Elasto-Plastik Teoriye Dayalı Modeller

Elasto-plastik teoriye dayalı bünye modelleri efektif gerilme yaklaşımlarına temel oluşturan modellerdir. Bu modeller kayma ve çekme gerilme limitlerini içermekte ve boşluk suyu basıncı oluşumunu ve sönümlenmesini de içine alarak zeminin karakteristik gerilme-şekil değiştirme davranışını modellemektedir. Yükleme esnasındaki boşluk suyu basıncı oluşumu

61

ve sonrasındaki sönümlenme aşaması, analizin her adımında zemin iskeletinin artımsal mekanik deformasyonu ile ilişkilendirilmiştir. Bu nedenle, zeminin yükleme sırasında ve sonrasındaki davranışı bünye modeli tarafından tanımlanmaktadır. Uygun bünye modeli kullanıldığında, elasto- plastik yaklaşımların daha güçlü ve doğru yaklaşımlar olduğu söylenebilir. Fakat, efektif gerilme analizine dayalı bünye modelleri daha karmaşık ve uygulama esansında bir çok malzeme parametresine ihtiyaç duyulan modellerdir. Bu ise bu yaklaşımları zorlaştıran en temel unsurdur. Artımsal elasto-plastik teorinin esasları geniş bir şekilde Hill (1950)’de verilmektedir. Ancak bu teori ile ilgili esaslar aşağıdaki gibi özetlenebilir.

Elasto-plastik teoriye dayalı modeller genel olarak toplam şekil değiştirme değişimi dε’nin elastik şekil değiştirme değişimi dεe ve plastik şekil değiştirme değişimi dεP olmak üzere iki bileşenden oluştuğunu varsaymaktadır. Gerilme uzayı büyük asal gerilme σ′1 ve küçük asal

gerilme σ′3’ten oluşan asal efektif gerilmelerle tanımlanır, elastik ve plastik davranışı

birbirinden ayıran gerilme noktaları sınır yüzeyi oluşturmakta ve “Akma yüzeyi” ya da “ Yükleme yüzeyi” olarak isimlendirilmektedir. Bu yüzey matematiksel olarak ise aşağıdaki şekilde ifade edilir.

0 ) ' ( ij =

f σ (4.1)

Burada, σ′ij efektif gerilme tensörünün elemanlarını temsil etmektedir. (4.1) eşitliğindeki

herhangi bir gerilme durumu akma yüzeyinin üzerinde yer almaktadır. Eğer dσ′ij gerilme artışı

uygulanırsa ve gerilme durumu o andaki elastik bölgeden dışarı doğru hareket ederse, plastik şekil değiştirmeler meydana gelir, akma yüzeyi genişler ve bu durum “Pekleşme” olarak isimlendirilir. Diğer taraftan, eğer gerilme durumu elastik bölgenin içine doğru hareket ederse, yükleme boşaltması durumu medyana gelir, elastik bölgede bir değişme olmaz ve elastik şekil değiştirmeler ortaya çıkar. Yukarıda verilen üç gerilme durumunun akma yüzeyine göre olan durumuna göre yükleme kriteri aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.

f=0 ve df>0 plastik şekil değiştirmeler

f=0 ve df<0 elastik şekil değiştirmeler

f=0 ve df=0 plastik şekil değiştirmeler (4.2)

ij ij d f df ' ' σ σ ∂ ∂ = (4.3)

(4.2) ve (4.3) eşitlikleri ile tanımlanan yükleme kriteri plastisite teorisinin hesaplamalardaki en büyük avantajını oluşturmaktadır. Çünkü izotropik bir malzeme için yükleme durumunun tek eksenli ya da çok eksenli olup olmadığını kesin olarak belirlemektedir. Aslında ∂f/ ∂σ′ij

bileşenlerinden oluşan vektör akma yüzeyine diktir ve bu yüzden, bu vektör ile dσ′ij gerilme

artımı vektör bileşenleri yükleme artımını belirlemektedir. Fakat, akma yüzeyinin genişlemesi yükleme altında bir zeminin nihai durumunu tanımlayan göçme kriteri ile sınırlandırılmaktadır. Bu sınırlandırma ise bir göçme yüzeyi kriteri ile belirlenmektedir. Akma yüzeyi göçme yüzeyi ile temas ettiğinde akma yüzeyi daha fazla genişleyemez. Zeminin mukavemetini tanımlayabilmek için çeşitli göçme kriterleri kullanılmaktadır. Bunlar arasında

Mohr Coulomb, Tresca, Drucker ve Prager (1952), Matsuoka(1974) ve Lade ve Duncan (1975) sayılabilir. Bununla birlikte bu kriterler izotropik sıkışma altında meydana gelen

plastik hacimsel şekil değiştirmeleri hesaplamakta yetersiz kalmaktadır. Drucker vd.(1955) bu sınırlamayı belirtmekte ve Şekil 4.1’de gösterildiği gibi sepeti andıran bir akma yüzeyi ile hidrostatik eksenlerin bir kısmını içine alabilmektedir. Bu şekilde basınç yüklemelerinde plastik şekil değiştirmeler dikkate alınabilmektedir. Daha sonra da değinileceği gibi bu sınırlamaları dikkate alan çeşitli modeller geliştirilmiştir.

Şekil 4.1 Üç eksenli test koşulları için Drucker vd. (1955) tarafından önerilen akma yüzeyi

Yukarıda açıklanan akma kriterlerine ek olarak artımsal elastoplastik teoriyi oluşturan dört temel eleman vardır;

63

ii. Pekleşme parametresi

iii. Akma kuralı

iv. Artımsal gerilme-şekil değiştirme ilişkisi

Pekleşme kuralı, akma oluşurken elastik bölgenin genişlemesinin ne şekilde olacağını tanımlamaktadır. Elastik bölgedeki değişim pekleşme olarak tanımlanmaktadır ve Prager (1955) iki farklı pekleşme mekanizması olduğunu söylemektedir. Bunlar; izotropik pekleşme ve kinematik pekleşme olarak isimlendirilmektedir. İzotropik pekleşme, yeni plastik durumun oluşması için akma yüzeyinin tüm yönlerde aynı oranda genişlemesini temsil etmektedir. Kinematik pekleşme ise akma yüzeyinin yer değiştirmesini elastik bölgenin yönünde, boyutunda ve şeklinde değişim olmaksızın tanımlayan bir pekleşme mekanizmasıdır. Elastik bölgenin yeni pozisyonu akma bölgesinin yeni gerilme durumu için yerleşmesine olanak tanımaktadır. Ayrıca, pekleşmenin iki tipi birleştirilerek karışık pekleşme mekanizması da oluşturulabilir.

Pekleşme parametresi K skalar bir büyüklük olup, akma yüzeyinin büyüklüğünü karakterize eder. Yükleme esnasında oluşan plastik deformasyon tarihçesini kaydetmek için kullanılır. Pekleşme parametresi ya kümülatif plastik şekil değiştirme artımları (Hill, 1950; Mroz, 1967 Roscoe ve Burland,1968; Prevost ve Hoeg, 1975; Vermeer , 1978) ya da plastik iş (Hill, 1950; Lade, 1977) cinsinden ifade edilir.

Pekleşen bir malzeme için, akma yüzeyinin büyüklüğü, f, ve pozisyonu, ya da her ikisi birden, sadece gerilme durumuna (σ′ij) değil, pekleşme parametresi K’ a da bağlıdır. Bu

nedenle akma yüzeyi

f(σ'_ij,K)=0 (4.4)

şeklinde ifade edilir.

Akma kuralı, plastik şekil değiştirme artım vektörünün yönünü (dεp) tanımlamaktadır. İdeal bir akışkanın akması durumunu düşünerek bir benzetme yapılacak olursa, akma yüzeyi üzerindeki herhangi bir noktada potansiyel fonksiyon plastisite teorisinde tanımlıdır ve plastik potansiyel, g(σ′ij), olarak isimlendirilir. Bu nedenle, plastik şekil değiştirme artım vektörünün

yönü (dεp) plastik potansiyele dik olan birim vektörle çakışır ve bu nedenle plastik şekil değiştirme artımının bileşenleriaşağıdaki şekilde ifade edilir.

ij p ij g d ' σ λ ε ∂ ∂ = (4.5)

Burada, λ pozitif skalar bir değer olup plastik yükleme tarihçesi boyunca değişir ve plastik şekil değiştirme artımının büyüklüğünü verir, ∂g/∂σ′ij ise plastik şekil değiştirme artımının

yönünü belirler.

Diğer bir deyişle, (4.5) eşitliği akma kuralını tarif etmektedir. Eğer plastik potansiyel fonksiyonu (g) akma yüzeyi ile çakışırsa, yani g=f olursa, bu durumda akma kuralı “birleşik akma kuralı” olarak, çakışmıyorsa, “birleşik olmayan akma kuralı” olarak adlandırılır.

Genel olarak, zeminlerin yüklemeler altında davranışını tarif eden gerilme-şekil değiştirme eğrileri doğrusal olmayan eğrilerdir. Fakat, bazı durumlarda adımsal lineer (doğrusal) yaklaşımlarla bu doğrusal olmayan davranış temsil edilmeye çalışılır. Maksimum akma gerilmesinden sonra her bir doğrusal parça elastik ve plastik modülü temsil eden kendine ait bir eğime sahiptir ve her bir doğrusal parça farklı bir akma yüzeyi ile ilişkilendirilir.

Mroz(1967) bu kavramı, her bir akma yüzeyinin gerilme-şekil değiştirme eğrisinin her bir doğrusal parçası ile ilişkilendirildiği toplam bir akma yüzeyi ağı kullanarak genelleştirmiştir.

Toplam şekil değiştirme değişimi(dεij), elastik (dεije) ve plastik (dεijp) şekil değiştirme

değişimlerinin toplamı olarak düşünülebilir.

p ij e ij ij d d dε = ε + ε (4.6)

Gerilme değişmi ile elastik şekil değiştirme değişimi ilişkisi Hooke Yasası ile genelleştirilmiştir. ' ( p) kl kl ijkl e kl ijkl ij C d C d d dσ = ε = ε − ε (4.7)

Burada, Cijkl elastik rijitlik tensörüdür. Plastik şekil değiştirme değişimi (dεklp) (4.5) eşitliği ile

verilmiştir. Dolayısı ile artımsal gerilme-şekil değiştirme ilişkisi aşağıdaki şekilde yazılabilir.

_      ∂ ∂ − = kl kl ijkl ij g d C d ' ' σ λ ε σ (4.8)

Artımsal elastik-plastik modeller, aşağıdaki özellikleri hakkında yapılan varsayımlar

65

ii. Akma kuralı; plastik şekil değiştirme artımının yönünün nasıl olacağı

iii. Gerilme-şekil değiştirme ilişkisi; gerilme ve şekil değiştirme artımlarının nasıl ilişkilendirileceği

ile birbirinden farklılıklar göstermektedir.

4.3 Dinamik Yüklemeler Altında Kumların Davranışı ve Artımsal Elasto-Plastik