Problem 4'e ĠliĢkin Bulgular

Çözüm sürecinde öncelikle öğrenciden orta dikme, açılar ve yayları tanıması beklenmektedir. Bunun ardından merkez ile A noktasını ve C noktasını iki farklı doğru parçası ile birleĢtirmesi ve bunların ikisinin de yarıçap olduğunu fark ederek uzunluklarının eĢit olduğunu söylemesi beklenmektedir. Bunun yanında OB doğru parçasının da AC doğru parçasının orta dikmesi olduğundan hareketle oluĢan AOB ve BOC açılarının merkez açılar olduğunu ve bunların ölçülerinin OD doğru parçasının aynı zamanda OAC ikizkenar üçgeninin tepe açısının açı ortayı

olduğundan dolayı birbirine eĢit olduğunu söylemesi gerekir. Son olarak da Ölçüleri eĢit olan iki merkez açının gördüğü yayların da ölçülerinin eĢit olduğu bilgisini kullanarak AB ve BC yaylarının ölçülerinin eĢit olduğu söylenebilir. Öğrencinin bu sürecin sonunda kiriĢin orta dikmesinin çemberi kestiği nokta ile kiriĢin iki ucu arasında oluĢan iki çember yayının ölçüleri birbirine eĢittir kuralına ulaĢması beklenmektedir.

4.2.4.1. 1. Düzey Öğrencilere Ait Bulgular

P, problemi okuduktan sonra bu yayların ölçülerinin birbirine eĢ olduğu iddiasında bulunuyor. Paralellik ve diklik kavramını noktalar ile iliĢkilendiren P, aynı doğru parçası üzerinde bulunan iki noktanın birbirine paralel olduğunu söylüyor.

1P: (okuyor) eĢittir

2A: Neden böyle olduğunu düĢünüyorsun?

3P: Merkez noktasından yarıçap bu tarafa indirdiğimizde çizgi diktir. …

10A: Nasıl anladın? 11P: Göz kararıyla

12A: Ya yanlıĢ bir çizim yapıldıysa?

13P:ġey buradan kiriĢ çizilmiĢ düz bir kiriĢ çizilmiĢ bu kiriĢin D noktasına dik olduğunu gösteriyor. D noktası B noktası ile paralel bu durumda B noktasıyla da diktir.

14A: Hangi noktalar paralel?

15P: D noktası ile B noktası. Bu durumda B noktası da diktir. D noktasına da dik inmiĢtir.

…

18A: A noktası ile B noktası arasındaki fark nedir peki?

19P: A noktası ile B noktası arasındaki fark(düşünüyor)bu kiriĢ düz bir kiriĢtir. Çünkü birde düz bir kiriĢ olduğu için buradan dik bir çizgi inmiĢtir. Burada dik kestiğine göre buranın açıları(D noktasını köşe kabul eden açılar) aynıdır. …

24A: Neden?

25P: Çünkü bir çizginin açısı 180 derecedir burası 90 ise burası da 90 dır. 26A: Evet

27P: O zaman hepsi 90 dır. Bu durumda gördükleri yayla aynıdır. Bu yay 90 derecedir bu da 90 derecedir.

…

30A: Neden?

31P: (düşünüyor)çünkü yani bu açı (düşünüyor)kurallar öyle 32A: Nedir o kural?

33P: Merkez açının derecesi gördüğü yayın derecesi ile eĢittir.

P, geometrik terimleri yerinde ve doğru kullanma konusunda bazı sıkıntılar yaĢıyor(25P). Bu durumda tanıma ve kullanma eylemlerinin gerçekleĢmesi zor gözüküyor. Öğrencinin bu noktada tanıdığını düĢündüğü bilgi ile tanıması gereken arasında ciddi farklılıklar vardır. Bir iç açının gördüğü yayın ölçüsü ile iliĢkisi konusunda aslında hiçbir Ģey bilmeyen P, muhtemelen bunları merkez açı olarak kabul ederek açı ölçüleri ve gördükleri yayların ölçüleri arasında bir iliĢki kurmuĢtur(27P). Nedeni sorulduğunda öğrencinin ifade ettiği bilgi doğru olmakla birlikte öğrenci tanıma eylemini gerçekleĢtiremediği için sonuç vermemektedir.

34A: Orada hangisi merkez açı?

35P: Bu yayın merkez açısı burası bu yayın merkez açısı burası. 36A: Neden onların merkez açı olduğunu düĢündün?

37P: Çünkü bu açının gördüğü taraf burası bu açının gördüğü taraf burası. 38A: Onlar merkez açı diyorsun.

39P: Evet.

Öğrenci ihtiyaç duyduğundan farklı bir bilgiyi hem de hatalı olarak tanıdığında zaten kullanma eylemini gerçekleĢtiremeyecek. Bunun yanında P gerekçelendirme konusunda da yetersiz kalmıĢtır. D, problem çözme sürecine tahmin olarak yorumlanabilecek bir ifade ile baĢlıyor. Bu tahminde öğrencinin problem ile birlikte verilen Ģekilden etkilenmiĢ olabileceği düĢünülebilir.

1D:(okuyor)yarıçap burası o yüzden 90 derece. 90 derece olduğu için bakıyorum(düşünüyor)bence ikisi de eĢittir. Çünkü buradan bakınca yarıçap ortadan ikiye böldüğü için.

2A: Neyi ortadan ikiye bölmüĢ. …

7D: Çemberin yani. Çemberin ortasından geçtiği için de 90 90 45 45 oluyor. Yay da merkez açıdan 45 45 oluyor o yüzden eĢit.

…

14A: Nerede tereddüt ediyorsun?

15D:ġimdi hiçbir yere bağlı değil ama çemberin içerisinde ama yarıçap onu ortadan ikiye bölmüĢ. O yüzden merkezde mi değil mi karar veremedim. Bulamadım. Merkezde değil çevre açı da değil

16A: Onların 45 er derece olduğunu nasıl buldun?

17D: Yarıçap çemberi ikiye bölüyor 90 derece oluyor. Bir dakika ya nasıl buldum onu…Ģimdi saçma geldi bana….buldum Ģurası 90 derece olur çünkü 180 e tamamlayacak doğru açı var burada. O zaman burası da 180 e

tamamlayacağı için 90 derece olur. Burayı da 180 e tamamlayacağı için 90 derece olur. Sonuçta eĢit olur yaylar.

D'nin tanıdığını düĢündüğü matematiksel yapı merkez açı olmakla birlikte bu hatalı bir tanımayı iĢaret etmektedir(7D). Bu ifade D'nin merkez açı ile ilgili oluĢturduğu bilgilerin hatalı oluĢmuĢ olduğunu ortaya koymaktadır. D ilk kararı üzerinde tekrar durarak merkez açı olarak tanımladığı açının merkez açı olup olmadığına karar veremiyor(15D). Öğrencinin bu kararsızlığı bu tür bir açı ile daha önce karĢılaĢmaması olmakla birlikte daha önce karĢılaĢtığı ve bildiğini düĢündüğü merkez açı ile ilgili bilgilerinin hatalı ya da kırılgan bir yapıda olduğunu göstermektedir. Bu tereddüdün ardından D, D noktasını köĢe kabul eden yaylar ve ölçülerine baktığında minör yaya bakan iki açının da 90 derece olmasından dolayı yaylarında birbirine eĢit olacağı sonucunu çıkarmıĢtır(17D).

21D: Ġkisi de 90 derece olduğu için yaylara da yansıyınca aynı Ģey çıkacak. …

26A: Nedenine tam ikna edebilir misin beni?

27D: Nedeni Ģimdi Ģey ikisi de 90 derece. Mesela çevre açıda iki yay 45 derece ikisi de 45 dereceyse karĢıları da 90 90 olur aynı olur sonucu da. Bura 90 90 olduğuna göre karĢısı da ikisi de eĢit olacak karĢısındaki yaylar da.

D'nin yapılan tartıĢmaların ardından verdiği son karar bu açılar merkez açı da çevre açı da olsa gördükleri yayların ölçülerinin birbirine eĢit olacağı yönündedir(27D). Öğrencinin problem çözme süreci boyunca kullandığı dil çoğunlukla matematiksel olmaktan uzak ve gerekçelendirmeleri de yetersiz. Tanıma eylemini tam olarak gerçekleĢtiremeyen D, bu süreçte tanıdığını sandığı yapılar üzerinde çalıĢmıĢ ve bunlar ile ilgili bilgileri kullanarak sonuca ulaĢmak istemiĢtir. Kullandığı bu bilgiler yerinde ve doğru olmayınca da oluĢturma eylemini gerçekleĢtirmesi mümkün olmamıĢtır. C, problem çözme sürecine öncelikle Ģekli analiz ederek baĢlamıĢtır. Öğrenci bu problem durumunda karĢısına çıkan yapı daha öncesinden oluĢturduğu yapılardan farklı olduğu için bir iliĢkinin olamayacağını ifade ediyor.

1M: (okuyor ve düşünüyor)Benim düĢünceme göre burası(ADO açısı) bir dik açıdır.

2A: Neden öyle düĢündün?

3M: Hata yaptım. Bence bunların arasında bir iliĢki yok. 4A: Neden öyle bir karar aldın?

5M: ġu D ne merkezde değil ne de açının üstünde değil.

M‟nin soruya verdiği yanıtın iliĢki olmayacağı yönünde olması problem çözme sürecini olumsuz etkileyen bir nokta olmakla birlikte merkez açı ve çevre açı konusunda önceden oluĢturulan yapıların hatalı olmadığının bir iĢareti olabilir.

8A: Bir iliĢki olduğunu düĢünseydik ne olabilirdi? 9M: ĠliĢki olduğunu düĢünseydik ikisi de aynı olabilirdi.

10A: Neden böyle düĢündün?

11M: ġuradaki D açısındaki oluĢan dik kestiği için bunların da hepsi komĢu açılar mantığını kullanıp dik diye düĢündüm AB ye o yüzden burası kenar olsaydı 90 derece olabilirdi.

...

18A: Burada verilenleri kullansak mesela nasıl kullanabilirsin burada verilenleri?

19M: Dik kesen olduğunu kullanabilirim. ġuraların(D noktasının olduğu yer) 360 derece olduğunu kullanabilirim. Ama yaylar hakkında bir Ģey diyemem.

M, karĢılaĢtığı problem durumundaki gördüğü yapıları tanımıĢ olmakla birlikte kullanma eylemi konusunda herhangi bir Ģey yapmamıĢtır. Bu öğrencinin tanıma eylemini kısmen de olsa gerçekleĢtirmiĢ olmasına rağmen kullanma eylemini hiç gerçekleĢtirememesinin sebebi ne olabilir? Bu sorunun yanıtı net olarak verilebilir mi? Öğrencinin geometrik düĢünme seviyesi olarak düĢük seviyede yer alması bu iliĢkilendirmeleri yapamamasına sebep olmuĢ olabilir. M, kullanma eylemini gerçekleĢtirememekle birlikte diğer arkadaĢlarının aksine iliĢki olduğunu değil olmadığını düĢünmüĢtür. Bu durum özellikle düĢük geometrik düzeydeki öğrencilerde pek rastlanan bir durum olmamıĢtır. Problemi okuduktan sonra yayların ölçülerinin eĢit olduğunu iddia eden V, yayları gören açının çevre açı olduğunu ifade etmesine rağmen bu fikrinden emin gözükmüyor.

1V: (okuyor) AB yayı ile BC yayı arasındaki iliĢki bence aynıdır ölçüleri 2A: Neden?

3V: Çünkü OB yarıçap dik kestiği için

4A:Dik kesmiĢ olması neden sebep olsun bunların eĢitliğine?

5V:Çünkü Ģurası(ODC açısı) 90 derece ise burası(CDB açısı) da 90 dır. Burası da 90 dır. Bu 90 ın çevre açı. Çevre açı değil. Evet çevre açı olduğuna göre çevre…

…

11V: Çünkü bu merkez noktası değil köĢesi.

Tanıma eylemini hatalı olarak gerçekleĢtiren V'yi bu Ģekilde düĢünmeye iten gördüğü yayın köĢesinin çemberin merkezinde olmamasıdır(11V). Bu iki açının dıĢında çemberde açıyı bilmeyen V, açının merkez açı olduğuna karar vermiĢtir.

17V: Yaylar 180 dir diye düĢünüyorum. 18A: Emin misin?

19V: Eminim

20A: Çemberin tüm çember yayı kaç derecedir.

21V: 360, o yüzden emin değilim. O zaman merkez diyebilir miyim ki bu açılara? Burasının böyle dik kestiği için 180 olmasa bile bence eĢittir.

V, çevre açı olarak ifade ettiği açıların karĢılarındaki yaylarında bunların iki katı olan 180 derece olacağını ifade etmiĢtir. Diğer taraftan tüm çember yayının 360 derece olduğunu bildiğini gösteren V, bu nedenle bu noktada tereddüde düĢmüĢtür. Bu tereddüdüne rağmen öğrenci yayların ölçülerinin birbirine eĢit olduğunu ifade etmektedir(21V).

24A: Dik gelmesi onların birbirine eĢit olduğunu gösterir mi?

25V: Hayır. Buraya ben merkez açı desem olacak da birbirlerine eĢit diyebilir miyim sizce merkez açı? Soruları siz soruyorsunuz.

26A: Bilmem

27V: O zaman merkez açı deyim ben buna. Ama merkezden geçmiyor. ġey, buraları birbirine eĢittir. Gördüğü yay da 90 derecedir.

28A: Merkez açı olarak mı kabul ettin. 29V: Evet

30A:Neden?

31V: BaĢka bir açıklama bulamadım çünkü.

Yayların ölçülerinin 180 derece olamayacağını gören V, bundan dolayı kararını değiĢtirerek açıların merkez açı olduğuna karar vermiĢtir. Bu durumda yeni bir çeliĢki ile karĢılaĢtığının farkında değildir. Öğrenci yeni bir çözüm arayıĢı yerine

açı tercihini değiĢtirmekle yetinmiĢtir. Bunu da baĢka bir açıklama bulamamasına bağlamaktadır. Tanıma eylemini tam olarak gerçekleĢtiremeyen V‟nin buna bağlı olarak ortaya koyduğu bu bilgilere dayalı gerekçelendirmeler de yetersiz kalmıĢ ya da hatalı olmuĢtur.

4.2.4.2. 2. Düzey Öğrencilere Ait Bulgular

Ġlk bakıĢta yayların birbirine eĢit olabileceği sonucunu çıkaran T‟nin bu tahminini gerekçelendirmesi gerekiyor.

3T: Bunun eĢit olduğunu düĢündüm ilk gördüğümde. Yayların da eĢit olduğunu düĢünüyorum.

5A: Neden öyle olduğunu düĢünüyorsun? …

12T: Yarıçap OB, AC yarıçapı D noktasından dik kesen bir kiriĢ olduğu için bence ikiye böldüğünü düĢündüm.

…

17A: OB nin ikiye böldüğünü düĢünüyorsun. Ġki eĢ parçaya mı ikiye mi? 18T: Bence iki eĢ parçaya çünkü tam ortadan bölmüĢ.

19A: Neyin ortasından?

20T: Çemberin. Çünkü O dan getirmiĢ Ģeyi yarıçapı. O yüzden tam orta olduğunu düĢündüm. Kestiği için de tam dik.

21A: Nasıl garanti edebilirsin bu söylediklerini? Dik kestiği söylenmiĢ. Peki dik kesmesi neden ortadan kessin neden eĢit olsun bunların yanıtlarını verebilir misin?

…

28T: OB yarıçap burada. AC, D noktasında dik kesiyor. Burayı dik kesiyor. Burası da bence 90 derece o yüzden. O yüzden bence eĢit.

…

33A: Neden

34T: Ġçimden geliyor. Görünce Ģekli öyle geliyor. …