renovação, conhecido por Matemática Moderna. Após vários anos, a partir de outra orientação, os alunos deviam aprender com compreensão, os alunos deviam entender o que faziam. No contexto da Matemática Moderna o ensino não logrou o êxito pretendido quanto à busca de uma aprendizagem efetiva dos estudantes. Na verdade, nesse mesmo período, na segunda metade do século XX começou a falar em resolver problemas como meio de aprender Matemática.

Mudar nosso sistema de Educação Matemática substancialmente, tendo como foco primeiro atingir a maioria dos educandos, é criar uma consciência do quê, do como e do por que da Matemática. Assim, a Matemática Moderna apresenta-se como um movimento educacional inserido no contexto das políticas públicas de modernização científica, econômica e tecnológica. Colocada como carro chefe do ensino por se considerar que, concomitantemente com a área de Ciência, ela construía um eixo de acesso privilegiado para o pensamento científico e tecnológico. Nesse contexto, buscou-

se a aproximação da matemática desenvolvida na escolarização básica com a matemática que é vista pelos especialistas e pesquisadores.

É importante destacar que, essa reforma, conhecida como movimento de renovação por Matemática Moderna, teve pouca ou quase nenhuma participação de professores que efetivamente exerciam a sua docência em sala de aula. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais – (PCN: Matemática, 1998, p. 19) os movimentos de reorientação curricular ocorridos no Brasil, a partir dos anos 20, não tiveram força suficiente para mudar a prática docente dos professores para eliminar o caráter elitista desse ensino, bem como melhorar sua qualidade.

O currículo proposto fundamentava-se em grandes estruturas que organizam o conhecimento matemático contemporâneo, enfatiza a Teoria dos Conjuntos, as estruturas algébricas, a tipologia, etc. Neste sentido, a Matemática é um campo bem estruturado de conhecimentos. Realçava muitas propriedades, tinha preocupações excessivas com abstrações matemáticas e utilizava uma linguagem universal, precisa e concisa. Como diz Augustine (1976, p.2) “a estrutura básica da matemática que crianças, jovens e adultos estudam são a sua beleza e a sua simplicidade”. Por sua vez, esse movimento provocou, em vários países, inclusive no Brasil, debates, discussões e amplas reformas no currículo da Matemática. Por outro lado, essas reformas pouco puderam contribuir para o alcance dos propósitos dos alunos, pois, o ensino era trabalhado com um excesso de formalização, distanciando-se do contexto na qual está inserida e das questões práticas, particularmente no Ensino Fundamental.

Segundo Fonseca (1995, p.49), infelizmente, no Brasil, “as mudanças preconizadas pelo chamado Movimento da Matemática Moderna, como a eliminação do excesso de treino e memorização, a ênfase nas estruturas algébricas e a unificação da linguagem através da Teoria dos Conjuntos, talvez, pelo despreparo dos professores e a

falta de conhecimento e compreensão da proposta, apenas revestiram com certo verniz um ensino permeado dos mesmos antigos vícios do ensino “tradicional”. Percebe-se, nesse contexto, que a sala de aula da Matemática Moderna era excessivamente formalizada, afastando-se, dessa forma, das questões socioculturais, ou seja, elimina-se a questão da transposição didática, e fica, neste caso, a matemática limitada ao próprio contexto matemático, não considerando a necessária contextualização que cabe ao professor(a).

A matemática caracteriza-se como uma forma de compreender e atuar no mundo e o conhecimento gerado nessa área do saber como fruto da construção humana na interação constante com o contexto natural, social e cultural (DAVID, 1995). Esta visão opõe-se àquela presente na abordagem da Matemática Moderna.

Paralelamente a esse processo de reformas, no início dos anos 70, começaram os estudos sistemáticos relativos à Resolução de Problemas e suas possíveis implicações curriculares. A ênfase dada à Resolução de Problemas é relativamente recente, e somente naquele período que os educadores matemáticos passaram a aceitar a idéia de que o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas merecia uma atenção maior.

De acordo com Onuchic (2004, p.215), “a caracterização da Educação Matemática, em termos de Resolução de Problemas, reflete uma tendência de reação a caracterizações passadas, que a configuravam como um conjunto de fatos, como o domínio de procedimentos algorítmicos ou como um conhecimento a ser obtido por rotina ou por exercício mental”. Particularmente, no final da década de 70 a Resolução de Problemas apresenta-se como questão de reflexão crítica e de processo metodológico em várias partes mundo.

De acordo com Onuchic (1999, p. 206, citando SCHROEDER e LESTER 1989, p. 31-4), os debates e discussões se deram a partir de três modos diferentes de abordar Resolução de Problemas que particularmente podem contribuir para ampliar nossas reflexões. “1 – Ensinar sobre resolução de problemas; 2 – Ensinar a resolver problemas; e 3 – Ensinar matemática através da resolução de problemas”. Para Onuchic (1999, p. 206) o professor que ensina sobre resolução de problemas procura ressaltar o modelo de resolução de problemas de Polya ou alguma variação dele. Modelo esse que estabelece quatro etapas interdependentes na maneira como se executa o processo de solução de problemas matemáticos. (compreensão do problema; elaboração de um plano; execução do plano; e verificação do resultado). Prosseguindo, a autora diz que “ao ensinar a resolver problemas, o professor se concentra na maneira como a matemática é ensinada e o que dela pode ser aplicada na solução de problemas rotineiros e não rotineiros”.

Nos anos oitenta, discussões e debates no campo da Educação Matemática, no Brasil e no mundo mostram a necessidade de reformulação do ensino da matemática,. A Resolução de Problemas como metodologia de ensino emerge como linha de pesquisa e estudos particularmente para adequar o trabalho escolar às novas tendências que podem contribuir efetivamente na busca de melhores formas de ensinar e aprender matemática (KRULIK e REYS, 1997), além de destacar a relevância das dimensões sociais, lingüísticas, antropológicas e, também, cognitivas na aprendizagem da matemática. Segundo Echeverria (1998), essas transformações e esses novos parâmetros foram fundamentais para o processo de mudança curricular e tiveram grande influência, em quase todo o mundo, nas propostas curriculares elaboradas nas décadas de 80 e 90.

Para Onuchic (1999, p.207), “ensinar matemática através da resolução de problemas deve ser o ponto de partida para o processo de aprendizagem da matemática”. Deve-se prevalecer nesta metodologia de ensino-aprendizagem uma situação-problema que expresse os aspectos-chave do tópico matemático em questão, com o propósito de desenvolver técnicas matemáticas como respostas razoáveis para problemas razoáveis. Aqui, busca-se o aprender matemática na perspectiva de poder transformar certos problemas não rotineiros em rotineiros .

Pelo que podemos observar nas três concepções de ensinar resolução de problemas matemáticos, estas não são mutuamente excludentes. Assim, na perspectiva de uma prática educativa diversificada elas são interdependentes.

No contexto externo ao Brasil, podemos verificar que em países como Estados Unidos, Austrália, Israel, Canadá, México e Portugal, as pesquisas em relação à Educação Matemática tem tradicionalmente lugar de destaque educacional, mais recentemente, com expressiva presença e valorização desta área, inclusive com o apoio sistemático dos órgãos governamentais, como é o caso de Portugal.

O Ministério da Educação de Portugal, por meio da Secretaria de Estado e Inovação implementou um programa de Educação Matemática com início em 1997, e término previsto para o ano de 2003. Naquele ano, designou-se um grupo de trabalho português, denominado Grupo de Trabalho para o Ensino da Matemática, que deu início a implantação daquele programa a partir das diretrizes estabelecidas no documento Diagnóstico e Propostas para a Matemática Escolar que constitui basicamente três focos; o primeiro trata do diagnóstico da situação do ensino da Matemática em Portugal, o segundo faz referência a recursos técnicos, formação profissional e científica dos professores de matemática, e finalmente, um terceiro que apresenta as propostas

definidas pelos pesquisadores portugueses, tendo em vista colocar em prática o referido programa (GAVE, 2003).

Possivelmente essa iniciativa portuguesa esteja vinculada às novas demandas de participação no Mercado Comum Europeu. Nesse sentido, verifica-se o grau de relevância que se atribui atualmente ao conhecimento matemático, podendo a partir daí prever, num futuro próximo, uma rápida e expressiva valorização da Educação matemática em todo o mundo.

Nos Estados Unidos, a partir do fim da década de 80, o NCTM – National Council of Teachers of Mathematics (Conselho Nacional de Professores de Matemática) em busca de uma reforma para a Educação Matemática, publicou:

• Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, em 1989;

• Professional Standards for Teaching Mathematics, em 1991; • Assessment Standards for School Mathematics, em 1995.

A partir da publicação desses documentos ocorreram nos Estados Unidos intensas mudanças na Educação Matemática, mudanças essas que no dizer de Van de Walle (2001 apud ONUCHIC, 2004), foram muito positivas, profundas e amplamente aceitas em relação a outras mudanças propostas anteriormente. Essas mudanças apontaram para uma reforma e, para que a mesma fosse bem-sucedida, fez-se necessário uma base sólida de pesquisas para sustentá-la.

A publicação do Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics tinha como objetivo atender aos profissionais da educação que, naquele momento, tinham poder de decisões sobre o currículo de Matemática: supervisores, professores, empresários ligados à venda de livro didático, especialistas em materiais

instrucionais e currículo que descreve a matemática que os educandos devem saber e ser capazes de fazer. Mais tarde, foram criadas as diretrizes: publicações Professional Standards for Teaching Mathematics que apontam caminhos em relação às atividades pedagógicas que os professor(as) podem organizar em suas aulas de modo que os alunos possam aprender a matemática descrita em Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. A publicação Assessment Standards for School Mathematics contém os parâmetros que professores e educadores se apóiem para construir e desenvolver práticas avaliativas que caminhem em direção a uma Matemática efetiva, dinâmica e que atenda aos reais interesses dos educandos, o sucesso na aprendizagem da matemática.

Segundo Onuchic (2004), a partir da segunda metade dos anos 90 teve início, nos Estados Unidos um processo de discussão de caráter mais aguerrido em relação à Matemática. Fizeram-se, no período mencionado, diversas críticas contundentes em relação à reforma proposta pelos Standards, ainda assim o processo de discussão seguiu seu percurso. O NTCN - National Council of Teachers of Mathematics (Conselho Nacional de Professores de Matemática), após uma década de exercício das idéias pedagógicas presentes nos Standards, trabalhou, em certa medida, sob pressão. Durante aquele período, após receber diversas sugestões o NTCN elaborou o documento Principles and Standards for School Mathematics, publicado em abril de 2000 e conhecido como Standards 2000.

Conforme diz Onuchic (2004), os Standards estabeleceram como eixo seis princípios a serem desenvolvidos no processo educativo: Eqüidade; Currículo; Ensino e Aprendizagem; Avaliação e Tecnologia. Enfatizava também o caráter da interdependência entre estes princípios e os programas da Matemática escolar. Em face desses princípios foram estabelecidos cinco Padrões de Conteúdo:

Números e Operações; Álgebra; Geometria; Medida; e Análise de Dados e Probabilidade que explicitam os conteúdos programáticos que devem ser desenvolvidos junto aos educandos daquele país no processo de aprendizagem. Outro aspecto importante presente no Standards 2000 foi o estabelecimento dos Padrões Processo. A saber, são cinco: Resolução de Problemas, Raciocínio e Prova; Comunicação; Conexão e Representação que enfatizavam os percursos de se apropriar e utilizar o conhecimento dos conteúdos programáticos. Vale ressaltar que os Standards proporcionaram mudanças significativas na Política Educacional dos Estados Unidos e com repercussão em vários países.

No contexto brasileiro a Educação Matemática vem construindo seu espaço, mas ainda não adquiriu a expressão do valor que se acredita poder ocupar devida às contribuições que potencialmente pode trazer à educação como um todo. Haja vista em relação à formação inicial e continuada de professores na perspectiva da abordagem do ensinar matemática através de resolução de problemas. A discussão teórica conceitual mais sistemática em relação à problema e situação-problema segue adiante nos próximos capítulos.

Nas palavras de Van de Walle (2001 apud ONUCHIC, 2004, p. 219) diz, “os professores de matemática, para serem realmente eficientes, devem envolver quatro componentes básicos em suas atividades”.

1 – Gostar da disciplina Matemática, o que significa fazer matemática com prazer;

2 – Compreender como os alunos aprendem e constroem suas idéias, neste caso o exercício da pesquisa a partir de sua sala de aula e a reflexão de sua práxis pedagógica;

3 – Ter habilidade em planejar e selecionar tarefas e; assim, fazer com que o aluno aprenda Matemática num ambiente de Resolução de Problemas;

4 – Ter habilidade em integrar diariamente a avaliação com o processo de ensino a fim de melhorar esse processo e aumentar a aprendizagem.

No Brasil, conforme a Proposta Curricular para a Educação de Jovens e Adultos – segundo segmento. 5ª a 8ª série do Ensino Fundamental (BRASIL, 2002, p.13-20) – aponta algumas convergências, diz:

• Diretriz do Ensino fundamental para a aquisição de competências básicas necessárias aos indivíduos e não apenas voltadas para a preparação de estudos posteriores;

• Ênfase do desempenho acadêmico do educando como intervenção ativa na construção e elaboração do conhecimento;

• Ênfase na resolução de problemas, na exploração dos conhecimentos matemáticos a partir de situações-problema proposta fazendo uso de experiências cotidianas internas e externas à sala de aula e em outras áreas do conhecimento1.

• Importância do trabalhar com amplo espectro do conteúdo, incluindo, no ensino fundamental, o tratamento de informações, os elementos de estatística, probabilidade e combinatória, a partir se situações- problema para atender a demanda social, que aponta a importância e necessidade de abordar esses assuntos;

1

Para maior aprofundamento a respeito da aplicação de resolução de problemas em outras áreas do conhecimento ver (POZO, 1998).

• A necessidade de levar os alunos a compreender a importância do uso racional e crítico das novas tecnologias e a acompanhar sua permanente renovação.

As intensas transformações sociais, políticas, econômicas, científicas e culturais presentes na sociedade contemporânea incidem, sistematicamente, no ambiente escolar. Vê-se, destarte, que os desafios aumentam, estão a exigir da escola e de seus atores sociais (professores, funcionários, educadores, pesquisadores, diretores, alunos, pais e sociedade civil organizada) a busca do diálogo permanente, a construção e elaboração de propostas pedagógicas firmes e sensatas para fazer frente a essas questões, o que não é tarefa fácil e simples.

Nessa perspectiva, há necessidade de ressignificar as práticas educativas na busca de uma educação que proporcione aos jovens e adultos o acesso aos bens culturais, científicos e tecnológicos, exigindo um esforço coletivo da comunidade escolar no sentido de democratizar e melhorar a qualidade do ensino. Para tanto, conforme diz (FONSECA, 2002) um bom começo seria ampliar e aprofundar as discussões sobre a necessidade de reformulação do currículo escolar promovendo atividades desse caráter nas instituições de ensino.

A Secretaria de Estado de Educação do Distrito Federal, em face dessas rápidas transformações nas diversas áreas do conhecimento, conseqüência natural da necessidade de tornar a educação mais dinâmica, efetiva e adequada às novas demandas da sociedade contemporânea, apresenta uma proposta curricular que procura contemplar todas essas mudanças. “Um currículo que privilegie as aprendizagens significativas e a construção de competências, particularmente, na modalidade de educação de jovens e adultos” (DISTRITO FEDERAL, 2000, p. 376).

Outro aspecto importante, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDBN – nº 9394/96 nos Artigos 37 e 38, e as recomendações que o Ministério da Educação faz por meio da Proposta Curricular de Educação de Jovens e Adultos – segundo segmento- 5ª a 8ª série do Ensino fundamental (BRASIL, 2002). Estes documentos podem auxiliar nesse processo. Neles, considera-se a Educação como fenômeno histórico-social que perpassa por toda a vida do ser humano, concretizando-se mediante as relações estabelecidas entre sujeitos e entre eles as demais manifestações do mundo social, cultural e físico no percurso do tempo.

Nessa perspectiva de educação, Fonseca (2002) salienta que no processo de construção do conhecimento por meio de práticas pedagógicas diversificadas, devem-se levar em consideração as experiências e os conhecimentos prévios de jovens e adultos com o propósito da busca da autonomia, do exercício democrático, possibilitar o acesso aos bens culturais e, conseqüentemente, inseri-los na sociedade contemporânea.

Segundo Charnay (1996), o papel da matemática, nessa perspectiva, diz que, um dos objetivos essenciais do ensino da matemática é precisamente que o que se ensine esteja carregado de significado, tenha sentido para o aluno, particularmente para o educando da EJA. Assim, podemos dizer que algo é significativo quando faz sentido para quem aprende, ou seja, quando é possível relacionar fato novo a fatos já conhecidos. Neste contexto, conforme afirma Charnay (1996, p.37), o sentido de um conhecimento matemático se define, não só pela coleção de situações em que este conhecimento é realizado como teoria matemática'; não só pela coleção de situações em que o sujeito o encontrou como meio de solução, mas também pelo conjunto de concepções que rejeita, de erros que evita, de economias que procura, de formulações que retoma etc. Dessa forma, a aprendizagem torna-se significativa na medida em que o sentido do que esta sendo proposto, mostrado, ensinado é internalizado, compreendido,

a partir das relações entre os fatos. É importante destacar que na construção da significação de um conhecimento devem ser considerados dois aspectos: o nível “interno”; o que, como e por que funciona determinada ferramenta (ex: como funciona um algoritmo2 e por que conduz ao resultado procurado?). O nível “externo”; qual a abrangência de utilização deste conhecimento e quais são seus limites?

Parece-me que a questão essencial do ensino da matemática é então: como fazer para que os conhecimentos ensinados tenham sentido para o aluno? Para ser ensinado, o saber matemático acumulado deve ser transformado, isto é, sofrer um processo de recontextualização. Brousseau (1996) nos chama a atenção em relação à recontextualização do saber, ou seja, àquelas situações que dêem sentido aos conhecimentos que são ensinados em sala de aula.

Segundo aquele autor, para o educando, se a fase de personalização foi bem assimilada, portanto, as respostas às situações apresentadas por ele no ambiente escolar “produziu” um conhecimento, mas que até então este não soube onde utilizá-lo, cabe, dessa forma, transformar a sua resposta e seu conhecimento em saber e assim, com a ajuda do professor(a), re-despersonalizar e redescontextualizar esse saber produzido (BROUSSEAU, 1996, p. 48). e assim, buscar uma compreensão numa perspectiva global e reconhecer que esse conhecimento cultual é reutilizável.

Nesse contexto, apresenta-se aqui, duas vertentes contraditórias do papel do