BÖLÜM 2. LİTERATÜR ÖZETİ
2.7. Alıcı Ortam (Reseptör) Modellemesi
2.7.1. Pozitif matris faktorizasyonu (PMF)
Pozitif Matris Faktorizasyonu (PMF) modeli; Paatero ve tapper (1994), Paatero (2004) tarafından geliştirilmiştir. Pozitif Matris Faktorizasyonu (PMF); faktör analizi problemlerinin en küçük kareler yöntemiyle çözümü için yeni bir faktör analizi metodu olarak düşünülmüştür. Temel Bileşen Analizi (Principal Component Analysis-PCA) gibi birçok konvansiyonel faktör analiz metodunun aksine PMF non- negatif (negatif olmayan) faktörler üretir, veri seti matrisinin hata tahminlerinden yararlandığı için faktörlerin yorumlanmasına yardımcı olur.
Bu çalışmada, Pozitif Matris Faktörizasyonu (PMF) modeli (Paatero and Tapper, 1994; Juntto and Paatero, 1994; Anttila ve diğ., 1995; Paatero, 1997; Qin ve diğ., 2002) kullanılarak iç ortam, dış ortam ve kişisel maruziyet veri setleri analiz edilmiştir.
Genel reseptör modeli problemi, aşağıda ifade edildiği şekilde verilen örnekteki bütün kimyasal türleri için p bağımsız kaynaklarından gelen katkıya dayanarak belirlenir (Kim ve diğ., 2003).
ij kj p k ik ij g f e X
1 (2.22)Burada; xij, i’inci örnekte ölçülen, j’inci türün konsantrasyonu; gik, i’inci örnekteki
k’ıncı kaynak katkısından gelen partikülün kütle konsantrasyonu; fkj, k’ıncı
kaynaktan gelen j’inci türün kütle fraksiyonu; eij, i’inci örnekte ölçülen j’inci türün
konsantrasyonuyla ilgili artık (residual) ve p ise bağımsız kaynakların sayısıdır. İlgili matris denklemi aşağıdaki gibi ifade edilir.
X= GF+E (2.23)
PMF çevresel element konsantrasyonunun nxm veri matrisini X kabul eder. Burada n gözlem sayısı, m incelenen bileşendir. Model tarafından doldurulamayan bir artık (residual) matris olan E; kaynak katkısının zaman varyasyonlarının matrisi G (nxp)’yi ve kaynak kompozisyonunun matrisi F (pxm)’i faktorize edebilir. F matrisinin satır sayısını, G matrisinin sütun sayısını ve p faktör (kaynak) sayısını verir. F deki her satır bir kaynak profilini temsil eder ve G deki her bir sütun ise örneklemeler sırasında kaynağın her bir gözleme etki derecesini ifade eder. G boyutsuz bir matristir buna karşın F matris elemanları X matrisindeki verilerle aynı konsantrasyon birimindedir. E; G ve F matrislerinin bir fonksiyonu olarak ölçülen veri matrisi (X) ve modelleme sonucunda elde edilen matris (GF=Y) arasındaki fark olarak tanımlanır. E (eij) ’nin öğeleri aşağıdaki formülle hesaplanır.
p k kj ik ij ij ij ij x y x g f e 1 (2.24)Burada, i=1,….,n örnekler; J=1,….,m elementler; k=1,….,p kaynaklardır. PMF’de; G,F ve E matrisleri bilinen matris olan X’den yararlanılarak belirlenir. G ve F matrisleri birbirleriyle ilişkili öğelere sahiptir. Kaynak sayısını bulmak için kaynakların farklarının test edilmesi ve en kabul edilebilir fiziksel sonuçlarla optimal bir sonuç bulmak gerekir. PMF, rotasyonal serbestliği azaltmak için parametrelere negatif olmayan kısıtlamalar uygular.
PMF’in amacı; veri sayılarının hata tahminleri ile ağırlıklı artıkların (residual) oranının karelerinin toplamının minimize edilmesidir. Bunun yanında PMF tüm G ve F elemanlarını negatif olmayacak şekilde sınırlar ki bunun anlamı kaynaklar negatif
türdeki konsantrasyonları (fkj ≥ 0) içeremez ve örneklere negatif kaynakların katkıları
(gik ≥ 0) olamaz. Böylece PMF analizinin amacı farklı seed değerleri denenerek Q
değerinin minimizasyonu olarak tanımlanabilir. Q değeri;
2 1 1 ) ( ) (
n i m j ij ij s e E Q (2.25)fkj ≥ 0, gik ≥ 0 ve sij, xij için hata tahminidir. Denklem 2.25’in çözümü; G ve F
matrislerinin bir ardışık yaklaştırma adımı ayarlanmasıyla PMF’in algoritmasından elde edilir. Bu ardışık yakınlaştırma sürecine uyum noktasına kadar devam edilir. Uygulanabilecek seed değerleri herhangi bir pozitif tamsayı olabilmektedir.
Denklem 2.25’deki sij terimi, i’inci örnekte ölçülen j’inci elementteki belirsizliğin
tahminidir. Her veri noktası için standart sapma olan xij, her iterasyon adımında
aşağıdaki denklem kullanılarak hesaplanır.
p k kj ik ij ij c c x g f s 1 2 1 max , (2.26)Burada c1 ve c2 kullanıcıya özel parametrelerdir. c1 belirleme limitinin değerini
(paatero, 2004), c2 çalışmada seçilen değeri alır.
PMF’de modele aykırı değerleri de modelleyebilmek için güçlü (robust) modu seçilebilir. Bu amaç ile aykırı eşik mesafe değeri, α, 2.0, 4.0 veya 8.0 olarak alınabilir.
PMF her parametrenin her ölçümü için hesaplanan standart sapma değerlerini kullanarak her veri noktasına özgün hata tahminlerinde bulunur. PMF’in bu özelliği sayesinde ölçülememiş ya da belirleme sınırının altında kalmış olan değerlerde modellemeye dahil edilebilmektedir. Bu çalışmada kullanılan hata tahminleri, programın algoritması kullanılarak elde edilmiştir. Bu algoritmaya göre ölçülen konsantrasyon değerinin belirli bir oranı o parametrenin ölçüm değeriyle toplanmaktadır. Bu oran değeri 0.01 ile 0.1 arasında herhangi bir sayı olabilmektedir.
Aykırı değerlerin bulunduğu veri setlerinde, modelin sonucunda hesaplanan Q değerinin normal mi ya da çok mu büyük olduğunu belirlemek zor olabilmektedir. Bu durumun üstesinden gelmek için standartlaştırılmış hata matrisini (eij / sij)
incelemek gerekir. İdeal bir standartlaştırılmış hata dağılımı -2.0 ile 2.0 arasında olmalı ve artı değerler ile eksi değerler arasında gelişigüzel dağılım sergilemelidir (Paatero, 2000; Paatero, 2002).
PMF’de rotasyonları kontrol edebilmek için F-PEAK kullanılmaktadır. PMF değişik F-PEAK değerlerinde test edilmeli ve faktörler daha net bir şekilde birbirlerinden ayrışmalıdır. F-PEAK değeri 0.0 ile 1.0 arasında olabilmektedir. Eğer faktörler arasında korelasyon gözlenir ise aynı kaynak iki yada daha çok kaynakmış gibi görülebileceği için yanlış bir kaynak profili elde edilebilir. Bu durumda kaynak sayısı azaltılmalıdır. F-PEAK değeri Q değerini çok fazla değiştirmemelidir. Q değerini ±100’den fazla değiştiren F-PEAK değeri doğru sonuç vermez.
PMF; veri sayıları ve onların analitik belirsizliklerini içeren bir modeldir. Böylece PMF modeli ile eksik ve belirleme limitinin altındaki veriler değerlendirmeye alınabilmektedir. Model, faktör yüklerini ve faktör skorlarını negatif olmayan değerlere göre sınırlandırır ve bu sayede faktör dönüşümleriyle belirsizlikleri küçültebilir. Bu özellik çevresel uygulamalarda fiziksel olarak anlamlı sonuçların elde edilmesini beraberinde getirmektedir. Ayrıca, faktör yüklerini kütle birimi içinde açıklar ve böylece faktörler kaynak işaretçilerinin doğrudan kullanımlarına izin verir. PMF konvansiyonel faktör analizlerine göre oldukça karmaşıktır ve sonuçlarının yorumlanması daha zordur. Ancak daha iyi bir kaynak çözümlemesi sağlar ve bu kaynakların etkilerinin sayısallaştırılmasında diğer yöntemlere göre daha başarılı bir modeldir (Kuntasal, 2005).