4. BULGULAR VE YORUMLAR
4.3. Üçüncü Alt Probleme Ait Bulgular
4.3.2. Rubrik kullanma eğitimi alan öğretmenlerle yapılan görüşme
Segue do teorema 5.1 que nenhuma i-métrica intervalar ωkm-valorada representa a
métrica euclidiana dE da reta. Em [Trintade et al 2010] foi introduzida a chamada mé-
trica essencialmente intervalar, a qual, nada mais é, do que a representação canônica intervalar de dE. Naquele artigo, foram abordadas e demonstradas várias propriedades
operacionais desta métrica, sem entrar em questões topológicas.
Em [Matthews 1985] foi introduzido o conceito de métrica de domínios o qual foi estudado e renomeado para métrica deslocada em [Hitzler e Seda 2000]. Tal conceito é apresentado abaixo.
Definição 5.8. Uma métrica deslocada em um conjunto não-vazio M é uma função d : M × M −→ R que satisfaz:
1. d(x,y) ≥ 0; 2. d(x,y) = d(y,x);
3. Se d(x,y) = 0, então x = y; 4. d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).
Note que se d é uma métrica deslocada, então pode ocorrer d(x,x) > 0. A construção de uma topologia a partir de uma métrica também funciona para métricas deslocadas. A única diferença é que pode ocorrer de o centro de uma bola aberta não pertencer a própria bola. Na verdade, pode ocorrer de uma bola aberta ser vazia. A função d : M × M −→ R dada por d(x,y) = 1 é uma métrica deslocada e B(0,1/2) = /0.
Definição 5.9 (i-Métrica Deslocada). Seja M um conjunto não-vazio e
V
= hA, ≤, R, ⊥iuma VID. Uma função d : M × M −→ A é chamada i-métrica deslocada
V
-valoradaCapítulo 5. Métricas Intervalares
1. Se d(a,b) ∈ ⊥, então a = b;
2. d(a,b) ≤ d(b,a) e d(b,a) ≤ d(a,b), para quaisquer a,b ∈ M;
3. Se d(a,b)Rε, para algum ε ∈ A com ⊥Rε, então existe δ ∈ A com ⊥Rδ tal que d(b,c)Rδ ⇒ d(a,c)Rε.
Neste caso, a tripla (M,d,hA,≤,R,⊥i) é chamada espaço i-métrico deslocado.
A representação canônica de dE (ou métrica essencialmente intervalar), a qual será
denotada por bd, é uma i-métrica deslocada ωKM-valorada. Seja τ a topologia construída a
partir de bddo mesmo modo como é construída uma topologia a partir de uma i-métrica. Serão usadas as notações BKM(X, ε) e Bd(X, ε) para indicar as bolas abertas relati-
vas a dKM e bd, repectivamente. Note que se X é um intervalo não-degenerado, então
Bd
X,[0,x−x2 ]= /0 e se X = [x, x], então BKM(X, [a, b]) = Bd(X, [a, b]).
Teorema 5.15. ℑKM= τ.
Demonstração. Seja O ∈ ℑKM. Tome X ∈ O. Se X é não-degenerado, tem-se Bd
X,[0,x−x2 ] = /0 ⊆ O, ou seja, existe uma bola aberta de centro X contida em O. Seja X = [x, x]. Como O ∈ ℑKM, existe [0,0] ≪∗ε tal que BKM(X, ε) = Bd(X, ε) ⊆ O. Assim, O ∈ τ, portanto,
ℑKM⊆ τ.
Agora, tome O ∈ τ. Seja X ∈ O. Se X é não-degenerado, então BKM
X,[0,x−x2 ]= {X} ⊆ O e se X = [x, x], então existe [0, 0] ≪∗ε tal que Bd(X, ε) ⊆ O, logo BKM(X, ε) =
Bd(X, ε) ⊆ O. Assim, O ∈ ℑKM⇒ τ ⊆ ℑKM ⇒ τ = ℑKM.
A i-métrica deslocada bd é a melhor representação intervalar de dE e, como τ = ℑKM,
então todos os resultados sobre continuidade de funções relativos a dKM também valem
para bd. Com isso, fica mostrado que a noção de i-métrica deslocada comporta a melhor representação intervalar da métrica euclidiana (ou métrica essencialmente intervalar).
Capítulo 6
Considerações Finais
Neste trabalho foi feita uma pesquisa sobre várias generalizações do conceito de dis- tâncias já existentes e foi proposta a noção de i-distância, a qual mostrou-se adequada para representar intervalarmente a distância euclidiana. Também foi visto que várias noções generalizadas de distãncias são casos particulares de i-distâncias. Como as i-distâncias geram topologias de maneira muito natural, vários conceitos topológicos usuais podem ser abordados partindo-se de i-distâncias. Dentre estes, neste trabalho foram abordados os conceitos de continuidade e de separabilidade (propriedade de Hausdorff e regularidade). Foi mostrado também que topologias que não provém de uma métrica podem ser geradas por i-distâncias.
A seguir, são apontados alguns possíveis trabalhos futuros:
• Uma das principais questões sobre a topologia ℑKM não respondida é se esta topo-
logia é metrizável. Como já foi mencionado no texto (seção 5.4) várias evidências indicam que esta topologia não é metrizável. Para abordar este problema, além do já citado teorema de Nagata-Smirnov, é possível relacioná-lo com a teoria dos es- paços uniformes, como pode ser visto em [Nagata 1986]. Esta última abordagem pode trazer progressos quanto a este problema.
• Na seção 4.5.2, foi visto que o conceito de espaço métrico difuso introduzido em [Kaleva e Seikkala 1984] quando as funções L e R são, respectivamente, min e max, é um caso particular de espaço i-métrico e, a partir disso, usando a teoria topológica das i-distâncias, provou-se um teorema do ponto fixo. Uma investigação válida é averiguar se através da adequação de uma VID, um espaço métrico difuso com outras escolhas para L e R também são espaços i-métricos, ou encontrar condições sobre L e R para que isso ocorra. Fazendo isso, pode-se tentar obter um teorema de ponto fixo nestes casos, além de outros resultados que decorrem de investigações topológicas.
Capítulo 6. Considerações Finais
disso, uma pergunta que surge naturalmente é: que tipo de topologias são i-quasi, i-pseudo e, principalmente, i-metrizáveis? Estas respostas não devem ser simples e a tentativa de respondê-las pode gerar resultados interessantes, até mesmo para a área de topologia.
• Várias questões teóricas surgem a partir das noções de i-distâncias. Por exemplo, como obter novas i-distâncias a partir de i-distâncias conhecidas, como por exemplo no espaço produto, co-produto, espaço de funções, espaço potência, etc. Uma outra questão interessante seria averiguar em um conjunto no qual estão definidas gene- ralizações de i-distâncias que geram topologias, além de uma i-distância, comparar os conceitos topológicos, como foi feito com as funções contínuas, por exemplo, conjuntos compactos, sequências convergentes, etc.. Outra questão interessante é analisar o seguinte: seja di: M × M −→ A uma i-métrica (ou i-quasi-métrica, ou
i-pseudo-métrica, etc). Que tipo função f : A −→ R é tal que f ◦ di é uma métrica
(ou quasi-métrica, ou pseudo-métrica, etc) e também o contrário, dada uma distân- cia usual d : M × M −→ R, que tipo de função f : R −→ A é tal que f ◦ d é uma i-distância.
• Comparar as noções propostas aqui com as idéias apresentadas em [Lawvere 1973] e realizar construções categóricas a partir de i-espaços métricos (ou quasi-métricos, etc.), por exemplo, encontrar um tipo de função entre espaços i-métricos que sirva como morfismos para uma categoria na qual os objetos são exatamente estes es- paços e investigar propriedades desta categoria como, por exemplo, se a mesma é uma categoria cartesiana fechada. Além disso, pode-se tentar construir funtores e bifuntores nesta categoria e averguar se a mesma (equipada com esses funtores) é monoidal fechada.
• Em [Khamsi et al 1993] foi introduzido o conceito de métrica generalizada. Tal conceito surgiu da necessidade de encontrar um teorema de ponto fixo no conjunto dos programas lógicos disjuntivos usando-se uma função distância que não era uma métrica no sentido usual, embora tivesse características parecidas. A demonstração deste teorema de ponto fixo não usa conceitos topológicos. Caso a função distân- cia usada no artigo seja uma i-métrica relativa a alguma VID, pode-se averiguar que resultados sobre programas lógicos disjuntivos podem ser obtidos via noções topológicas.
• No campo de aplicações, sabendo que as distâncias são usadas em problemas de busca de similaridades (ver [Zezula et al 2006]) em bancos de dados, as i-distâncias podem ser usadas para garantir maior controle sobre os resultados das buscas. Como exemplo, considere a função µs (seção 4.7). Usando a métrica de Levensh-
Capítulo 6. Considerações Finais
tein (dL) pode-se realizar uma busca em um banco de dados que retorne todas as
cadeias que podem ser transformadas em uma cadeia fixada por meio de x opera- ções de edição, não havendo como devem ser tais operações. Usando µs, pode-se
especificar o número de remoções e inserções.
A função µStambém pode ser usada em algoritmos de classificação e agrupamento
e uma análise comparativa dos resultados obtidos com µs e com dL pode ser feita
por meio de implementações.
• Ainda sobre µs, assim como a distância de edição foi estendida para tratar de grafos
Referências Bibliográficas
[Abramsky e Vickers 1993] S. Abramsky and S. Vickers, Quantales, Observational Lo- gic and Process Semantics, Math. Struct. Comput. Sci., No. 3, pp 161 − 227, 1993.
[Acióly 1991] B. M. Acióly, “Fundamentação Computacional da Matemática Intervalar", Tese de doutorado, Instituto de Informática, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 1991.
[Acióly e Bedregal 1997] B. M. Acióly, B. R. C. Bedregal, A Quasi-metric Topology Compatible with Inclusion-monotonicity Property on Interval Space, Reliable- Computing, 3(3), 1997.
[Blyth 2005] T.S. Blyth, “Lattices and Ordered Algebraic Structures", Springer-Verlag London Limited, London, 2005.
[Bunke 1997] H. Bunke, On a Relation Between Graph Edit Distance and Maximum Common Subgraph, Pattern Recognition Letters, Vol.18, No. 8, pp 689-694, 1997. [Ciric 2010] L. Ciric, Solving the Banach Fixed Point Principle for Nonlinear Contrac- tions in Probabilistic Metric Spaces, Nonlinear Analysis: Theory, Methods e Ap- plications, 72, pp 2009 − 2018, 2010.
[Dasgupta et al, 2006] S. Dasgupta, C.H. Papadimitriou, U.V. Vazirani, “Algorithms", McGraw-Hill Education, 2006.
[Dugundji 1966] J. Dugundji, “Topology", Allyn and Bacon Series in Advanced Mathe- matics, Allyn and Bacon, 9th edition, 1966.
[Fitting 1993] M. Fitting, Metric methods: three examples, Technical Report, City Uni- versity of New York, 1993.
[Flagg and Kopperman 1997] B. Flagg, R. Kopperman, Continuity spaces: Reconciling Domains and Metric Spaces, Theoretical Computer Science, No. 177, pp 111 − 138, 1997.
Referências Bibliográficas
[Fréchet 1906] M. R. Fréchet, “Sur quelques points du calcul fonctionnel", Rendiconti de Circolo Matematico di Palermo, no. 22, pp 1-74, 1906.
[Galatos et al 2007] N. Galatos, P. Jipsen, T. Kowalski, H. Ono, “Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics: An Algebraic Glimpse at Subs- tructural Logics", Elsevier, UK, 2007.
[George e Veeramani 1994] A. George, P.V. Veeramani, On Some Results in Fuzzy Metric Saces, Fuzzy Sets and Systems, vol. 64, 395 − 399, 1994.
[Gierz et al 2003] G. Gierz;, K. H. Hoffman, K. Keimel, J. D. Lawson, M. W. Mislove, D. S. Scott, “Continuous Lattices and Domains", Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
[Hausdorff 1914] F. Hausdorff, “Grundzüge der Mengenlehre", de Gruyter, Leypizig, 1914, reprinted by Chelsea, New York, 1965.
[Hayes 2003] B. Hayes, A Lucid Interval, American Scientist Vol. 91, No. 6, 484 − 488, 2003.
[Heitzig 2002] J. Heitzig, Many familiar categories can be interpreted as categories of generalized metric spaces, Applied Categorical Structures, No. 10, pp 505 − 520, 2002.
[Heitzig 2003] J. Heitzig, “Mappings Between Distance Sets or Spaces", Dissertation, Doktor der Naturwissenschaften, Universität Hannover, 2003.
[Hitzler e Seda 2000] P. Hitzler, A. K. Seda, Dislocated Topologies, Journal of Electrical Engineering, v. 51, No. 10/s, pp 3 − 7, 2000.
[Hung 1998] H. H. Hung, Quasi-Metrizability, Topology and its Applications, No 83, pp 39 − 43, 1998.
[Kaleva e Seikkala 1984] O. Kaleva, S.Seikkala, On Fuzzy Metric Spaces, Fuzzy sets and Systems, vol. 12, pp. 215 − 229, 1984.
[Khamsi et al 1993] M. Khamsi, V. Kreinovich, D. Misane, A New Method of Proving the Existence of Answer Sets for Disjunctive Logic Programs: a Metric Fixed- point Theorem for Multivalued Mappings, Vancouver: Proc. Workshop on logic programming with Incomplete Information, pp. 58 − 73, 1993.
Referências Bibliográficas
[Klir e Yuan 1995] G. Klir, B. Yuan, “Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applica- tions", Prentice Hall, New Jersey, 1995.
[Kopperman 1988] R. Kopperman, All Topologies Come From Generalized Metrics, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 2, pp 89-97, 1988.
[Kopperman 1993] R. Kopperman, Which Topologies are Quasimetrizable?, Topology and its Applications, No 52, pp 99 − 107, 1993.
[Kramosil e Michálek 1975] I. Kramosil, J. Michelek, Fuzzy Metric and Statistical Me- tric Spaces, Kybernetika, vol. 11,336 − 344, 1975.
[Kulisch e Miranker 1981] U. Kulisch, W. Miranker, “Computer Arithmetic in Theory and Practice", New York: Academic press, 1981.
[Kuratowski 1920] K. Kuratowski, Sur la notion de l’ensemble fini, Fundamenta Mathe- maticae, no. 1, 1920.
[Lawvere 1973] F. W. Lawvere. Metric spaces, Generalized Logic, and Closed Catego- ries, In Rend. del Sem. Mat. e Fis. di Milano, Vol. XLIII., 1973.
[Lee et al 1999] B. Lee, S. Lee, K. Park, The Completions of Fuzzy Metric Spaces and Fuzzy Normed Linear Spaces, Fuzzy Sets and Systems, 106, pp 469 − 473, 1999. [Levenshtein 1966] V. I. Levenshtein, Binary Codes Capable of Correcting Deletions,
Insertions and Reversals, Cybernetics and Control Theory, vol. 10, no. 8, 1966. [Lima 1977] E. L. Lima, “Espaços Métricos", 2th ed, Instituto de Matemática Pura e
Aplicada - IMPA. 1977.
[Lima 2004] E. L. Lima, “Curso de Análise", Vol 1, 11aed., Associação Instituto Nacio-
nal de Matemática Pura e Aplicada - IMPA, 2004.
[Matthews 1985] S.G. Matthews, “Metric Domains for Completenees", PHD Thesis, Dept. of Computer Sciences, University of Warwick, UK, 1985.
[Menger 1942] K. Menger, Statistical Metric, em “Proceedings of Nat. Acad. Sci.", vol 28,535 − 537, 1942.
[Moore 1959] R. E. Moore, “Automatic Error Analysis in Digital Computation". Techni- cal Report LMSD84821, Lockheed Missiles and Space Division Co., 1959.
Referências Bibliográficas
[Moore 1962] R. E. Moore, “Interval Arithmetic and Automatic Error Analysis in Di- gital Computing", PhD thesis, Department of Mathematics, Stanford University, Stanford, California, Nov 1962. Published as Applied Mathematics and Statistics Laboratories Technical Report No. 25, 1962
[Moore 1966] R. E. Moore, “Interval Analysis", Prentice Hall, New Jersey, 1966.
[Moore 1979] R. E. Moore, “Methods and Applications of Interval Analysis", Studies in Appliede Mathematics-SIAM, Philadelphia. 1979.
[Morgado 1962] J. Morgado, “Introdução à Teoria dos Reticulados", Editora da UFPE, Pernambuco, 1962.
[Munkres 1975] J. R. Munkres, “Topology", Second Edition, Prentice Hall, Inc. Upper Saddle River, New Jersey, 1975.
[Nagata 1986] J. Nagata, “Modern General Topology", North-Holland Mathematical Li- brary, 1986.
[Oliveira et al 1997] P. W. Oliveira, T. A. Diverio, D. M. Claudio, “Fundamentos de Ma- temática Intervalar", Porto Alegre: Instituto de Informática da UFRGS:SAGRA- Luzzatto,1997.
[Oppenheim e Shafer 1989] A.V. Oppenheim, R. W. Shafer. “Discrete Time Signal Pro- cessing", Prentice Hall, 1989.
[Paleo 2007] B. W. Paleo, An Approximate Gazeteer for GATE Based on Levenshtein Distance, em “Proceedings of the TwelfthESSLLI Student Session", Dublin, Ire- land, pp 197-207, 2007.
[Priess-Crampe e Ribenboim 2000] S. Priess-Crampe, P. Ribenboim, Ultrametric Spaces and Logic Programming, The Journal of Logic Programming, vol. 42, 59 − 70, 2000.
[Santana et al 2011] F. T. Santana, F. L. Santana, A. M. G. Guerreiro, A. D. Dória Neto, R. H. N. Santiago, A Framework for Interval Quantization and Application to In- terval Based Algorithms in Digital Signal Processing, Fundamenta Informaticae, vol. 112(4), 337 − 363, 2011.
[Santana e Santiago 2011] F. Santana, R. Santiago, Natural Topology via Fuzzy Metric, em “Proceedings of the IEEE International Conference on Fuzzy Systems 2011"’, Taipei, Taiwan, 584 − 589, 2011.
Referências Bibliográficas
[Santiago et al 2004] R. Santiago, B. Bedregal, B. Acióly, Interval Representations, TEMA: Tendências em Matemática Aplicada e Computacional, v. 5, (No. 2), pp 315-324, 2004.
[Santiago et al 2005] R. H. N. Santiago, B. R. C. Bedregal, B. M. Acióly, Comparing Continuity of Interval Function Based on Moore and Scott Topologies, Eletronic Journal on Mathematics of Computation, 2005.
[Santiago et al 2006] R. H. N. Santiago, B. R. C. Bedregal, B. M. Acióly. Formal As- pects of Correctness and Optimality of Interval Computations, Formal Aspects of Computing 18(2), 231 − 243, 2006.
[Schweiser e Sklar 1960] B. Schweizer, A. Sklar, Statistical Metric Spaces, Pacific Jour- nal of Mathematics, No 10, 1960, 313-334.
[Scott 1970] D. S. Scott, Outline of a mathematical theory of computation, in “4th Prin- ceton Conference on Information Science and Systems", pp. 65-106, 1970. [Seraphim 2005] E. Seraphim, “Operadores Binários para Consulta de Similaridade em
Banco de Dados Multimedia", Tese de doutorado, Instituto de Ciências Matemá- ticas e de Computação, USP, 2005.
[Singh e Jain 2005] B. Singh, S. Jain, Semicompatibility and Fixed Point Theorems in Fuzzy Metric Space Using Implicit Relation, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 16, pp 2617 − 2629, 2005.
[Smyth 1992] M. B. Smyth, “Topology. In: Handbook of Logic in Computer Science", Abramsky, S., Gabbay, D. M., Maibaum, T. S. E. (eds) , vol. 1 , Clarendon Press, Oxford, pp 641 − 762, 1992.
[Sunaga 1958] Sunaga, T., Theory of an Interval Algebra and its Applications to Nume- rical Analysis, RAAG Memoirs, 2:29-46, 1958.
[Trindade 2009] Trindade, R. M. P., “Uma Fundamentação Matemática para Processa- mento Digital de Sinais Intervalares", Tese de Doutorado em Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2009.
[Trindade et al 2010] R. M. P. Trindade, B. R. C. Bedregal, A. D. D. Dória Neto, B. M. Acióly, An Interval Metric, em “New Advanced Technologies", 2010.
Referências Bibliográficas
[Vargas 2010] R. Vargas, B. Bedregal, A Comparative Study Between fuzzy c-means and ck-Means Algorithms, In: Proc. Conf. North American Fuzzy Information Pro- cessing Society (NAFIPS 2010), Toronto, Canada, 2010.
[Warmus 1956] M. Warmus, Calculus of Approximations, Bulletin de l’Académié Polo- naise de Sciences Cl. III, No. 4, pp. 253 − 259, 1956.
[Zadeh 1965] L. A. Zadeh. Fuzzy Sets, Information and Computation, vol. 8, pp. 338 − 353, 1965.
[Zezula et al 2006] P. Zezula, G Amato, V. Dohnal, M. Batko, “Similarity Search: The Metric Space Approach", Springer Science+Business Media, Inc., 2006.
Índice Remissivo
aritmética WMS, 7
base de uma topologia, 12 co-Quantale, 23 co-quantale de valoração, 23 conjunto difuso, 9 conjunto dirigido, 5 conjunto d-dirigido, 5 conjunto de positivos, 22 conjunto pré-ordenado, 4 cota inferior, 5 cota superior, 5 DCPO, 77 distribuição de probabilidade, 17 espaço gf-métrico de Hausdorff, 43 espaços gf-métricos, 42
espaço i-métrico, 27
espaço i-métrico deslocado, 81 espaço i-pseudométrico, 32 espaço i-quasi-métrico, 31 espaço i-quasi-pseudométrico, 32 espaço métrico, 13 espaço pseudo-métrico, 15 espaço quasi-métrico, 15 espaço topológico, 12 essencialmente abaixo de, 5 Felix Hausdorff, 11 função de continuidade, 22 gf-Cauchy, 43 gf-contínua, 44 gf-contração, 44 gf-convergente, 43 gf-limite, 43 gf-métricas, 42 homometria, 21 i-distância intervalar, 64 i-Métrica, 27 i-Métrica Deslocada, 80 i-métrica intervalar, 65 i-Pseudométrica, 31 i-Quasi-métrica, 31 i-Quasi-pseudométrica, 32 ínfimo, 5 infimóide, 5 Kazimierz Kuratowski, 11 Levenshtein, 55 Lofti Zadeh, 9
maior subsequência comum, 63 menor elemento separável, 26 menores elementos separáveis, 35 métrica, 12
métrica KM, 69 métrica de Moore, 8
métrica essencialmente intervalar, 80 menor elemento, 5
menores elementos, 5 monoide abeliano, 20
monoide abeliano ordenado, 20 monoide pré-ordenado, 21
Índice Remissivo
número difuso não-negativo, 10 números difusos, 9 operação de edição, 55 ordem de Kulisch-Miranker, 8 ordem lexicográfica, 57 ordem parcial, 4 pré-ordem, 4 propriedade de Hausdorff, 13, 35 pseudo-métrica, 15 quasi-pseudométrica, 15 quasi-métrica, 14
relação essencialmente abaixo estrita, 26 relação semi-auxiliar para ≤, 25
Representação Canônica Intervalar, 67 Representação Intervalar, 66
R. Moore, 2
reticulado completamente distributivo, 23 reticulado distributivo de valoração, 23 semigrupo de valoração, 22
semireticulóide inferior, 6 semireticulóide superior, 6
equência de operações de edição, 56 subsequência, 62
supremóide, 5 supremo, 5
Teorema de Nagata-Smirnov, 73 Teorema de Representação, 76 Teorema do Ponto Fixo, 44 t-norma, 18 topologia metrizável, 13 Topologia de Scott, 77 T. Sunaga, 2 VID de Kulisch-Miranker, 69 vizinhança, 12