RİSKİN KAYNAKLARI Aksamalar Doğal felaketler
5.2. Risk Yönetim Süreci ve Stratejileri Risk Planlama Aşaması
Os dois modelos de caminhadas aleatórias não-Markovianos citados anterior- mente, elefante [59] e com alzheimer [60], tinham a capacidade de recordar os primeiros passos nos tempos subsequentes. Essa recordação dos passos iniciais definem a corre- lação temporal para ambos os modelos, que é um dos pré-requisitos para o surgimento da superdifusão. O caminhante aleatório com memória com perfil gaussiano [61] não se recorda dos passos iniciais, porém apresenta superdifusão. Esse modelo de caminhada aleatória obedece à seguinte função distribuição de probabilidade
P (t′) ∝ exp −(t ′− t 2) 2 2σ2t2 (4.3.1)
que é uma função gaussiana, onde σ é o desvio padrão e o valor de t′está entre 0 e t. Então,
em vez da escolha ser feita através das probabilidades iguais a priori (4.1.2), o tempo t é escolhido a partir segunda a equação (4.3.1). No caso da caminhada com alzheimer a memória possui um perfil semelhante a uma função constante L = ft.
O centro e a largura σt da gaussiana não são parâmetros fixos, crescem linear- mente no tempo, ou seja, a gaussiana move-se e estende-se no tempo. Tomando o centro da gaussiana quase sempre no instante de tempo t
2. A largura da gaussiana é sempre
proporcional a t, onde t é o tempo presente. Portanto, as lembranças dos fatos ocorridos próximo da metade da idade atual possui uma probabilidade maior de serem recordados. O movimento e o alongamento do perfil de memória Gaussiano faz com que o modelo seja genuinamente não-Markoviano. No caso contrário, o perfil de memória limitado e fixo levam para um processo Markoviano.
A figura (4.8) mostra a estimativa numérica do expoente de Hurst H para várias valores de σ (largura da gaussiana). Tomando σ grande, o comportamento do modelo é similar ao modelo de caminhada do elefante [59], mas para σ pequeno o comportamento é aparentemente similar a caminhada com alzheimer [60]. Esse resultado apresentou uma mudança de comportamento para valores extremos de σ, apesar de existirem diferenças entre os perfis de memória. Para o caso em que σ é muito pequeno, a largura da gaussiana torna-se infinitamente estreita, cujo perfil de memória do caminhante recorda-se apenas de um único instante de tempo t
Figura 4.8: A figura exibe o comportamento do expoente de Hurst H em relação aos pa- râmetro p e σ [61]. Para valores de σ grande, a gaussiana torne-se muito larga, isto é, o ca- minhante recorda-se de toda a sua história, comportamento qualitativo similar ao modelo de caminhada do elefante [59], porém, quando os valores de σ são pequenos, a largura da gaussiana fica estreita, qualitativamente o comportamento apresentado pelo modelo se assemelha ao modelo de caminhada com alzheimer [60].
difusão ocorre para alguns valores de p < 1
2 e também para p > 1
2. Por um lado, isso não é
surpresa pelo motivo desse perfil de memória ser não-Markoviano (divergências na corre- lação do tempo para p 6= 1
2). Por outro lado, o resultado torna-se pouco esperado pelo fato
de que todos os momentos são finitos. Apesar da solução ser inconsistente, percebe-se que a média e a largura do perfil gaussiano crescem linearmente com a idade do caminhante. O modelo é genuinamente não-Markoviano para todos os valores sigma.
A figura (4.9) mostra a inserção da reescala do primeiro momento hxi por tH para
valores particulares de σ = 0.001 e p = 0.1. Nota-se o aparecimento da log-periodicidade. Além disso, a mesma mostra o gráfico do deslocamento médio hxi em função do tempo t para o valor de p = 0.1 e alguns valores de σ. É possível notar evidências de log- periodicidade, ou seja, a perda significativa de memória (σ pequeno) leva ao aumento das amplitudes da log-periodicidade. Esses períodos indicam invariância de escala discreta e complexa, em vez de dimensão fractal real.
A figura (4.10) exibe o comportamento do diagrama de fase para o modelo com memória com o perfil gaussiano, o expoente de Hurst H em função dos parâmetros p e σ. Nota-se que para valores grandes de σ, o modelo apresenta um comportamento quali- tativo similar ao modelo de caminhada do elefante [59], ou seja, observa-se superdifusão (H > 1
2) para p > 1
2. Para valores pequenos de σ, o comportamento do modelo é qualita-
tivamente similar ao modelo de caminhada com alzheimer [60]. Observa-se para alguns valores extremos de σ superdifusão (H > 1
2) nas regiões, p < 1
2 e p > 1
2. O que torna o
modelo gaussiano diferente do modelo com alzheimer, é o fato desse perfil não se recor- dar dos primeiros passos, próximo do instante de tempo t = 0, e apresentar superdifusão log-periódica. Isto leva a concluir que a superdifusão log-periódica devido a perda de memória é um caso mais geral e não restrito ao modelo de caminhada que se recorda dos primeiros passos, próximo do instante de tempo t = 0.
Figura 4.9: A figura exibe o comportamento do deslocamento médio hxi em função do tempo t para alguns valores de σ [61]. A perda significativa de memória (σ pequeno) indica a evidência de superdifusão log-periódica. O gráfico inserido apresenta as ampli- tudes da log-periodicidade para o primeiro momento normalizado por tH.
Figura 4.10: A figura exibe o comportamento do expoente de Hurst H em função dos parâmetros p e σ [61]. Para valores grande de σ, o modelo de perfil de memória gaus- siano apresenta comportamento semelhante ao modelo de caminhada do elefante [59]. Para valores pequenos de σ, o modelo gaussiano apresenta comportamento similar ao modelo de caminhada com alzheimer [60]. O modelo gaussiano apresenta superdifuão log-periódica para valores de σ pequeno na região de p < 1/2. Diferentemente do modelo de caminhada com alzheimer, o modelo gaussiano não tem acesso aos primeiros passos, no instante t = 0. Isso mostra que a lembrança dos primeiros passos, instante t = 0, não é um ingrediente necessário para que o modelo apresente superdifusão log-periódica.
MODELO DE MEMÓRIA EXPONENCIAL
Processo difusivo e caminhada aleatória têm sido usado extensivamente para des- crever fenômenos importantes em muitas áreas, tais como, na física, química e biologia [63]. A caminhada aleatória e suas generalizações, o modelo de caminhada aleatória no tempo contínuo introduzido por Montroll e Weiss [48] em 1965, são ferramentas impor- tantes para o estudo de muitos fenômenos físicos, como por exemplo, meios desordena- dos [64, 65, 66, 67], modelagem de terremotos [68] e mercados financeiros [69]. Dentro deste contexto, um fato básico que os físicos aprendem em suas carreiras é que corre- lações com decaimento exponencial não possui ordem de longo-alcance. Por exemplo, o modelo Ising com interações de primeiros vizinhos e unidimensional não possui ordem de longo-alcance para temperaturas diferentes de zero [70]. Pela mesma razão, a caminhada aleatória com correlação exponencial e cujo tamanho dos passos possuem variância finita se comporta como uma caminhada aleatória padrão não-correlacionada Browniana. Para tempos longos, o deslocamento quadrático médio escala linearmente com o tempo. Além disso, qualquer modelo de caminhada aleatória com memória representada por uma ex- ponencial pode ser modelada por um processo de n-passos Markoviano, ou seja, o pro- cesso Markoviano possui uma corrente de probabilidade de transição dependente unica- mente dos n-passos anteriores tomados. Não importa quão grande escolhermos n, para tempos longos, o deslocamento quadrático médio necessariamente escala de forma linear no tempo, obedecendo o teorema do limite central. Assim, foi uma surpresa para nós encontrarmos um aparente contra exemplo.
Relatamos aqui neste capítulo um modelo de caminhada aleatória com memória 59
exponencial superdifusivo, cujo deslocamento quadrático médio não cresce de maneira linear com o tempo, para tempos longos. A resolução do aparente paradoxo revela uma lacuna de como, agora, o assunto é usualmente abordado. Com efeito, mostramos que este é um fato possível a partir de um modelo de caminhada aleatória genuinamente não- Markoviano com memória exponencial, desde de que a constante de decaimento seja de- pendente do tempo.
5.1
Modelo de Memória Exponencial
O modelo que estudamos é uma variante do modelo de caminhada do elefante [59] descrito na seção (4.1). O caminhante aleatório do modelo do elefante mantém a lem- brança de toda a história da caminhada, de modo que a caminhada em princípio é não- Markoviana. Muitas variantes deste modelo tem sido proposto, tal como o modelo da caminhada com alzheimer [60] que levou a resultados inesperados de superdifusão indu- zida amnesicamente e a superdifusão log-periódica [71], descrito na seção (4.2). Aqui, pro- pomos um modelo com um perfil de memória exponencial. Esse modelo é inspirado em outro modelo recentemente proposto, que possui uma memória com um perfil gaussiano, descrito na seção (4.3) [61]. Neste trabalho nós essencialmente trocamos a distribuição gaussiana por uma exponencial. O nosso foco foi direcionado a um caminhante aleatório com a capacidade de recordar eventos anteriores, sendo os eventos mais recentes lembra- dos com mais frequência, comparando os eventos relacionados ao passado mais distante. Vamos referir-se a este modelo como o modelo de memória exponencial. Enquanto que no modelo de caminhada do elefante, o tempo t′ é escolhido a partir de uma distribuição
uniforme, no modelo de memória exponencial, t′ é escolhido aleatoriamente a partir de
uma função distribuição de probabilidade exponencial. A probabilidade de escolha de um tempo anterior t′ é Pλ(t′, t) = Aexp −λ(t − t ′) t (5.1.1) onde A é a constante de normalização. O parâmetro λ ajusta a forma da distribuição exponencial de maneira usual, mas ao contrário das constantes típicas de decaimento, λ é adimensional. Infelizmente, este modelo ainda não tem solução exata conhecida. No entanto, uma solução aproximada pode ser encontrada assumindo que parte da memó- ria exponencial, figura (5.1), pode ser mapeada por um perfil de memória equivalente,
como uma janela de tamanho retangular, figura (4.5). Dentro dessa abordagem, existe um truque para determinar a solução aproximada para o modelo de memória exponencial não-Markoviano. Sua validade, é suportada por uma resultado numérico mostrado na seção (5.3). O perfil do modelo de memória retangular não-Markoviano tem memória fixa de tamanho L = ft, onde já foi visto que 0 < f < 1 é um novo parâmetro que fixa o tamanho da memória. A probabilidade de escolher um t′ anterior é dada simplesmente
por 1/L para (1 − f)t < t′ < t, e zero no caso contrário. Este perfil de memória é repre-
sentado por uma função constante em relação ao eixo horizontal, veja a figura (5.2), e tem a forma de um retângulo em vez de uma exponencial, de tal forma que as memórias mais antigas são apagadas. O caminhante aleatório pode se recordar apenas de uma fração f dos passos mais recentes.