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A representação canônica intervalar de uma função real é a função intervalar que melhor aproxima esta função. Por este motivo, aqui será considerado que uma noção generalizada de métrica capta satisfatoriamente as idéias de métrica intervalar e represen- tação quando esta noção incluir a função definida por D([a,b],[c,d]) = bd([a,b],[c,d]), se [a, b] 6= [c, d] e D([a, b], [c, d]) = [0, 0], se [a, b] = [c, d] (aqui d é a distância euclidiana). Esta função difere da representação canônica da métrica euclidiana apenas no valor de D(X,X) quando X e não-degenerado.

Capítulo 5. Métricas Intervalares

A seguir, será construído uma VID relativa a qual esta função D é uma i-métrica intervalar.

Na proposição a seguir, é dada a caracterização da relação essencialmente abaixo estrita para ≤km.

Proposição 5.5. Seja ≪∗ _{a relação essencialmente abaixo estrita para ≤}

km em IR+.

Assim:

1. Se a,b > 0, então [0,a] ≪∗_{[0, b] ⇔ a < b;}

2. Se a,b,c,d > 0, então [a,b] ≪∗_{[c, d] ⇔ a < c e b < d.}

Demonstração. 1. Primeiro, suponha [0,a] ≪∗_{[0, b] e considere o conjunto dirigido (ca-}

deia) D = {[0,b −b

n]; n ∈ N

∗_{}. Note que sup D = [0, b], logo [0, b] ≤}

km sup D, o que

implica que existe [e, f ] ∈ D tal que [0,a] ≤km [e, f ]. Como [e, f ] ∈ D, então [e, f ] =

[0, b − b

n0] para algum n0∈ N

∗_{, então a ≤ b −} b

n0 ⇒ a < b.

Agora, suponha a < b. Dado o conjunto D ⊆ IR+_{com supremo [e, f ], tal que [0,b] ≤} km

[e, f ], defina A = {a ∈ R; ∃b ∈ R; [a, b] ∈ D} e B = {b ∈ R; ∃a ∈ R; [a, b] ∈ D}. Assim, estes conjuntos devem ser limitados, já que D tem supremo e, além disso, e = supA e f = supB. Como b ≤ f , então a < f , assim, existe s ∈ B tal que a ≤ s. Como s ∈ B, então existe i ∈ A tal que [i,s] ∈ D, logo [0,a] ≤km[i, s] o que implica em [0, a] ≪∗[0, b].

2. Suponha [a,b] ≪∗_{[c, d]. Considere o conjunto dirigido (cadeia) D = {[c −}c

n, d − d

n]; n ∈ N1}. Note que sup D = [c, d], logo [c, d] ≤km sup D e existe [e, f ] ∈ D tal que [a, b] ≤km[e, f ]. Como [e, f ] ∈ D, então [e, f ] = [c −_nc

0, d − d n0], para algum n0 ∈ N ∗_. Assim, temos a ≤ c − c n0 e b ≤ d − d n0, portanto a < c e b < d.

Por outro lado, suponha a < c e b < d. Dado um conjunto dirigido D ⊆ IR+ _com

supremo [e, f ], tal que [c,d] ≤km[e, f ] defina A = {a ∈ R; ∃b ∈ R; [a, b] ∈ D} e B = {b ∈

R; ∃a ∈ R; [a,b] ∈ D}. Estes conjuntos devem ser limitados, já que D possui supremo. Note que e = supA e f = supB. Como c ≤ e e d ≤ f ,então a < e e b < f , portanto existem i ∈ A e s ∈ B tais que a ≤ i e b ≤ s. Como i ∈ A, existe s0∈ B tal que [i, s0] ∈ D e desde

que s ∈ B deve existir i0∈ A tal que [i0, s] ∈ D. Como D é dirigido, existe [g, h] ∈ D tal

que [i0, s] ≤km[g, h] e [i, s0] ≤km[g, h], logo [a, b] ≤km[g, h]. Portanto, [a, b] ≪∗[c, d].

Observação 5.1. Note que se [a,b] 6= [0,0], então [0,0] ≪∗_{[a, b].}

Teorema 5.2. A estrutura hIR+_{, ≤}

km, ≪∗, [0, 0]i é um reticulado com menor elemento

Capítulo 5. Métricas Intervalares

Demonstração. Suponha [a,b],[c,d] ∈ IR+_{− [0, 0]. Assim, b > 0 e d > 0, portanto}

min{b,d} > 0. Como [a,b] ∧ [c,d] = [min{a,c},min{b,d}], tem-se [a,b] ∧ [c,d] 6= [0,0].

Com isso, pode-se concluir que a estrutura ωKM= hIR+, ≤km, ≪∗, [0, 0]i é uma VID,

a qual será chamada de VID de Kulisch-Miranker.

Teorema 5.3. Dados dois intervalos X,Y ∈ IR, considere o conjunto DXY = {d(x, y) :

x ∈ X and y ∈ Y } = [minDXY, max DXY] de todas as distâncias entre elementos de X e de

Y (aqui, d é a distância euclidiana) . A função dKM: IR × IR −→ IR+definida por:

dKM(X,Y ) =

(

[0, 0] , se X = Y DXY , se X 6= Y

(5.3) é uma i-métrica intervalar ωKM-valorada.

Demonstração. Se X = Y , então dKM(X,Y ) = [0, 0]. Suponha X 6= Y . Assim, existem

x ∈ X e y ∈ Y com x 6= y, portanto d(x,y) > 0 e, consequentemente, maxDXY > 0, o

que significa que dKM(X,Y ) 6= [0, 0]. Logo, a primeira condição de i-métrica intervalar é

válida.

A segunda condição é trivial, já que d é uma métrica usual.

Agora, suponha que dKM(X,Y ) ≪∗Σ = [ε, ε], com [0, 0] ≪∗ Σ. Se X = Y , o resul-

tado segue imediatamente. Sendo assim, considere X 6= Y . Dessa forma, maxDXY < ε.

Primeiramente, considere Y < Y . Neste caso, tome ∆ = [0,Y −Y

2 ]. Note que [0, 0] ≪∗ ∆. Se z ∈ R, então d(z,Y ) ≥ Y −Y

2 ou d(z,Y ) ≥ Y −Y

2 , assim para cada intervalo Z, tem-se maxDY Z ≥ Y −Y₂ . Dessa forma, se Z 6= Y , então dKM(Y, Z) 6≪∗ ∆. Portanto,

dKM(Y, Z) ≪∗∆ ⇒ Y = Z ⇒ dKM(X, Z) = dKM(X,Y ) ≪∗Σ.

Agora, considere o caso Y = [y,y]. Defina ∆ = [0,ε−maxDXY]. Suponha que dKM(Y, Z)

≪∗∆. Se Y = Z o resultado segue imediatamente. Se Y 6= Z, então min DY Z = 0 ⇒ y ∈

Z ⇒ minDXZ ≤ min DXY e max DY Z < ε − max DXY ⇒ max DXY+ max DY Z < ε. De-

fina D = {d(x,y) + d(y,z); x ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z}. Note que D ⊆ DXY+ DY Z⇒ max D ≤

max(DXY + DY Z) = max DXY + max DY Z < ε. Devido a desigualdade triangular de d,

segue que max DXZ≤ max D < ε. Portanto, dKM(X, Z) ≪∗Σ.

A função dKM apresentada no teorema acima será chamada métrica KM. Esta função

não é uma métrica generalizada quando se considera a ordem de Kulisch-Miranker e a adição usual de intervalos definida por Moore. De fato, basta tomar os seguintes inter- valos X = [0,1], Y = [1,2] e Z = [2,3]. Assim, dKM(X,Y ) = [0, 2], dKM(X, Z) = [1, 3]

Capítulo 5. Métricas Intervalares

e dKM(Y, Z) = [0, 2], logo dKM(X, Z) 6≤KM dKM(X,Y ) + dKM(Y, Z). Isso significa que a

noção de métrica generalizada não capta satisfatoriamente as idéias de métrica intervalar e representação. Este fato justifica a proposta do conceito de i-métrica, a qual tem como caso particular as métricas intervalares.

5.3.1 Sobre a Aplicabilidade da Métrica KM

Aqui, serão feitas algumas observações sobre a aplicabilidade da métrica KM.

• Classificação: Esta i-métrica não é adequada para ser aplicada em algoritmos de classificação (ou clusterização) pois, nesses algoritmos, o ponto principal é determi- nar se X está mais próximo de Y ou de Z, ou seja, procura-se descobrir quem é me- nor d(X,Y ) ou d(X,Z), segundo a ordem ≤KM. Como esta ordem é apenas parcial,

nem sempre os valores de dKM(X,Y ) e dKM(X, Z) são comparáveis. Como exem-

plo, considere X = [0,5], Y = [6,7] e Z = [4,8]. Dessa forma, dKM(X,Y ) = [1, 7] e

dKM(X, Z) = [0, 8], os quais não são comparáveis.

• Quantização de Sinais: Uma possível aplicação para dKM seria no processo de

quantização de sinais intervalares (veja [Trindade 2009] e [Santana et al 2011]). Um sinal intervalar discreto é representado por uma função S : Z −→ IR, onde para cada n ∈ Z, S(n) é chamado pulso do sinal. Em geral, esta representção intervalar de um sinal provém da representação usual, a qual é dada por uma função do tipo s: Z −→ R. Devido às incertezas que a obtenção dos pulsos do sinal apresentam (problemas de precisão dos instrumentos, representação em máquina, etc.), cada pulso s(n) é substituído por um pulso intervalar S(n) de modo que haja garantia de que o valor correto do pulso esteja no intervalo S(n). Em [Santana et al 2011] é feito um processo de passagem de um sinal usual para um sinal intervalar, onde é usada a chamada função aproximação, a qual leva um número real no menor inter- valo representável no sistema de ponto flutuante escolhido que o contém. Como o sinal s pode assumir qualquer valor em R, com o objetivo de reduzir o custo com- putacional do processamento do sinal, são escolhidos alguns valores entre min s e max s, digamos valores em Q = {q1, ..., ql}, 1 e cada pulso s(n) é substituído pelo

valor de Q que lhe for mais próximo. Neste caso, ao fazer a passagem de s para S, deve-se calcular dKM(S(n), [qi, qi]) para cada i ∈ {1, ..., l} e ver qual desses valo-

res é o menor (segundo dKM). Para que isso seja possível esses valores devem ser

comparáveis segundo ≤KM, o que é confirmado no teorema abaixo.

Capítulo 5. Métricas Intervalares

Teorema 5.4. Dados X ∈ IR, a,b ∈ R, tem-se dKM(X, [a, a]) ≤kmdKM(X, [b, b]) ou

dKM(X, [b, b]) ≤kmdKM(X, [a, a]).

Demonstração. Seja X = [x,x. Suponha que a ∈ X e b /∈ X e considere dKM(X, [a, a]) =

[0, ε] e dKM(X, [b, b]) = [t, z]. Note que ε ≤ |x − x|, t > 0 e z = t + |x − x|, logo

dKM(X, [a, a]) ≤kmdKM(X, [b, b]).

Agora, suponha a /∈ X e b /∈ X. Dessa forma, dKM(X, [a, a]) = [t,t + |x − x|] e

dKM(X, [b, b]) = [z, z+|x−x|], os quais são trivialmente comparáveis, segundo ≤km.

Por fim, suponha a,b ∈ X. Dessa forma, dKM(X, [a, a]) = [0,t] e dKM(X, [a, a]) =

[0, z], os quais também são trivialmente comparáveis.

Com isso, conclui-se que um processo de quantização para sinais intervalares ba- seado na métrica KM é possível. Entretanto, tem-se dKM(X, [a, a]) = [min{|x −

a|,|x−a|},max{|x−a|,|x−a|}] = [min{|x−a|,|x−a|},dM(x, [a, a])] o que implica

em dKM(X, [a, a]) ≤kmdKM(X, [b, b]) se, e somente se, dM(X, [a, a]) ≤ dM(X, [a, a]),

ou seja, os resultados de um processo de quantização via dKMseriam os mesmos de

um processo baseado na métrica de Moore dM.

• Busca Simples: Contudo, dKM pode ser usada em buscas de maneira a dar mais

controle sobre os resultados. Por exemplo, pode-se desejar fazer uma busca dentro de um banco de dados intervalares que retorne apenas intervalos X que representam o número real a (ou seja, tais que a ∈ X) cujos os extremos estejam a uma distância no máximo igual a r > 0 de a. Dessa forma, se D é este banco de dados, então o resultado desta busca é IR ∩ B([a,a],[0,r]), isto é, uma busca simples por abran- gência dentro deste banco de dados daria o resultado, o que não ocorre se for usada a métrica de Moore.