Russell’ın projesi

Şimdiye kadar incelenen konular sonucunda, Russell’ın, Frege’nin görüşlerine tamamen karşı olduğu ve hatta matematiğin temelleri konusunda karşı cephelerde bulunduğu düşünülebilir. Fakat durum böyle değildir. Russell, tıpkı Frege gibi, aritmetiğin sağlam temellere ihtiyaç duyduğunu düşünüyordu. Ayrıca Frege’nin aritmetiğinin tamamen mantıktan türetilebileceğini gösterme projesini de sürdürecekti. Yalnız bu defa ana güdüleyici, Kant’ın sayıların neliği üzerine görüşlerini çürütmek için değil, kendi bulduğu Russell paradoksu türünden çelişkileri matematiğin dışına atmak ve onu çelişkisiz, yani tutarlı bir bilim olarak temellendirebilmekti. Russell’ın, Alfred North Whitehead ile birlikte kaleme aldığı Principia Mathematica bu tür kaygılarla ortaya çıkmıştır.42

Çalışmamız açısından bu yapıtın kısaca değineceğimiz iki önemi bulunmaktadır. Birincisi bu yapıtta sunulan ve tipler teorisidir. Tipler teorisi, Cantor’un kümeler teorisi (diğer deyişle naif kümeler teorisi) içinde Russell paradoksu türünden çelişkilerin oluşturulmasını önlemek amacıyla geliştirilen bir sistemdir. Bu sistemde kümeler ve nesneler belirli tipler biçiminde bulunmaktadır. Yalnız Russell bu tipler arasında bir tür hiyerarşi kurmuştur. Hiyerarşinin en altında kümeler değil, nesneler bulunmaktadır. Onun da üzerinde ise birinci dereceden kümeler bulunur ve bu şekilde devam eder. Her nesne veya küme, belli bir tiptedir ve bir küme, yalnızca daha alt tipteki kümeleri veya nesneleri içerebilir. Ayrıca hiçbir küme kendi kendisini içeremez. Bir kümeyi içerecek tek şey daha üst tipteki bir kümedir. Cantor’un kümeler teorisinde çelişki çıkaran Russell kümesi gibi kümeler de bu sistemde düşünülemez. Çünkü bu küme sistemde belirtilen hiçbir tipe ait değildir. Böylece Russell, kümeler ve nesneler arasında yapay bir hiyerarşi kurarak, Russell paradoksu gibi çelişkilerin kümeler teorisinin dışına atılmasını sağlamıştır.43

Principia Mathematica’nın konumuz açısından ikinci önemi, matematik felsefesinde mantıkçı okulun en önemli yapıtlarından biri olmasıdır. Bu noktada, daha önceki bölümlerde küçük bir giriş yaptığımız mantıkçı yaklaşımı daha fazla tanımamız

42

Hofstadter, 2001: 63-65.

43

Alasdair Urquhart (2003), “The Theory of Types”, The Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge University Press, Cambridge, ss. 293-297; Hofstadter, 2001: 65; Roy T Cook (2009), “Type Theory”, ss. 298-299.

gerekiyor. Aritmetiğin (ve hatta bütün matematiğin) mantıktan türetilebileceği veya başka bir deyişle matematiğin mantığa indirgenebileceği iddiası aslında nedir? Bu iddia, yani mantıkçılık, temelde şu iki iddiayı savunmaktır:

1. Bütün (veya bazı) matematiksel kavramlar, belli kurallara göre bir araya getirilmiş saf mantıksal kavramlar veya kavram serileri olarak gösterilebilir. Diğer bir değişle, matematiğin söz varlığı, mantığın söz varlığının sadece bir kısmından başka bir şey değildir.

2. Bütün (veya bazı) matematiksel teoremler, mantığın (tümdengelimli) çıkarım kuralları kullanılarak, saf mantıksal aksiyomlardan türetilebilir. Başka bir ifadeyle, matematiksel teoremler, mantıksal teoremlerin bir alt kümesidir.44 Russell, bu konuda daha da iddialıdır. Russell’a göre mantıkçılık yaklaşımının temel gayesi, “bütün arı matematiğin tamamen mantıksal öncüllerden çıkarılabileceğini

ve yalnızca mantıksal terimlerle tanımlanabilen kavramları kullandığını”

göstermektir.45 Bu önermenin ne kadar iddialı olduğunu görmek için şu soruya odaklanılabilir: Matematiksel akıl yürütme nedir? Yani bir matematiksel iddia nasıl bulunur ve nasıl kanıtlanır? Çalışmanın ilk bölümlerinde, bir örnek olarak matematiksel tümevarım ilkesini kullanıp bir hipotezin nasıl doğrulanabileceği incelenmişti. Yalnız her hipotezin bu ilke kullanılarak kanıtlanamayacağı açıktır. Ayrıca çağlar boyunca çok çeşitli matematiksel kanıtlama yöntemleri ortaya çıkmıştır ve bu durum aslında matematikçilerin çok çeşitli akıl yürütme biçimlerini kullandığını gösterir. Yalnız genel olarak mantıkçı okulun ve Russell’ın iddiaları doğruysa, bu durum, matematiksel akıl yürütmenin tamamen mantıksal akıl yürütmeye indirgenebileceği anlamına da gelir. Daha açık bir ifadeyle bütün matematiksel çalışmalar, temelde (sembolik) mantığın bir alt dalıdır. İşte Russell’ın projesi bunu göstermektir ve Principia Mathematica bu projenin somutlaşmış halidir.

44 _{Harold T. Hodes (1999), “Logicism”, The Cambridge Dictionary of Philosophy, Cambridge University}

Press, Second Edition, New York, s.517.

45

Godwyn ve Irwine, 2003: 171. Russell’ın bu görüşünün oluşmasında, Peano’nun da tıpkı Frege kadar etkili olduğunu belirtmeliyiz. Russell, Dedekind aksiyomlarını mantıksal olarak ifade etmiş olan Peano’nun bu çalışmalarından, 1900 yılında Paris’te yapılan kongrede haberdar olmuştur. Aslında Peano, matematiğe tamamen mantıksal bir temel bulma gayesinde olmamıştır. Fakat Russell’ı harekete geçiren olaylardan biri Peano’nun çalışmalarını haber almasıdır: Thomas Baldwin (2001) “Bertrand Russell”,

Blackwell Companions to Philosophy: A Companion to Analytic Philosophy, ed. A. P. Martinich ve David Sosas, Blackwell Publishers Ltd, Oxford, s.24; Tucker McElroy (2005), “Peano, Giuseppe”, s.206.

Bütün matematiksel çalışmaların temelde mantığın bir alt dalı olduğu fikri, matematiksel kanıtlama konusunu da mantıksal kanıtlama konusuna dönüştürür. Fakat bununla kalmaz. Matematiksel teorilere ilişkin tutarlılık ve eksiksizlik sorunları da artık temelde mantığın sorunları haline gelir. Bu durumda örneğin aritmetiğin doğasında çelişkiler olduğunu iddia etmek, mantığın doğasında çelişkiler olduğunu iddia etmek anlamına gelir. Peki, matematiğin tamamen mantığa indirgenebileceğini göstermek, matematiğin tamamen çelişkisiz, yani tutarlı olduğunu mutlak olarak kanıtlar mı? Cevap olumsuzdur. Bu yaklaşım tutarlılık soruna nihai bir çözüm sağlamaz. Çünkü aslında sorun daha da genel bir biçimde ortaya çıkar: Bütün matematiği kapsadığı düşünülen mantıksal sistemin (Principia Mathematica Sistemi) kendi tutarlılığı.46

Russell’ın mantıkçı projesi ne kadar büyük ve iddialı olsa da geniş kabul görmez. Özellikle 1920’li yıllardan itibaren sönükleşir ve takipçileri azalır. Bu durumun farklı nedenleri vardır. Principia Mathematica’da ortaya konulan karmaşık sistemin, matematiksel kanıtlama konusunda matematikçilere yeterince kullanışlı gelmemesi bu nedenlerden biridir. Yalnız bundan daha da önemlisi, dönemin en saygın ve etkili birkaç matematikçisinden biri olan ve matematik felsefesinde formalist akımın en önemli temsilcisi olan David Hilbert’in ortaya koymuş olduğu yeni bir projenin ortaya çıkmasıdır. Özellikle Hilbert’in bireysel çabaları sonucunda matematikçilerin ilgisi yoğun bir biçimde bu projeye kaymıştır.