SA‛DİYYE TARÎKATI

No espaço projetivo complexo Ă𝑛_{, um sistema linear é simplesmente uma família de}

todas as hipersuperfícies 𝑈𝜆da forma,

𝑈𝜆 𝜆 𝑢 Ȃ Ȃ Ȃ 𝜆𝑠𝑢𝑠

em que 𝜆 𝜆 Ȃ Ȃ Ȃ 𝜆𝑠 é um ponto do espaço projetivo Ă𝑠, o espaço de parâmetros, e na

qual, 𝑢 𝑢𝑠 _{são polinômios homogêneos linearmente independentes de mesmo grau}

nas 𝑛 variáveis 𝑥 𝑥𝑛. O sistema é chamado um feixe linear se 𝑠 e uma rede se

𝑠 .

Se todos os membros 𝑈𝜆 contêm uma hipersuperfície em comum 𝑈 𝑢 , então,

𝑈 é dita ser uma componente fixa, e o sistema definido pelos quocientes 𝑢 𝑢 𝑢𝑠 _𝑢

CAPÍTULO 1.

P

RELIMINARES 19 divisor comum dos 𝑢𝑖 _{. Se todos os membros desse menor sistema residual contém um ponto}

em comum ou uma variedade em comum, então, esse ponto ou variedade, será chamado de ponto baseou variedade base do sistema original.

Estaremos interessados ao longo desta tese, nos sistemas lineares de dimensões 1 e 2, ou seja, nos feixes lineares e também nas redes. Começaremos então, o estudo dos feixes lineares associados à uma folheação Ă de Ă de grau 𝑑 e conjunto singular 𝑆𝑖𝑛𝑔 Ă , induzida em coordenadas homogêneas 𝑋 𝑌 𝑍 de Ă pela 1-forma dada pela equação (1.2) ou mesmo em coordenadas afins 𝑥 𝑦 Ȃ Ă pelo campo vetorial dual da 1-forma (1.2) dado pela equação (1.5).

Denotaremos por 𝑇Ă

𝑝Ă a reta por 𝑝 com direção 𝑇𝑝Ă que chamaremos de reta tangente

projetivade Ă em 𝑝 Ȃ Ă Ȃ 𝑆𝑖𝑛𝑔 Ă . O locus polar de Ă com centro em 𝑙 Ȃ Ă é o fecho do conjunto de pontos 𝑝 Ȃ Ă Ȃ 𝑆𝑖𝑛𝑔 Ă tal que 𝑇Ă

𝑝Ă passa por 𝑙:

𝑃Ă𝑙 𝑝 Ȃ Ă Ȃ 𝑆𝑖𝑛𝑔 Ă 𝑙 Ȃ 𝑇𝑝ĂĂ

𝑙 𝑃Ă_𝑙

Ă

Figura 1.1:Curva polar de uma folheação Ă centrada em 𝑙 Ȃ Ă .

Em coordenadas afins 𝑥 𝑦 Ȃ Ă como acima, tomando 𝑙 𝑥 𝑦 , a curva polar 𝑃Ă

𝑙 é então dada pela equação

𝑦 Ȃ 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 Ȃ 𝑥 Ȃ 𝑥 𝑄 𝑥 𝑦 (1.10)

CAPÍTULO 1.

P

RELIMINARES 20 1-forma como em (1.2), a curva polar com centro 𝑙 𝛼 𝛽 𝛾 é dada pela equação

𝛼𝐴 𝑋 𝑌 𝑍 𝛽𝐵 𝑋 𝑌 𝑍 𝛾𝐶 𝑋 𝑌 𝑍 (1.11)

Vemos assim que 𝑃Ă

𝑙 é uma curva algébrica de grau 𝑑 . Além disso, por qualquer uma

das duas equações acima nota-se que o centro 𝑙 sempre está contido na curva polar 𝑃Ă 𝑙 .

Por outro lado, variando o centro 𝑙 𝛼 𝛽 𝛾 da curva polar, produzimos um sistema linear em Ă gerado pelos divisores 𝐴 , 𝐵 e 𝐶 .

P

ROPOSIÇÃO 1.2.1. Seja Ă uma folheação de grau 𝑑 em Ă induzida por uma 1-forma homogênea como em(1.2). Se 𝑑 Ȃ , então, seu sistema linear tem dimensão 2. Se 𝑑 então temos um feixe linear.

Demonstração. Seja Ă a folheação induzida pela 1-forma 𝜔 dada por (1.2) e suponha, por contradição, que tal dimensão seja menor que 2. Então, um dos polinômios 𝐴 𝐵 ou 𝐶 seria escrito como combinação linear dos outros, digamos 𝐶 𝜆𝐴 𝜇𝐵, com 𝜆 𝜇 Ȃ Ă. Agora, observe que se essa condição fosse satisfeita, da relação de Euler para os coeficientes de 𝜔 em (1.2), teríamos

𝑋𝐴 𝑌 𝐵 𝑍 𝜆𝐴 𝜇𝐵 Ă 𝑋 𝜆𝑍 𝐴 Ȃ 𝑌 𝜇𝑍 𝐵

Se tivessemos 𝑑 grau 𝐴 grau 𝐵 𝑑 Ȃ , necessariamente 𝐴 e 𝐵 teriam um fator em comum. Se 𝑑 , esse fator em comum teria grau pelo menos 2. Escrevendo a relação de Euler para os coeficientes de 𝜔 como 𝑍𝐶 Ȃ 𝑋𝐴 𝑌 𝐵 , encontraríamos um fator comum para 𝐴 𝐵 e 𝐶, o que seria um absurdo. Agora se 𝑑 , a relação de Euler 𝑋𝐴 𝑌 𝐵 𝑍𝐶 nos mostra que 𝑍 é um fator linear comum a 𝐴 e 𝐵. A menos de multiplicação por escalar não nulo, podemos supor

𝐴 Ȃ 𝑌 Ȃ 𝛽𝑍 𝑍 𝐵 𝑋 Ȃ 𝛼𝑍 𝑍

e novamente pela relação de Euler, encontramos 𝐶 𝛼𝑌 Ȃ 𝛽𝑋 𝑍 o que é uma contradição com o fato de 𝐴 𝐵 e 𝐶 não possuírem fator em comum.

Portanto, para uma folheação Ă de grau maior ou igual a 1, temos uma rede de curvas polares, também chamada de rede polar. Seus pontos-base, isto é, pontos comuns das

CAPÍTULO 1.

P

RELIMINARES 21 interseções de todas as curvas nessa família, são exatamente os pontos singulares de Ă. Tal objeto foi estudado em [7], cujos autores provaram que, se 𝑑 Ȃ então, o subesquema singular de seus pontos-base determina Ă.

Com o intuito de estudar o elemento genérico da rede polar de uma folheação Ă em Ă , R. Mol através do Teorema de Bertini-Krull [25] que caracteriza os sistemas lineares cujo elemento genérico é redutível e enunciado como:

T

EOREMA 1.2.2. Seja 𝐾 um corpo de característica 0 algebricamente fechado. Sejam 𝑃 𝑃 𝑃𝑟 polinômios não nulos e distintos, relativamente primos em 𝐾 𝑥 𝑟 Ȃ , em

que 𝑥 𝑥 𝑥𝑛 são variáveis independentes, com grau 𝑃𝑖 . Então o

conjunto dos valores 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆𝑟 Ȃ Ă𝑟 Ă𝑟Ătal que

𝐹 𝐹 𝑥 𝜆 𝑃 𝜆 𝑃 Ȃ Ȃ Ȃ 𝜆𝑟𝑃𝑟

é redutível em 𝐾 𝑥 é um aberto denso de Zariski em Ă𝑟 _{se, e somente se, as seguintes}

condições são válidas: Existem polinômios relativamente primos ̀ ̀ Ȃ 𝐾 𝑥 com grau𝑥 𝐹 grau ̀ grau ̀ tais que existem 𝑠 e 𝑟 polinômios Ă𝑖 𝑢 𝑣 Ȃ

𝐾 𝑢 𝑣 homogêneos de grau 𝑠 tal que

𝑃𝑖 Ă𝑖 ̀ 𝑥 ̀ 𝑥

𝑠

∑

𝑘

𝑎𝑖𝑘̀ 𝑥 𝑘̀ 𝑥 𝑠Ȃ𝑘 𝑖 𝑟

de tal modo que, colocando

𝐻 𝑢 𝑣 𝜆 𝑟 ∑ 𝑖 𝜆𝑖Ă𝑖 𝑢 𝑣 tenhamos 𝐹 𝑥 𝜆 𝐻 ̀ 𝑥 ̀ 𝑥 𝜆 .

prova o seguinte fato a respeito da curva polar genérica e para o qual daremos uma ideia da demonstração.

T

EOREMA 1.2.3. A curva polar genérica de uma folheação em Ă é irredutível.

Demonstração. Seja Ă folheação de grau 𝑑 em Ă induzida, em coordenadas homogêneas 𝑋 𝑌 𝑍 , pela 1-forma homogênea

CAPÍTULO 1.

P

RELIMINARES 22 em que 𝐴 𝐵 e 𝐶 são polinômios homogêneos de grau 𝑑 , satisfazendo a condição de Euler

𝑋𝐴 𝑋 𝑌 𝑍 𝑌 𝐵 𝑋 𝑌 𝑍 𝑍𝐶 𝑋 𝑌 𝑍 Ȃ Suponha que o elemento genérico da rede polar de Ă,

𝛼𝐴 𝑋 𝑌 𝑍 𝛽𝐵 𝑋 𝑌 𝑍 𝛾𝐶 𝑋 𝑌 𝑍 𝛼 𝛽 𝛾 Ȃ Ă

seja redutível.

Segue, pois, do Teorema de Bertinni-Krull que existem polinômios relativamente primos ̀ ̀ Ȃ Ă 𝑋 𝑌 𝑍 tal que grau ̀ grau ̀ 𝑑 e polinômios homogêneos Ă 𝑢 𝑣 Ă 𝑢 𝑣 Ă 𝑢 𝑣 Ȃ Ă 𝑢 𝑣 de grau 𝑠 tal que

𝐴 Ă ̀ ̀ 𝐵 Ă ̀ ̀ 𝐶 Ă ̀ ̀ Escreva Ă𝑖 𝑢 𝑣 𝑠 ∑ 𝑘 𝑎𝑖𝑘𝑢𝑘𝑣𝑠Ȃ𝑘 𝑖

Uma vez que 𝑋𝐴 𝑌 𝐵 𝑍𝐶 Ȃ , isolando os termos em ̀𝑠_{em um mesmo lado da}

igualdade, conseguimos: 𝑋𝑎 𝑠 𝑌 𝑎 𝑠 𝑍𝐶𝑎 𝑠 ̀𝑠 Ȃ 𝑠Ȃ ∑ 𝑘 𝑋𝑎 𝑘 𝑌 𝑎 𝑘 𝑍𝐶𝑎 𝑘 ̀𝑘̀𝑠Ȃ𝑘 (1.12)

Observamos primeiramente que 𝑋𝑎 𝑠 𝑌 𝑎 𝑠 𝑍𝐶𝑎 𝑠na equação (1.12) acima é não

nulo pois, caso contrário, encontraríamos 𝑎 𝑠 𝑎 𝑠 𝑎 𝑠 e, desse modo, 𝐴 𝐵 e 𝐶

teriam ̀ como fator comum.

Assim, uma vez que ̀ e ̀ são primos relativos, a expressão (1.12) nos diz que ̀ divide 𝑋𝑎 𝑠 𝑌 𝑎 𝑠 𝑍𝐶𝑎 𝑠. Mas isso é possível se, e somente se, grau ̀ e isso nos

fornece ̀ 𝜆 𝑋𝑎 𝑠 𝑌 𝑎 𝑠 𝑍𝐶𝑎 𝑠 para algum 𝜆 Ȃ Ă Ȃ .

De maneira análoga, encontramos grau ̀ e ̀ 𝜉 𝑋𝑎 𝑠 𝑌 𝑎 𝑠 𝑍𝐶𝑎 𝑠 para

algum 𝜉 Ȃ Ă Ȃ .

A demonstração de que esses fatos a respeito dos mapas ̀ e ̀ nos fornece uma contradição se dá após considerarmos a seguinte mudança de coordenadas:

CAPÍTULO 1.

P

RELIMINARES 23 ̂ ࠏ ࠏ ̂ ࠏ ࠏ ̂ 𝑢 ̀ 𝑋 𝑌 𝑍 𝜉 𝑋𝑎 𝑌 𝑎 𝑍𝐶𝑎 𝑣 ̀ 𝑋 𝑌 𝑍 𝜆 𝑋𝑎 𝑠 𝑌 𝑎 𝑠 𝑍𝐶𝑎 𝑠 𝑤 ̀ 𝑋 𝑌 𝑍 𝑋𝑎 𝑌 𝑏 𝑍𝑐

em que ̀ é uma forma linear qualquer tal que ̀ ̀ e ̀ sejam linearmente independentes. Denotando por 𝑢 𝑣 𝑤 𝐹 𝑋 𝑌 𝑍 essa mudança linear de coordenadas, Ă é então induzida nessas novas coordenadas pela 1-forma Ȁ𝜔 pullback de 𝜔 por 𝐹 e dada por

Ȁ

𝜔 𝐴 𝑢 𝑣 𝑑𝑢Ȁ 𝐵 𝑢 𝑣 𝑑𝑢Ȁ 𝐶 𝑢 𝑣 𝑑𝑤Ȁ

em que Ȁ𝐴 Ȁ𝐵 e Ȁ𝐶 são polinômios homogêneos de grau 𝑑 nas variáveis 𝑢 e 𝑣. A condição de Euler para Ȁ𝜔 nos fornece que Ȁ𝐶 Ȃ , contradizendo o fato de que 𝑑 grau Ă Ȃ e os polinômios Ȁ𝐴 Ȁ𝐵 e Ȁ𝐶 serem linearmente independentes.

Capítulo

2

M

ODELOS PRIMITIVOS

Neste capítulo desenvolveremos o conceito de modelos primitivos de folheações do plano projetivo complexo. Tal conceito será definido a partir da reducibilidade do feixe linear polar de uma folheação com respeito a uma reta fixa 𝐿. Estabeleceremos propriedades geométricas que relacionam folheações não primitivas e seus modelos primitivos associados, como por exemplo, relações entre os números de Milnor de suas singularidades.

2.1 M

ODELOS PRIMITIVOS DE FOLHEAÇÕES NO PLANO PROJETIVO

Considere Ă, folheação em Ă induzida em coordenadas homogêneas 𝑋 𝑌 𝑍 Ȃ Ă pela 1-forma polinomial

𝜔 𝐴 𝑋 𝑌 𝑍 𝑑𝑋 𝐵 𝑋 𝑌 𝑍 𝑑𝑌 𝐶 𝑋 𝑌 𝑍 𝑑𝑍 (2.1)

Como visto na Seção1.2.2, a curva polar com centro 𝑙 𝛼 𝛽 𝛾 da folheação Ă tem equação

𝛼𝐴 𝑋 𝑌 𝑍 𝛽𝐵 𝑋 𝑌 𝑍 𝛾𝐶 𝑋 𝑌 𝑍 (2.2)

É possível observar, pela equação acima que, se Ă tem grau 𝑑 Ȃ , então 𝑃Ă

𝑙 é uma curva

de grau 𝑑 . Além disso, 𝑃Ă

𝑙 contém todas as singularidades de Ă, bem como o ponto 𝑙,

pois os zeros comuns de 𝐴 𝐵 e 𝐶, singularidades de Ă, também satisfazem a equação (2.2). Variando o centro 𝑙 𝛼 𝛽 𝛾 da curva polar, produzimos um sistema linear em Ă gerado pelos divisores 𝐴 , 𝐵 e 𝐶 da forma que induz Ă. Como mostrado na Proposição1.2.1, se o grau da folheação Ă é maior do que ou igual a 1, tal sistema tem

CAPÍTULO 2.

M

ODELOS PRIMITIVOS 25 dimensão 2. Nesse caso, teremos uma rede de curvas polares, também chamada de rede polar.

Agora, se fixamos uma reta 𝐿 Ȃ Ă e tomamos todas as curvas polares de Ă cujos centros estejam sobre a reta 𝐿, teremos o feixe linear polar de Ă com eixo 𝐿. O conjunto dessas curvas é, pois,

𝛼𝐴 𝑋 𝑌 𝑍 𝛽𝐵 𝑋 𝑌 𝑍 𝛾𝐶 𝑋 𝑌 𝑍 𝛼 𝛽 𝛾 Ȃ 𝐿

e será denotado por 𝒫 Ă 𝐿 .

𝑙 𝑙 𝑃Ă_𝑙

𝑃Ă_𝑙 Ă

𝐿

Figura 2.1: Feixe linear de curvas polares cujos centros estão contidos numa reta 𝐿.

O resultado a seguir nos mostra quando tal família de curvas possui uma componente fixa, ou seja, uma componente comum a todas as curvas dessa família.

P

ROPOSIÇÃO 2.1.1. Seja 𝐿 Ȃ Ă uma reta Ă-invariante. Então 𝐿 é uma componente fixa de 𝒫 Ă 𝐿 com multiplicidade um. Reciprocamente, a única componente fixa admitida em 𝒫 Ă 𝐿 é a reta 𝐿 que, nesse caso, é Ă-invariante e de multiplicidade um. Em particular, se 𝐿 não é invariante por Ă, então 𝒫 Ă 𝐿 não tem componentes fixas.

Demonstração. Suponha primeiro que 𝐿 seja Ă-invariante e fixe 𝑙 Ȃ 𝐿. Então, a Ă- invariância de 𝐿 nos dá 𝑙 Ȃ 𝑇Ă

𝑝Ă para todo 𝑝 Ȃ 𝐿 Ȃ Sing Ă . Assim, 𝐿 Ȃ 𝑃 Ă

CAPÍTULO 2.

M

ODELOS PRIMITIVOS 26 𝑙 Ȃ 𝐿 arbitrário, temos 𝐿 Ȃ 𝒫 Ă 𝐿 . No que diz respeito à multiplicidade da reta 𝐿, tomando-a como 𝐿 𝑍 no sistema de coordenadas homogêneas 𝑋 𝑌 𝑍 de Ă , temos

𝒫 Ă 𝐿 𝛼𝐴 𝑋 𝑌 𝑍 𝛽𝐵 𝑋 𝑌 𝑍 𝛼 𝛽 Ȃ Ă

Assim, se 𝐿 fosse um elemento fixo do feixe linear com multiplicidade 𝑘 , então 𝑍𝑘_seria

um divisor de ambos os polinômios 𝐴 e 𝐵. Da condição de Euler (1.3), isso implicaria que 𝑍𝑘Ȃ _{seria um divisor de 𝐶 e teríamos encontrado uma componente de codimensão um em}

Sing Ă , o que seria um absurdo.

Para a recíproca, primeiro observamos que, se 𝒫 Ă 𝐿 tem uma reta 𝐿 _{em sua base,}

então 𝐿 _{𝐿. De fato, se 𝑝 Ȃ 𝐿}_{Ȃ Sing Ă , então, 𝑙 Ȃ 𝑇}Ă

𝑝Ă para todo 𝑙 Ȃ 𝐿. Mas, se 𝐿 Ȃ 𝐿

e se 𝑝 ȂȂ 𝐿, então, 𝑇Ă

𝑝Ă intersecta 𝐿 somente em um ponto. Assim, a única possibilidade

restante é que tenhamos 𝐿 _{𝐿. Então, para 𝑙 Ȃ 𝐿 fixado e para todo 𝑝 Ȃ 𝐿 Ȃ Sing Ă}

teremos 𝑙 Ȃ 𝑇Ă

𝑝Ă. Isso nos dá 𝑇 Ă

𝑝Ă 𝐿 para todo 𝑝 Ȃ 𝐿 Ȃ Sing Ă e a Ă-invariância de

𝐿. Pela primeira parte da prova, 𝐿 tem multiplicidade um. Finalmente, a existência de uma componente irredutível fixa de 𝒫 Ă 𝐿 de grau maior que um com equação 𝐹 𝑋 𝑌 𝑍 implicaria que 𝐹 seria um fator de ambos os polinômios 𝐴 e 𝐵. Concluiríamos, pois, pela condição de Euler, que tal componente seria um fator de 𝐶, originando assim uma componente de codimensão um em Sing Ă , o que é uma contradição.

D

EFINIÇÃO 2.1.2. Considere uma folheação Ă em Ă . Seu feixe linear polar modificado com eixo na reta 𝐿 Ȃ Ă , denotado por 𝒫Ȃ _{Ă 𝐿 , é o feixe linear obtido de 𝒫 Ă 𝐿 do}

seguinte modo: 𝒫Ȃ _{Ă 𝐿} ̂ ࠏ ̂ ࠏ ̂ 𝒫 Ă 𝐿 Ȃ 𝐿 se 𝐿 é Ă-invariante 𝒫 Ă 𝐿 se 𝐿 não é Ă-invariante Pela Proposição2.1.1, 𝒫Ȃ _{Ă 𝐿 é livre de componentes fixas.}

Escolhemos agora um sistema de coordenadas afins 𝑥 𝑦 Ȃ Ă , no qual a reta 𝐿 é a reta no infinito, fazendo 𝐿 𝑍 , 𝑥 𝑋 𝑍 e 𝑦 𝑌 𝑍. Consideramos, nesse sistema de coordenadas, a folheação Ă induzida pelo campo de vetores

𝑃 𝑥 𝑦 Ȃ

Ȃ𝑥 𝑄 𝑥 𝑦 Ȃ Ȃ𝑦

CAPÍTULO 2.

M

ODELOS PRIMITIVOS 27 em que 𝑃 𝑥 𝑦 𝐵 𝑥 𝑦 e 𝑄 𝑥 𝑦 Ȃ𝐴 𝑥 𝑦 . Nas coordenadas 𝑥 𝑦 , ambos os feixes lineares 𝒫 Ă 𝐿 e 𝒫Ȃ _{Ă 𝐿 são dados por}

𝛼𝑃 𝑥 𝑦 𝛽𝑄 𝑥 𝑦 𝛼 𝛽 Ȃ Ă

Nesse caso, adotamos para esse feixe linear a notação 𝒫 𝑃 𝑄 .

Vimos no Capítulo 1 no Teorema 1.12 que o elemento genérico da rede polar é irredutível. Entretanto, observamos que a rede polar de uma folheação pode conter um feixe linear cujo elemento genérico é redutível. Evidentemente, se 𝐿 é uma reta invariante por Ă, então 𝐿 pertence a todos os elementos do feixe linear polar que possui 𝐿 como um eixo, ou seja, 𝐿 é um elemento fixo do feixe linear polar 𝒫 Ă 𝐿 . Removendo 𝐿 do feixe linear, ou seja, passando a 𝒫Ȃ _{Ă 𝐿 , podemos nos perguntar novamente se o seu elemento genérico é}

redutível.

Observamos ainda que, agora não mais existem elementos fixos de codimensão um no feixe linear. Tal afirmação segue evidentemente do fato do conjunto singular Sing Ă ter codimensão 2, não havendo fatores comuns para os polinômios 𝑃 e 𝑄. Podemos, então, aplicar o Teorema de Fatorização de Stein (veja [1]), que, no caso algébrico lê-se:

T

EOREMA 2.1.3. ([17]) O elemento genérico do feixe linear

𝛼𝑃 𝑥 𝑦 𝛽𝑄 𝑥 𝑦 𝛼 𝛽 Ȃ Ă

é redutível se, e somente se, existem polinômios Ȁ𝑃 𝑥 𝑦 e Ȁ𝑄 𝑥 𝑦 , bem como uma função racional 𝑟 Ă Ă Ă de grau maior que um, tais que

𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝑟 ( Ȁ 𝑃 𝑥 𝑦 Ȁ 𝑄 𝑥 𝑦 )

Isso significa que o feixe linear induzido por 𝑃 e 𝑄 se “fatora" pelo feixe linear induzido por Ȁ𝑃 e Ȁ𝑄. Podemos nos perguntar ainda se o elemento genérico do feixe linear

𝛼 Ȁ𝑃 𝑥 𝑦 𝛽 Ȁ𝑄 𝑥 𝑦 𝛼 𝛽 Ȃ Ă (2.3)

é redutível. Se o for, podemos repetir o processo acima até obtermos Ȁ𝑃 e Ȁ𝑄 satisfazendo a propriedade acima com grau mínimo. Nesse caso o elemento genérico do pencil (2.3) é

CAPÍTULO 2.

M

ODELOS PRIMITIVOS 28 irredutível.

D

EFINIÇÃO 2.1.4. Dizemos que uma folheação Ă em Ă é primitiva se, para toda reta 𝐿 Ȃ Ă o feixe linear polar 𝒫Ȃ _{Ă 𝐿 tem elemento genérico irredutível. Se para alguma}

reta 𝐿 Ȃ Ă o feixe linear polar 𝒫Ȃ _{Ă 𝐿 tem elemento genérico redutível, dizemos que Ă}

é não primitiva (com respeito à reta 𝐿). Nesse caso, tomando coordenadas afins 𝑥 𝑦 Ȃ Ă para as quais 𝐿 é a reta do infinito e que, nesse mesmo sistema, Ă seja induzida pelo campo de vetores polinomial

𝑃 𝑥 𝑦 Ȃ

Ȃ𝑥 𝑄 𝑥 𝑦 Ȃ

Ȃ𝑦 (2.4)

encontramos polinômios Ȁ𝑃 𝑥 𝑦 e Ȁ𝑄 𝑥 𝑦 de grau Ȁ𝑑 e uma função racional 𝑟 Ă _{Ă Ă} de grau grau 𝑟 𝑚 Ȃ tal que 𝑃 𝑄 𝑟 Ȁ𝑃 Ȁ𝑄 e, além disso, o feixe linear 𝒫 Ȁ𝑃 Ȁ𝑄 tem elemento genérico irredutível.

Observe que, colocando 𝑡 𝑧 𝑤, escrevemos 𝑟 𝑡 𝑟 𝑧 𝑤 𝑆 𝑧 𝑤 𝑇 𝑧 𝑤 , em que 𝑆 e 𝑇 são polinômios homogêneos de mesmo grau 𝑚, temos

̂ ࠏ ̂ ࠏ ̂ 𝑃 𝑥 𝑦 𝑆 Ȁ𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦Ȁ 𝑄 𝑥 𝑦 𝑇 Ȁ𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦Ȁ (2.5)

Definimos agora uma folheação ȀĂ em Ă induzida no mesmo sistema de coordenadas afins pelo campo de vetores

Ȁ 𝑃 𝑥 𝑦Ȁ Ȃ

Ȃ𝑥 𝑄 𝑥 𝑦Ȁ Ȃ Ȃ𝑦

O fato de 𝒫 Ȁ𝑃 Ȁ𝑄 possuir elemento genérico irredutível nos garante que Ȁ𝑃 e Ȁ𝑄 são relativamente primos e consequentemente o conjunto singular Sing ȀĂ tem codimensão dois.

D

EFINIÇÃO 2.1.5. Dizemos que ȀĂ assim definida é um modelo primitivo para Ă e número 𝑚 grau 𝑟 será chamado grau de ramificação de Ă.

Observamos que as noções de folheação não primitiva e de modelo primitivo envolvem a fixação de um plano afim com coordenadas 𝑥 𝑦 Ȃ Ă e uma reta no infinito 𝐿Ȃ Ȃ Ă .

Veremos na Proposição2.1.6a seguir que se Ă é uma folheação não primitiva com respeito à reta no infinito, então 𝐿Ȃ é sempre Ă-invariante. O grau do campo vetorial dado pela

CAPÍTULO 2.

M

ODELOS PRIMITIVOS 29 por grau_𝑎 Ă . Se Ă é uma folheação não primitiva admitindo um modelo primitivo ȀĂ, um fato a ser destacado é que

grau_𝑎 Ă 𝑚 grau𝑎 ĂȀ (2.6)

em que 𝑚 é o grau de ramificação.

Considerando a folheação Ă de grau 𝑑 em Ă , conforme a Definição 2.1.4 podemos enunciar a seguinte proposição:

P

ROPOSIÇÃO 2.1.6. Se Ă é folheação não primitiva então 𝐿Ȃé Ă-invariante.

Demonstração. Suponha que em coordenadas afins 𝑥 𝑦 Ȃ Ă , Ă seja induzida pelo campo vetorial

v 𝑃 𝑥 𝑦 Ȃ

Ȃ𝑥 𝑄 𝑥 𝑦 Ȃ Ȃ𝑦

Sabemos que existem polinômios ˜𝑃 ˜𝑄 Ȃ Ă 𝑥 𝑦 , com grau ˜𝑃 grau ˜𝑄 𝑑, e umȀ mapa racional 𝑟 Ă Ă Ă de grau maior que 1, tais que

𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝑟 ( ˜ 𝑃 𝑥 𝑦 ˜ 𝑄 𝑥 𝑦 ) 𝑆 ˜𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦˜ 𝑇 ˜𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦˜ (2.7)

em que 𝑆 e 𝑇 são polinômios homogêneos de mesmo grau que o mapa 𝑟. Temos também que ˜𝑃 ˜𝑄 são tais que o campo

˜ 𝑃 𝑥 𝑦˜ Ȃ

Ȃ𝑥 𝑄 𝑥 𝑦˜ Ȃ Ȃ𝑦

induz uma folheação ˜Ă de grau afim Ȁ𝑑, o modelo primitivo associado à Ă. Supondo 𝐿Ȃnão

Ă-invariante, devemos ter

v 𝑥𝐺 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 Ȃ

Ȃ𝑥 𝑦𝐺 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 Ȃ Ȃ𝑦

em que 𝐺 𝑥 𝑦 é um polinômio homogêneo de grau 𝑑 e grau 𝑃 grau 𝑄 𝑑. Assim, da equação (2.7) e da não invariância da reta do infinito 𝐿Ȃ, devemos ter

𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝑥𝐺 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 𝑦𝐺 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝑆 ˜𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦˜ 𝑇 ˜𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦˜ (2.8) Observe que a não invariância de 𝐿Ȃ nos diz que grau 𝑃 grau 𝑄 𝑑 . Antes de

CAPÍTULO 2.

M

ODELOS PRIMITIVOS 30 darmos sequência à prova da proposição, mostremos que é válido o seguinte lema:

L

EMA 2.1.7. Nas condições da proposição acima, supondo 𝐿Ȃ não invariante, vale que

grau ˜𝑃 grau ˜𝑄 .

Demonstração. Sejam 𝑚 grau 𝑟 , 𝜅 e 𝜅 os respectivos graus dos polinômios ˜𝑃 e ˜𝑄. Sabendo que Ȁ𝑑 grau ˜𝑃 grau ˜𝑄 vamos supor, sem perda de generalidade, que

Ȁ 𝑑 𝜅 . Temos 𝑆 𝑧 𝑤 ∑ 𝑖 𝑗 𝑚 𝛼𝑖𝑗𝑧𝑖𝑤𝑗 e 𝑇 𝑧 𝑤 ∑ 𝑙 𝑘 𝑚 𝛽𝑙𝑘𝑧𝑙𝑤𝑘

em que 𝛼𝑖𝑗 𝛽𝑙𝑘 Ȃ Ă para todos 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙. Portanto,

grau_𝑎 Ă grau 𝑟 Ȃ grau_𝑎 Ă˜ (2.9)

grau 𝑆 ˜𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦˜ grau ( ∑ 𝑖 𝑗 𝑚 𝛼𝑖𝑗𝑃˜𝑖𝑄˜𝑗 ) (2.10) Assim, pelas igualdades (2.9) e (2.10) teremos

𝑚 Ȁ𝑑 grau ( ∑ 𝑖 𝑗 𝑚 𝛼𝑖𝑗𝑃˜𝑖𝑄˜𝑗 )

Ȃ 𝑖 Ȁ𝑑 𝑗𝜅 para algum par 𝑖 𝑗 tal que 𝛼𝑖𝑗 Ȃ

Ȃ 𝑖 𝑗 Ȁ𝑑 𝑚 Ȁ𝑑

Isso nos diz que vale a igualdade e, consequentemente, teremos 𝜅 _𝑑.Ȁ

De volta à prova da proposição, considere Ȁ𝑃 e Ȁ𝑄 os termos homogêneos de grau Ȁ𝑑 dos polinômios ˜𝑃 e ˜𝑄 respectivamente. Comparando os termos de maior grau na equação (2.7), obtemos

𝑥𝐺 𝑥 𝑦 𝑆 Ȁ𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦Ȁ e

CAPÍTULO 2.

M

ODELOS PRIMITIVOS 31 Isso implica em 𝑥 𝑦 𝑆 Ȁ𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦Ȁ 𝑇 Ȁ𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦Ȁ 𝑟 ( Ȁ 𝑃 𝑥 𝑦 Ȁ 𝑄 𝑥 𝑦 )

Contradizendo o fato de ser grau 𝑟 .

Considerando a folheação Ă, induzida como em (2.1), e 𝐿 Ȃ Ă uma reta para a qual o feixe linear polar 𝒫 Ă 𝐿 é redutível, temos a seguinte proposição:

P

ROPOSIÇÃO 2.1.8. 𝐿 é a única reta para a qual o feixe linear polar 𝒫 Ă 𝐿 é redutível. Demonstração. Suponha que Ă, folheação não primitiva de grau 𝑑, e seu modelo primitivo associado ˜Ă sejam induzidos numa carta afim 𝑥 𝑦 Ȃ Ă respectivamente pelas formas diferenciais

𝜔 𝑃 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑄 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 e

˜

𝜔 𝑃 𝑥 𝑦 𝑑𝑥˜ 𝑄 𝑥 𝑦 𝑑𝑦˜

Aqui, estamos considerado 𝑑 grau 𝑃 Ȃ grau 𝑄 𝑘. Sabemos do Teorema de fatorização de Stein que existe um mapa racional 𝑟 Ă Ă Ă de grau maior que 1, tal que 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝑟 ( ˜ 𝑃 𝑥 𝑦 ˜ 𝑄 𝑥 𝑦 ) 𝑆 ˜𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦˜ 𝑇 ˜𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦˜ (2.11)

em que 𝑆 e 𝑇 são polinômios homogêneos de mesmo grau que o mapa 𝑟. Supondo que Ă é não primitiva em relação a outra reta Ȁ𝐿, tomamos um novo sistema de coordenadas afins

𝑢 𝑣 ( 𝑥 𝑦 𝑥 ) , ou de maneira equivalente, 𝑥 𝑦 ( 𝑢 𝑣 𝑢 )

, de modo que a reta Ȁ𝐿 seja a reta no infinito nesse novo sistema de coordenadas. Nas coordenadas 𝑢 𝑣 Ă é induzida por

CAPÍTULO 2.

M

ODELOS PRIMITIVOS 32 𝜔 𝑃 ( 𝑢 𝑣 𝑢 ) 𝑑 ( 𝑢 ) 𝑄 ( 𝑢 𝑣 𝑢 ) 𝑑( 𝑣 𝑢 ) 𝑢𝑑 [ 𝑃 𝑢 𝑣 ( Ȃ 𝑢 𝑑𝑢 ) 𝑢𝑑Ȃ𝑘𝑄 𝑢 𝑣 ( 𝑢𝑑𝑣 Ȃ 𝑣𝑑𝑢 𝑢 )] 𝑢𝑑 { Ȃ𝑃 𝑢 𝑣 Ȃ 𝑢𝑑Ȃ𝑘𝑣𝑄 𝑢 𝑣 𝑑𝑢 𝑢𝑑Ȃ𝑘 𝑄 𝑢 𝑣 𝑑𝑣} em que 𝑃 𝑢 𝑣 𝑃 ( 𝑢 𝑣 𝑢 ) 𝑢𝑑_{e 𝑄 𝑢 𝑣 𝑄} ( 𝑢 𝑣 𝑢 )

𝑢𝑑_{. Afim de não carregarmos a}

notação escrevamos a forma 𝜔, que induz Ă nas coordenadas 𝑢 𝑣 , como 𝜔 𝑃 𝑢 𝑣 𝑑𝑢 𝑄 𝑢 𝑣 𝑑𝑣

em que

𝑃 𝑢 𝑣 Ȃ𝑃 𝑢 𝑣 Ȃ 𝑢𝑑Ȃ𝑘𝑣𝑄 𝑢 𝑣 e 𝑄 𝑢 𝑣 𝑢𝑑Ȃ𝑘 𝑄 𝑢 𝑣

Supondo que o feixe linear 𝒫 Ă Ȁ𝐿 tem elemento genérico redutível, devemos ter um mapa racional 𝑟 Ă Ă Ă de grau maior que 1, tal que

𝑃 𝑢 𝑣 𝑄 𝑢 𝑣 𝑟 ( Ȁ 𝑃 𝑢 𝑣 Ȁ 𝑄 𝑢 𝑣 ) 𝑆 𝑃 𝑢 𝑣Ȁ 𝑄 𝑢 𝑣Ȁ 𝑇 𝑃 𝑢 𝑣Ȁ 𝑄 𝑢 𝑣Ȁ (2.12) em que 𝑆 𝑢 𝑣 e 𝑇 𝑢 𝑣 são polinômios homogêneos com o mesmo grau que o mapa 𝑟 e

Ȁ

𝑃 𝑢 𝑣 e Ȁ𝑄 𝑢 𝑣 são os polinômios Ȁ𝑃 e Ȁ𝑄 avaliados nas coordenadas 𝑢 𝑣 .

Assim, tomando Ȁ𝑃 𝑢 𝑣 e Ȁ𝑄 𝑢 𝑣 e os termos de maior grau dos polinômios Ȁ𝑃 𝑢 𝑣 e Ȁ𝑄 𝑢 𝑣 respectivamente, comparamos os termos de maior grau da equação (2.12), onde encontramos Ȃ𝑢𝑑Ȃ𝑘_{𝑣𝑄 𝑢 𝑣} 𝑢𝑑Ȃ𝑘 _{𝑄 𝑢 𝑣} Ȃ𝑣 𝑢 𝑟 ( Ȁ 𝑃 𝑢 𝑣 Ȁ 𝑄 𝑢 𝑣 )

CAPÍTULO 2.

M

ODELOS PRIMITIVOS 33

2.1.1

F

OLHEAÇÕES LINEARMENTE EQUIVALENTES

Considere Ă e Ă folheações em Ă induzidas em um plano afim fixado com coordenadas 𝑥 𝑦 Ȃ Ă , respectivamente, pelos campos de vetores polinomiais

𝑃 𝑥 𝑦 Ȃ Ȃ𝑥 𝑄 𝑥 𝑦 Ȃ Ȃ𝑦 e 𝑃 𝑥 𝑦 Ȃ Ȃ𝑥 𝑄 𝑥 𝑦 Ȃ Ȃ𝑦 Temos a definição.

D

EFINIÇÃO 2.1.9. Dizemos que Ă e Ă são linearmente equivalentes se existem 𝛼 𝛽 𝛾 𝛿 Ȃ Ă, com 𝛼𝛿 Ȃ 𝛽𝛾 Ȃ , tais que

̂ ࠏ ̂ ࠏ ̂ 𝑃 𝑥 𝑦 𝛼𝑃 𝑥 𝑦 𝛽𝑄 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 𝛾𝑃 𝑥 𝑦 𝛽𝑄 𝑥 𝑦

Observe que esse conceito equivale à existência de um elemento 𝑔 Ȃ 𝐺𝐿 Ă , da forma 𝑔

(

𝛼 𝛽 𝛾 𝛿

)

, de modo que os objetos acima se escrevem da seguinte maneira: ̂ ̂ 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 ̂ ̂ 𝑔 Ȃ ̂ ̂ 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦 ̂ ̂ (2.13)

Podemos ver que esse conceito corresponde à ação de 𝐺𝐿 Ă no espaço das folheações de Ă dada por

Ȃ 𝐺𝐿 Ă _{Ă𝑜𝑙 𝑑 ȂĂ Ă𝑜𝑙 𝑑}

𝑔 Ă 7ȂĂ 𝑔ȂĂ

em que 𝑔ȂĂ é a folheação de Ă definida na parte afim pela equação (2.13). Note que a

definição acima depende da fixação de um sistema de coordenadas afins, 𝑥 𝑦 Ȃ Ă . A noção de equivalência linear estabelece uma relação de equivalência no espaço de folheações em Ă . Nessa relação, as classes de equivalência correspondem às órbitas da ação definida acima e os feixes lineares polares com respeito à reta no infinito desse sistema de coordenadas afins, classificam as classes de equivalência por essa relação, como será mostrado na Proposição 2.1.12mais adiante. Antes, porém, enunciaremos e provaremos o seguinte resultado a respeito das classes de equivalência acima citadas:

CAPÍTULO 2.

M

ODELOS PRIMITIVOS 34

P

ROPOSIÇÃO 2.1.10. Todas as folheações numa mesma classe de equivalência possuem o mesmo grau 𝑑 e deixam 𝐿Ȃinvariante, com a possível excessão de uma, que tem grau 𝑑 Ȃ

e para a qual temos que 𝐿Ȃé não invariante.

Demonstração. De fato, considere duas folheações linearmente equivalentes Ă e Ă induzidas, em coordenadas afins 𝑥 𝑦 Ȃ Ă , pelos campos vetoriais

𝑃 𝑥 𝑦 Ȃ Ȃ𝑥 𝑄 𝑥 𝑦 Ȃ Ȃ𝑦 e 𝑃 𝑥 𝑦 Ȃ Ȃ𝑥 𝑄 𝑥 𝑦 Ȃ Ȃ𝑦 (2.14) Se a reta no infinito é invariante por ambas as folheações Ă e Ă , temos que grau 𝑃 grau 𝑄 𝑑 grau 𝑃 grau 𝑄 . Concluímos assim que, nesse caso, as folheações possuem o mesmo grau. Supondo que a folheação Ă não deixa a reta do infinito invariante, sabemos que existe polinômio homogêneo 𝐺 𝑥 𝑦 de grau 𝑑 e polinômios

Ȁ

𝑃 e Ȁ𝑄 com grau Ȁ𝑃 grau Ȁ𝑄 Ȃ 𝑑, de modo que o campo que induz Ă se escreva na forma

𝑥𝐺 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦Ȁ Ȃ

Ȃ𝑥 𝑦𝐺 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦Ȁ Ȃ

Ȃ𝑦 (2.15)

Considere também a matriz 𝑔 (

𝛼 𝛽 𝛾 𝛿

)

Ȃ 𝐺𝐿 Ă que estabelece a relação de equivalência entre Ă e Ă . Assim, podemos reescrever o campo como

𝛼 𝑥𝐺 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦Ȁ 𝛽 𝑦𝐺 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦Ȁ Ȃ Ȃ𝑥 𝛾 𝑥𝐺 𝑥 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦Ȁ 𝛿 𝑦𝐺 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑦Ȁ Ȃ

Ȃ𝑦 que, por sua vez, equivale a

𝛼𝑥 𝛽𝑦 𝐺 𝑥 𝑦 𝛼 Ȁ𝑃 𝑥 𝑦 𝛽 Ȁ𝑄 𝑥 𝑦 Ȃ Ȃ𝑥 𝛾𝑥 𝛿𝑦 𝐺 𝑥 𝑦 𝛾 Ȁ𝑃 𝑥 𝑦 𝛿 Ȁ𝑄 𝑥 𝑦 Ȃ

Ȃ𝑦 (2.16)

Como 𝐺 𝑥 𝑦 é não identicamente nulo, a escrita dada para o campo em (2.16) é possível se, e somente se, 𝛼 𝛿 e 𝛾 𝛿 . Isso nos diz que Ă Ă .

CAPÍTULO 2.

M

ODELOS PRIMITIVOS 35 equivalência linear. Portanto, uma folheação de grau 𝑑 cuja reta no infinito é não invariante é sempre linearmente equivalente a uma folheação de grau 𝑑 que deixa a reta no infinito 𝐿Ȃinvariante.

P

ROPOSIÇÃO 2.1.11. Se duas folheações do plano projetivo complexo, Ă e Ă , são linearmente equivalentes então, na parte afim, elas possuem o mesmo conjunto singular, isto é, 𝑆𝑖𝑛𝑔 Ă ȂĂ 𝑆𝑖𝑛𝑔 Ă ȂĂ . Além disso, 𝜇𝑝 Ă 𝜇𝑝 Ă para todo 𝑝 Ȃ Ă .

Demonstração. A primeira parte da proposição deve-se ao fato de ser inversível a matriz que estabece a relação de equivalência entre as folheações (veja a equação (2.13)). Por outro lado, a última afirmação da proposição segue do fato de que o número de Milnor de uma folheação Ă em Ă num ponto 𝑝 Ȃ Ă é definido por 𝜇𝑝 Ă Ă 𝒪𝑝 Ă , em que Ă

denota o ideal gerado pelas componentes da 1-forma que induz Ă. O resultado segue do fato de serem iguais os respectivos ideais Ă 𝑃 𝑄 e Ă 𝛼𝑃 𝛽𝑄 𝛾𝑃 𝛿𝑄 .

Para o resultado a seguir, consideramos Ă e Ă folheações de grau 𝑑 em Ă como em (2.14) e fixamos coordenadas afins 𝑥 𝑦 Ȃ Ă de modo que a reta 𝐿 𝐿Ȃseja a reta do

infinito.

P

ROPOSIÇÃO 2.1.12. Duas folheações de grau 𝑑 em Ă possuem o mesmo feixe linear polar com respeito à uma reta 𝐿 se, e somente se, Ă e Ă são linearmente equivalentes.

Demonstração. Sejam Ă e Ă folheações de grau 𝑑 em Ă induzidas em coordenadas afins 𝑥 𝑦 Ȃ Ă pelos campos e na equação (2.14). Considere seus feixes lineares polares com respeito à reta 𝐿 𝐿Ȃ dados, nesse mesmo sistema de coordenadas, respectivamente

por

𝒫 Ă 𝐿 𝜂𝑃 𝑥 𝑦 𝜉𝑄 𝑥 𝑦 𝜂 𝜉 Ȃ Ă

e

𝒫 Ă 𝐿 𝜆𝑃 𝑥 𝑦 𝜇𝑄 𝑥 𝑦 𝜆 𝜇 Ȃ Ă

Uma vez que 𝒫 Ă 𝐿 𝒫 Ă 𝐿 , temos que as curvas 𝑃 e 𝑄 estão em 𝒫 Ă 𝐿 . Existem então 𝑎 𝑎 𝑏 e 𝑏 Ȃ Ă tais que

𝑃 𝑥 𝑦 𝑎 𝑃 𝑥 𝑦 𝑎 𝑄 𝑥 𝑦 (2.17)

CAPÍTULO 2.

M

ODELOS PRIMITIVOS 36 Além disso, podemos supor que um dos 𝑎

𝑖𝑠 sejam não nulos, digamos 𝑎 Ȃ , e

podemos garantir que 𝑏 seja diferente de zero, pois, em caso contrário, teríamos que os polinômios 𝑃 𝑥 𝑦 e 𝑄 𝑥 𝑦 não seriam primos entre si. Observe que se 𝑎 𝑏 Ȃ 𝑎 𝑏 , então, do sistema acima, multiplicando a equação (2.17) por 𝑏 e a equação (2.18) por Ȃ𝑎 , teríamos

𝑏 𝑃 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑃 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑄 𝑥 𝑦 (2.19)

Ȃ𝑎 𝑄 𝑥 𝑦 Ȃ𝑎 𝑏 𝑃 𝑥 𝑦 Ȃ 𝑎 𝑏 𝑄 𝑥 𝑦 (2.20)

Somando as equações (2.19) e (2.20) obtemos

𝑏 𝑃 𝑥 𝑦 Ȃ 𝑎 𝑄 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 Ȃ 𝑎 𝑏 𝑃 𝑥 𝑦

o que é um absurdo, pois 𝑃 𝑥 𝑦 e 𝑄 𝑥 𝑦 são primos entre si. Portanto, devemos ter 𝑎 𝑏 Ȃ 𝑎 𝑏 Ȃ e o elemento 𝑔

(

𝑎 𝑎 𝑏 𝑏

)

, estabelece a relação de equivalência linear entre as folheações Ă e Ă .

Reciprocamente, nesse mesmo sistema de coordenadas afins 𝑥 𝑦 Ȃ Ă , com a reta 𝐿 𝐿Ȃ fixada e, supondo que 𝑔

(

𝛼 𝛽 𝛾 𝛿

)

Ȃ 𝐺𝐿 Ă é a matriz que estabelece a relação de equivalência linear entre Ă e Ă , temos que o feixe linear polar de Ă com respeito a essa reta pode ser escrito como

𝒫 Ă 𝐿 𝜆𝑃 𝑥 𝑦 𝜇𝑄 𝑥 𝑦 𝜆 𝜇 Ȃ Ă

𝜆 𝛼𝑃 𝑥 𝑦 𝛽𝑄 𝑥 𝑦 𝜇 𝛾𝑃 𝑥 𝑦 𝛿𝑄 𝑥 𝑦 𝜆 𝜇 Ȃ Ă

𝜆𝛼 𝜇𝛾 𝑃 𝑥 𝑦 𝜆𝛽 𝜇𝛿 𝑄 𝑥 𝑦 𝜆 𝜇 Ȃ Ă 𝒫 Ă 𝐿

C

OROLÁRIO 2.1.13. Se ˜Ă e ˜Ă são modelos primitivos para uma mesma folheação Ă então ˜

Ă e ˜Ă são linearmente equivalentes.

Demonstração. O resultado segue do fato de ˜Ă e ˜Ă possuírem o mesmo feixe linear polar.

CAPÍTULO 2.

M

ODELOS PRIMITIVOS 37 Além disso, observe que duas folheações não primitivas e linearmente equivalentes possuem a mesma classe de modelos primitivos. Um estudo mais detalhado a respeito dessa classe de equivalência será feito no próximo capítulo.

Belgede 19. yüzyıldan günümüze Mardin’de tasavvuf kültürü (sayfa 102-108)