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A formulação do MEC para a análise de placas, utilizando-se a teoria clássica de Kirchhoff, mostrou-se ser eficiente para a solução elástica linear de placas, sob diversas condições de contorno e carregamento.

O emprego da técnica de sub-elementos, aumentou significamente a precisão do cálculo, possibilitando a obtenção de bons resultados, mesmo considerando-se uma discretização pobre do contorno.

Para a escolha da posição dos pontos de colocação, foram considerados três esquemas: um que considera um ponto no contorno e outro fora, outro onde se considera dois pontos de colocação fora do domínio e, ainda, um terceiro, onde adota-se os dois pontos no contorno. Obteve-se bons resultados, para o primeiro e o segundo esquemas, porém, observou-se que o sistema de equações obtido com o terceiro era singular. Tal singularidade poderia ser removida, ao considerar um ponto de colocação fora do contorno.

A viabilidade da utilização do Método dos Elementos de Contorno para a análise de placas foi comprovada pela precisão dos resultados obtidos. O método possibilita modelar placas com geometria qualquer, inclusive com descontinuidades de vinculação no contorno, discretizando-se apenas o contorno, o que representa uma vantagem em relação a outros métodos numéricos, onde há a necessidade também da discretização do domínio. Deve-se ressaltar, que a área onde está distribuído o carregamento, pode ter forma qualquer e é independente da discretização do contorno.

A inclusão de campos de momentos iniciais na formulação obtida considerando-se carregamentos transversais, possibilita a análise de placas sujeitas a efeitos de temperatura e

retração, bem como a análise não-linear. Na análise não-linear utilizou-se um algoritmo incremental-iterativo, baseado no método das tensões iniciais e no Método de Newton- Raphson Modificado, onde as matrizes envolvidas não são atualizadas a cada iteração. Entretanto, a necessidade de um maior número de iterações para se alcançar a convergência do cálculo, não implica em maiores prejuízos no tempo de processamento, uma vez que as operações matriciais realizadas a cada iteração são bastante simples.

O cálculo dos esforços ao longo da espessura da placa foi feito considerando-se um modelo estratificado, onde a placa é dividida em camadas nas quais verificam-se os modelos constitutivos adotados para as armaduras e o concreto. O tensor de momentos internos é obtido, integrando-se numericamente as tensões na placa de concreto, de tal forma que a normais resultantes nas direções x1, x2 e x1x2 sejam nulas. Esse modelo mostrou-se ser

eficiente e conveniente, pois permite a introdução de critérios diferentes em cada camada. Utilizaram-se dois tipos de modelos constitutivos para o concreto: um elasto-plástico e um de dano. Ambos os modelos, apesar de serem simples, mostraram-se ser estáveis, pois eram capazes de encontrar a carga limite e convergiam para a solução exata com o refinamento da malha ou o aumento do número de pontos de Gauss considerado na integração numérica das tensões. Constatou-se que os resultados obtidos para 8 ponto de Gauss eram bastante razoáveis.

Esse trabalho é a base para uma análise mais refinada de placas de concreto armado. Assim, considerando-se modelos constitutivos mais complexos, pode-se obter modelos que representem melhor o comportamento do concreto e utilizando-se o Método de Newton- Raphson padrão, onde as matrizes envolvidas são atualizadas a cada iteração, pode-se aumentar a velocidade de convergência. Além disso, transformando-se as integrais de domínio sobre as células, em integrais sobre o contorno das mesmas, pode-se implementar a técnica de sub-elementos na integração numérica das células, aumentando, assim, a precisão do cálculo.

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