P‹R‹ZMALARDA KIRILMA

❂

5. P‹R‹ZMALARDA KIRILMA

Ifl›¤›n paralel yüzlü levhalardan geçiflini inceledik. fiimdi ›fl›¤›n paralel olmayan düzlem yüzeyler aras›ndan geçiflini inceleyelim.

Karfl›l›kl› yüzeyleri birbirine paralel olmayan, kesiflen iki düzlem aras›nda kalan saydam ortamlara ›fl›k prizmas› denir. ‹ki düzlem aras›ndaki aç›ya prizman›n tepe aç›s› (k›ran aç›) denir. Tepe aç›s›n›n karfl›s›ndaki kenara prizman›n taban› denir.(fiekil 5.1)

A

fiekil 5.1: Ifl›k prizmas›

A D

fiekil 5.2: Ifl›k prizmas›nda sapma aç›s›

➠

➠

K›r›lma indisi

n

_ortam olan ortamdan, k›r›lma indisi

n

_p olan prizmaya gelen tek renkli ›fl›n›n prizmaya geldi¤i nokta olan K ve ›fl›n›n prizmadan ç›kt›¤› nokta olan M noktalar› için snell kanunu uygularsak;

Bu eflitliklerdeki, i gelme aç›s›n›n ve i ise prizmadan ç›kan k›r›lma aç›s›n›n de¤eridir. Bir üçgende herhangi bir d›fl aç›, üçgenin komflu olmayan di¤er iki iç aç›n›n toplam›na eflit olaca¤›ndan OKM’ de D sapma aç›s›;

• Bir prizman›n sapma aç›s›, prizman›n k›r›lma indisine, prizman›n tepe aç›s›na ve ›fl›n›n prizman›n ilk yüzeyine gelifl aç›s›na ba¤l›d›r.

• Prizman›n tepe aç›s›, s›n›r aç›s›ndan büyük olursa, ›fl›k prizmadan d›flar› ç›kamaz, prizma içinde tam yans›maya u¤rar.

Minimum Sapma

Ifl›n›n; prizmaya gelifl aç›s› ile prizmadan ç›k›fl aç›s›, birbirine eflit oldu¤unda sapma aç›s› minimum olur.

nortam . sin i= np . sin r (gelifl yüzeyi için),

n_p . sin r'= n_ortam . sin i^' (ç›k›fl yüzeyi için) yaz›labilir.

D = (i-r) + ( i^' - r' ) ' dir. Bu eflitlik düzenlendi¤inde;

Buna göre D aç›s› A aç›s› cinsinden D = i + i^' - A biçiminde yaz›labilir.

i = i^' ise minimum sapma olur. Bu durumda minimum sapma aç›s›n›n de¤eri; Dmin=2i - A olur.

D=i + i^' - (r +r') olur. KLM 'de A aç›s› yine bir d›fl aç› oldu¤undan;

Buna göre prizmalar için afla¤›daki genel özellikleri söylemek mümkündür: A = r +r' olur. A D ii r^{i-r i-r}_{r i} A M L K n_p n_ortam O fiekil 5.3 Δ Δ

• ‹nce prizmada gelme aç›s› (i) ve tepe aç›s› (A) çok küçük olursa sapma aç›s›, gelme aç›s›na ba¤l› olmaz. Bu durumda sapma aç›s›;

• Minimum sapma aç›s›n› bulurken ortam›n k›r›lma indisi (n_ortam), prizman›n k›r›lma indisinden (n_p) küçüktür. (n_ortam< n_p) bu durumda prizma içinde ›fl›n tabana do¤ru k›r›l›r. (fiekil 5.3)

• Prizman›n içinde bulundu¤u ortam›n k›r›lma indisi (n_ortam), prizman›n k›r›lma indisinden (n_p) büyükse, (n_{o r t a m}> n_p) prizma içinde ›fl›n tepe aç›s›na do¤ru k›r›l›r (fiekil 5.4).

Ifl›n›n prizman›n K noktas› için Snell Kanunu, n_h. sin i = n_p. sin r

➠

Bu eflitliklerden yararlanarak prizman›n k›r›lma indisini bulabiliriz. Prizma e¤er hava ortam›n›n içinde ise n_ortam= n_hava= 1 olur.

Bu eflitlik düzenlendi¤inde ›fl›n›n prizmaya gelifl aç›s› için, i = ^Dmin + A

2 ^{yaz›labilir.}

Di¤er taraftan i = i^' ise r aç›s› da r' aç›s›na eflit olacakt›r. Bu durumda A aç›s›n›n de¤eri için; A = r+r' ise A = r+r oldu¤undan,

A = 2r ⇒ r = A

2 ^bulunur.

n_p = sin i

sin r ^{yaz›labilir. Bu eflitlikte minimum sapma için yukar›da elde etti¤imiz} i ve r aç›lar›n›n Dmin ve A cinsinden de¤erleri kullan›l›rsa, prizman›n k›r›lma aç›s› için;

Dmin = A (n-1) olur. n_p = sin Dmin + A 2 sin A 2 yaz›labilir. A D n_p n_ortam

Tam Yans›mal› Prizmalar

Kesitleri ikizkenar dik üçgen fleklinde olan prizmalara tam yans›mal› prizmalar denir.Tam yans›mal› prizmalar›n tepe aç›s› 90^odir. Bu prizmalarda cam›n k›r›lma indisi 1,5 ve s›n›r aç›s› 42^o oldu¤u için, ilk yüzeye gelen ›fl›n ikinci yüzeye ulafl›r. ‹kinci yüzeye s›n›r aç›s›ndan (42^o) büyük gelece¤i için tam yans›maya u¤rar. Yans›yan ›fl›n›n üçüncü yüzeye gelifl aç›s›na ba¤l› bir k›r›lma aç›s› ile prizmay› terk eder.

Tam yans›mal› prizmalar optik araçlarda (dürbün, projeksiyon makinesi ve periskop vb.) kullan›l›r.

Optik araçlarda kullan›lan tam yans›mal› prizmalar, nitelik ve kullan›m flekline göre sapt›r›c› ( fiekil 5.5 a ve b) veya çevirici (fiekil 5.5 c) tam yans›mal› prizmalar ad›n› al›rlar.

Örnek 5.1

fiekil 5.6’daki gibi hava içinde bulunan ›fl›k prizmas›n›n yüzeyine dik do¤rultuda gelen ›fl›n, hangi yüzeyden ve kaç derecelik ç›k›fl aç›s› ile prizmay› terk eder?

N 45o 45o N N 45o 45^o 45o 45o N N N N N

a. tam yans›mal› sapt›r›c› prizma b.Tam yans›mal› sapt›rt›c› prizma c. Tam yans›mal› çevirici prizma fiekil 5.5: Tam Yans›mal› Prizma

30o

fiekil 5.6

n_p =1,4; sin30^o = 1 2 ⁾

fiekil 5.7’de görülece¤i gibi ›fl›¤›n ikinci yüzeye gelme aç›s› r´=30^oolur. i_s> r´ oldu¤undan ›fl›n ikinci yüzeyden k›r›lmaya u¤rayarak d›flar› ç›kar.

Ifl›¤›n ikinci yüzey için r´ = 30^olik gelme aç›s›na karfl›l›k k›r›lma aç›s›n› bulmak için Snell Kanunu’ndan;

Örnek 5.2

Tepe aç›s› 60^oolan bir prizman›n minimum sapma aç›s› 40^ooldu¤una göre prizman›n k›r›lma indisi nedir? (sin30^o= 0,5; sin50^o= 0,8)

Çözüm 5.2 Çözüm 5.1

Ifl›k ilk yüzeye dik geldi¤i için k›r›lmadan yoluna devam eder. Prizman›n s›n›r aç›s›n› bulmak için Snell Kanunu’nu uygularsak,

30^o i 30^o 60^o fiekil 5.7 np . sin is=nh . sin 90^o 1,4 . sin i_s = 1 . 1 sin is = 1 1,4 ⇒ is = 45,6^o bulunur. np . sin r'=nh . sin i^' 1,4 . sin 30^o = 1 . sin i^' 1,4 . 1 2 ^{= sin i}

' ⇒ sin i^' = 0,7 ç›k›fl aç›s› i^' ≅ 44^o olur.

np =

sin Dmin + A 2 Sin A

2

Örnek 5.3

Tepe aç›s› 80^o olan bir prizmaya, ilk yüzeyle 37^o’lik aç› yapacak flekilde gelen ›fl›n fiekil 5.8’deki gibi prizmay› ikinci yüzeyle 26^o’lik aç› yaparak terk ediyor. Bu ›fl›n›n sapma aç›s› kaç derecedir?

Çözüm 5.3 n_p = sin 40^{o + 60o} 2 Sin 60^o 2 olur. Buradan, np = sin 50^o Sin 30^{o =} 0,8 0,5 ^{= 1,6 bulunur.} 80o 37o 26o fiekil 5.8

Soruda verilenleri fiekil 5.9’daki gibi gösterecek olursak bu olayda gelme aç›s›n›n i = 53^o, prizmadan ç›kma aç›s›n›n i´= 64^o oldu¤unu görürüz. Bu durumda sapma aç›s›, D = i + i´ - A ’dan D = 53 + 64 - 80 D = 37^o bulunur. 80o D i=53o i =64o 37^o 26o fiekil 5.9

❂

Beyaz Ifl›¤›n Renklere Ayr›lmas›

fiekil 5.10’daki prizmaya gönderilen beyaz ›fl›k demeti, prizmadan ç›kt›ktan sonra renklere ayr›l›r.

Bu renkler perde üzerine düflürüldü¤ünde perdede oluflan renk demetine beyaz ›fl›¤›n spektrumu (tayf) denir.

Spektrumda ya¤murlu bir havada güneflin ç›kmas›yla birlikte oluflan gökkufla¤›ndaki k›rm›z›, turuncu, sar›, yeflil, mavi, mor renkler bulunur (Resim 5.1).

Resim 5.1: Gökkufla¤› Beyaz ›fl›k K›rm›z› Turuncu Sar› Yeflil Mavi Mor Cam Hava

❂

☛

Spektrumda bulunan renklere temel renkler (k›rm›z›, turuncu, sar›, yeflil, mavi, mor) denir.

Prizmadan geçen farkl› renklerin k›r›lma indislerinin farkl› olmas› nedeniyle görülen bu tarz olaylarda en fazla mor, en az k›rm›z› renkli ›fl›k k›r›lmaya u¤ramaktad›r. Mor renkli ›fl›¤›n k›r›lma indisi en büyük olup Tablo 4’de de görüldü¤ü gibi, di¤er renklerin k›r›lma indisleri s›ras›yla azalmaktad›r ( n_mor > ...> n_{k›rm›z›}).

Prizmada her rengin k›r›lma indisi farkl› oldu¤undan prizma içindeki h›zlar› da farkl›l›k gösterir. K›r›lma indisi ile h›z ters orant›l› oldu¤undan en fazla h›za sahip k›rm›z› ›fl›k iken en az h›z mor ›fl›¤a aittir ( v_{k›rm›z›} > ...> v_mor).

fiekil 5.11’de görüldü¤ü gibi renklere ayr›lm›fl beyaz ›fl›¤›n tersine bir ifllemle prizmadan geçirilirse tekrar beyaz ›fl›k elde edilebilir.

Renkler

Çevremizdeki cisimlere günefl ›fl›¤› alt›nda bakt›¤›m›zda, farkl› renklere sahip cisimler görebiliriz. Bir cismi görebilmemiz için cisimden gözümüze ›fl›k gelmesi gerekti¤ini ö¤renmifltiniz.

Bir cismin üzerine beyaz ›fl›k düfltü¤ünde cisim, üzerine düflen ›fl›¤›n; • Tamam›n› yans›t›yorsa beyaz renkte (fiekil 5.12.a)

• Hiç yans›tm›yorsa (tamam›n› so¤uruyorsa) cisim siyah renkte görünür (fiekil 5.12.b).

Renk K›rm›z› Turuncu Sar› Yeflil Mavi Mor

K›r›lma indisi 1,513 1,514 1,517 1,519 1,528 1,532

Tablo 4

Beyaz ›fl›k ^{Beyaz ›fl›k}

fiekil 5.11: Ifl›k renklerinin birlefltirilerek beyaz ›fl›¤›n elde edilmesi

• Renkli bir cismin üzerine beyaz ›fl›k düfltü¤ünde cisim kendi rengini ve buna en yak›n olan renkleri yans›t›r. Di¤er renkleri so¤urur. Cisim yans›tt›¤› renklerden bask›n olan›n renginde görünür.

a. Beyaz cisim b. Siyah cisim fiekil 5.12: Beyaz ve siyah cisimler.

Mavi bir cisim üzerine beyaz ›fl›k düfltü¤ünde cisim mavi ›fl›k ile bu renge en yak›n renk olan yeflil ve mor renkleri az da olsa yans›t›r. Yans›yan ›fl›kta mavi renk bask›n oldu¤undan cisim mavi renkte görünür (fiekil 5.13).

fiekil 5.13: Mavi renkli cisim beyaz ›fl›k alt›nda

K›rm›z› renkte cisim üzerine, beyaz ›fl›k düflerse cisim k›rm›z› ve turuncu rengi yans›t›r. Cisim bask›n renk olan k›rm›z› renkte görünür (fiekil 5.14).

❂

❂

Mavi renkli cisim üzerine k›rm›z› renkli ›fl›k düfltü¤ünde yans›ma olmayacakt›r. Bu nedenle cisim siyah görünür. (fiekil 5.15)

Verilen örnekler do¤rultusunda anlat›lanlar› k›saca özetlersek;

• Beyaz ›fl›k prizmadan geçtikten sonra; k›rm›z›, turuncu, sar› yeflil, mavi ve mor temel renkler d›fl›nda baflka renklere ayr›lmaz.

• Bir cisim, yans›tt›¤› ›fl›¤›n renginde görülür.

• Cisim yans›tmad›¤› bir ›fl›k ile ayd›nlat›l›rsa siyah görülür.

• Beyaz ›fl›¤›n içinde bulunan k›rm›z›, yeflil ve mavi renklerin kar›fl›m›ndan do¤adaki tüm renkler elde edilebilir. Bu nedenle, bu renklere ›fl›¤›n ana (birincil, primer) renkleri denir.

Yans›ma yok

fiekil 5.15: Mavi renkte cisim k›rm›z› ›fl›k alt›nda

Ana renklerle yap›lan deneylerde; K›rm›z› ›fl›k + yeflil ›fl›k = sar› ›fl›k

K›rm›z› ›fl›k + mavi ›fl›k = magenta (morumsu k›rm›z› ) ›fl›k Yeflil ›fl›k + mavi ›fl›k = cyan (yeflilimsi mavi) ›fl›k

Yeflil ›fl›k + mavi ›fl›k + k›rm›z› ›fl›k = beyaz ›fl›k elde edilir.

Ana renklerin ikiflerli guruplar halinde birleflmesiyle oluflan sar›, magenta ve cyan renklerine ikincil renkler denir. (flekil 5.16-5.17)

Beyaz ›fl›k en az iki rengin kar›flmas›yla elde edilebilir.

K›rm›z› Sar› Yeflil Cyan Beyaz Magenta Mavi fiekil 5.16 fiekil 5.17 K›rm›z›, yeflil, mavi, ›fl›¤›n birleflmesiyle elde edilen renkler.

Noktasal, k›rm›z› ve mavi ›fl›k kaynaklar› önüne fiekil 5.19’daki gibi ›fl›k geçirmeyen küresel bir engel konuyor. Perde üzerinde gösterilen 1, 2 ve 3. bölgeler hangi renkte görünür?

Çözüm 5.4

1. bölgeye ›fl›k gelmedi¤inden siyah görünür.

2. bölgeye sadece k›rm›z› ›fl›k geldi¤inden, k›rm›z› görünür.

3. bölgeye k›rm›z› ve mavi ›fl›¤›n kar›fl›m› düfltü¤ünden magenta renginde görünür. Örnek 5.5

Beyaz, k›rm›z› ve yeflil renklerde k⤛tlar, yeflil renkli ›fl›k ile ayd›nlat›l›rsa k⤛tlar hangi renkte görünür?

Çözüm 5.5

• Beyaz k⤛t yeflil rengi yans›taca¤›ndan yeflil renkte görünür. • K›rm›z› renkli k⤛t ›fl›¤› yans›tmayaca¤›ndan siyah renkte görünür. • Yeflil renkli k⤛t, yeflil rengi yans›taca¤›ndan yeflil renkte görünür.

Birlefltikleri zaman beyaz ›fl›¤› oluflturan iki renge birbirinin tamamlay›c›s› denir

(fiekil 5.18). Örnek 5.4

❂

K›rm›z› Cyan Yeflil Magenta _{Mavi Sar›}

(a) ^{(b) (c)}

fiekil 5.18: Birbirinin tamamlay›c›s› olan renkler.

3 2 1 3 2 fiekil 5.19

• Sadece sar› renkli filtre bu kurala uymaz. Kendi rengi ile birlikte k›rm›z› ve yeflil rengi geçirir (fiekil 5.21).

➠

Ifl›k Filtreleri (Renkli Camlar)

Ifl›¤› geçirebilen renkli saydam filtrelerden geçen ›fl›¤›n renkleri ile filtre rengindeki cisimden yans›yan ›fl›klar›n renkleri ayn›d›r. Beyaz ›fl›k renksiz saydam bir cam üzerine düflürülürse beyaz ›fl›¤›n tamam›na yak›n›n› cam›n karfl› taraf›na geçer. Karfl› tarafa geçen ›fl›k yine beyaz renkte görünür. Beyaz ›fl›k, yeflil renkli cam üzerine düflürülürse yeflil ve az miktarda da yeflile yak›n sar› ve mavi ›fl›k geçer. Camdan geçen ›fl›nlarda hâkim olan renk yeflil oldu¤undan cam yeflil renkte görünür. Mavi renkte cam›n üzerine, k›rm›z› ve turuncu renkte ›fl›n gönderilirse cam ›fl›nlar› so¤urur. Di¤er tarafa hiç ›fl›n geçmez. Bu nedenle cam siyah görünür (fiekil 5.20).

• Renkli saydam maddeler (filtreler) üzerine ›fl›k gönderildi¤inde filtre kendi rengini ve kendi rengine yak›n renkleri geçirir, di¤er renkleri so¤urur.

Mavi Filtre Mor Filtre

Siyah

Sar› Filtre K›rm›z› Filtre Mavi Filtre

Siyah Yeflil Filtre Mor Filtre

Mavi

Yeflil Filtre K›rm›z› Filtre

Siyah

fiekil 5.20: Ifl›¤›n filtreden geçifli ve so¤rulmas›

Sar› Filtre

Sar›

Boya Renkleri

Boya renkleri ile ›fl›k renkleri birbirinden farkl›d›r. Ifl›ktaki ana renkleri kar›flt›r›rsak beyaz renkte ›fl›k elde edilir. Ayn› renkleri boyada kar›flt›r›rsak siyah renkte boya elde edilir. Ifl›k için ana renkler olan k›rm›z›, mavi yeflil renkler boya için ikincil renk; ›fl›k için ikincil renk olan sar›, magenta, cyan boya için ana renkler olur.

fiekil 5.22’de oldu¤u gibi boya renklerinin kar›fl›m›ndan; Cyan boya + sar› boya + magenta boya = siyah boya Sar› boya + magenta boya = k›rm›z› boya

Sar› boya + cyan boya = yeflil boya

Magenta boya + cyan boya = mavi boya elde dilir.

Örnek 5.6

fiekil 5.23’teki gibi beyaz ›fl›k önüne yerlefltirilen filtrelerin arka taraf›ndan bakan göz hangi rengi görür?

fiekil 5.22: Boyada ana renkler ile ikincil renklerin elde edilifli

Sar› Filtre Yeflil Filtre

❂

❂

fiekil 5.24’ te oldu¤u gibi sar› filtre, k›rm›z›, sar› ve yeflil renkleri geçirir. Bu renklerden sar› ve yeflil renk, yeflil filtreden geçer. Yeflil filtreyi geçen renklerden, yeflil bask›n olaca¤› için bakan kifli yeflil rengi görür.

6. GÖRÜNTÜ OLUfiMASI

Bir cismi görebilmemiz için cisimden, gözümüze ›fl›k gelmesi gerekti¤ini biliyoruz. Cisimden ç›kan ›fl›nlar do¤rudan gözümüze geliyor ise cisim kendisini görürüz, ›fl›nlar yans›ma veya k›r›lma yoluyla gözümüze geliyor ise cismin görüntüsünü görürüz (Resim 6.1).

Ifl›nlar›n parlak bir yüzeye çarparak yay›lma do¤rultusunu de¤ifltirmesine yans›ma demifltik.

Üzerine düflen ›fl›¤›n tamam›na yak›n›n› yans›tan düz yüzeylere ayna denir. Bir ayna karfl›s›nda bulunan cisimden ç›kan ›fl›nlar›n, aynada yans›d›ktan sonra kendilerinin veya uzant›lar›n›n kesiflmesiyle aynan›n önünde veya arkas›nda oluflturduklar› flekle görüntü denir.

Çözüm 5.6

Sar› Filtre Yeflil Filtre

Yeflil

fiekil 5.24

Düzlem Aynada Görüntü Oluflmas›:

Düzlem aynan›n önündeki O noktas›nda bulunan noktasal bir cismin, düz aynada görüntüsünü elde edebilmek için noktadan aynaya en az iki ›fl›n gönderilmelidir. Bu ›fl›nlar yans›ma kanunlar›na uygun olarak aynadan yans›t›l›r. Bu cismin görüntüsü, yans›yan ›fl›nlar›n uzant›lar›n›n kesiflti¤i O´ noktas›nda oluflur (fiekil 6.2).

a. DÜZLEM AYNA

Üzerine düflen paralel ›fl›n demetini yine birbirine paralel olarak yans›tan, yans›tma oran› büyük, düzlem yüzeylere düzlem ayna veya düz ayna denir (fiekil 6.1).

❂

❂

❂

Aynalarda iki türlü görüntü çizimi mümkündür.

1.Gerçek Görüntü: Cisimden ç›kan ›fl›nlar›n aynadan yans›d›ktan sonra, yans›yan ›fl›nlar›n kendilerinin kesifltirilerek oluflturulan görüntüye denir.

Bu görüntüler daima; cisme göre ters, aynan›n önünde ve perde üzerine d ü fl ü r ü l e b i l i r l e r.

2. Sanal (zahirî) Görüntü: Cisimden ç›kan ›fl›nlar aynadan yans›d›ktan sonra, yans›yan ›fl›nlar›n uzant›lar›n›n kesifltirilerek oluflturulan görüntüye denir.

Bu görüntüler daima; cisme göre düz, aynan›n arkas›nda ve perde üzerine düflürülemezler.

fiekil 6.1 Düzlem aynada ›fl›¤›n yans›mas›.

O d

O ^d

Düzlem ayna

➠

Cismin ve görüntünün aynaya olan uzakl›klar› birbirine eflittir. (d= d’)

AB cisminin görüntüsünü düzlem aynada oluflturmak için ise cismin A ve B noktalar›ndan düzlem aynaya ikifler ›fl›n gönderilir. Bu ›fl›nlar yans›ma kanunlar›na uygun olarak aynadan yans›t›l›r. Yans›yan ›fl›nlar›n uzant›lar› kesifltirilerek A ve B noktalar›n›n görüntüleri olan A´ ve B´ noktalar›n›n yerleri tespit edilir. Daha sonra bu iki nokta birlefltirilerek AB cisminin görüntüsü bulunur (fiekil 6.3).

Buna göre düzlem aynada görüntünün özellikleri; • Aynan›n arkas›nda,

• Zahirî,

• Düz,

• Cisimle ayn› boyda,

• Cismin aynaya olan uzakl›¤› ile görüntünün aynaya olan uzakl›¤› eflit, • Cismin görüntüsü aynaya göre simetriktir.

Düzlem aynaya dik olarak gelen bir ›fl›n kendi üzerinden geri yans›r (fiekil 6.4).

A B

A B

fiekil 6.3: Düzlem aynada bir görüntünün çizimi

fiekil 6.4: Düzlem aynada bir görüntünün çizimi

s(i) = 0^o , s(r) = 0^o 1.

Düzlem ayna üzerindeki bir noktaya (O) sabit gelme aç›s› alt›nda sonsuz say›da ›fl›n gelir (fiekil 6.5).

O fiekil 6.5

Cismin düzlem aynadaki görüntüsü; düz, cisimle ayn› boyda, zahirî, cismin aynaya olan uzakl›¤› ile görüntünün aynaya olan uzakl›¤› eflit ve aynaya göre simetriktir. (fiekil 6.6). A B A B fiekil 6.6 ‹lk Yans›ma N₁ Gelen ›fl›n ^{‹lk Yans›ma} N₁ Gelen ›fl›n N₂ Son Yans›ma α α 2α

fiekil 6.7: α aç›s› kadar dönen düzlem aynada ›fl›¤›n yans›mas›

(a) (b)

4. 3. 2.

Düzlem ayna üzerine düflen ›fl›n›n (fiekil 6.7 a) do¤rultusu de¤iflmeden, aynay› α aç›s› kadar döndürürsek (fiekil 6.7 b) ilk yans›ma do¤rultusundan yans›yan ›fl›n›n sapma miktar› 2 α olur.

Boyu x, gözünün yerden yüksekli¤i y kadar olan bir kiflinin düfley do¤rultuda as›l› duran aynada kendisini tamamen görebilmesi için;

y x x/2 y/2 fiekil 6.8 v -v fiekil 6.9

aynan›n boyu, cismin boyunun en az yar›s› x

2 ^{kadar, aynan›n yerden yüksekli¤i} ise gözün yerden yüksekli¤inin yar›s› kadar ^y

2 ^{olmal›d›r (fiekil 6.8).}

Bir cisim durmakta olan bir düzlem aynaya v h›z›yla yaklafl›rsa cismin görüntüsü aynaya (yere göre) -v, cisme ise -2v h›z› ile yaklafl›r (fiekil 6.9). Burada - iflaret cismin yönünün ifadesidir.

5.

Kesiflen iki düzlem ayna aras›ndaki aç› α kadar ise aynalar aras›na konulan A cisminin (fiekil 6.10) aynalarda oluflan görüntü say›s› (n);

A α

fiekil 6.10

Bir birine paralel olarak yerlefltirilen iki düzlem ayna aras›na konan A cisminin sonsuz say›da görüntüsü oluflur (fiekil 6.11).

Aralar›nda α aç›s› bulunan kesiflen iki düzlem aynadan birine gönderilen ›fl›n›n di¤er aynada yans›yan ›fl›n ile gelen ›fl›n aras›ndaki kesiflme aç›s› x kesiflme aç›s› (fiekil 6.12);

x = 180 - 2α ba¤›nt›s›yla bulunur. A fiekil 6.11 n = 360_a - 1 ba¤›nt›s›ndan bulunur. 7. 8. 9. α x fiekil 6.12

❂

10. Düzlem Aynan›n Görüfl Alan›:

Düzlem aynaya bakan bir gözlemcinin, ayna üzerinde görebilece¤i uzay parças›na, düzlem aynan›n görüfl alan› denir.

Görüfl alan› iki yolla bulunur:

Ölçekli olarak bölmelendirilmifl bölgede görüfl alan›n› bulabilmek için gözün oldu¤u noktadan aynan›n uç noktalar›na iki do¤ru çizilir. (Bu do¤rular görüfl alan›n›n s›n›rlar›nda bulunan cisimlerden gelerek aynadan yans›y›p göze ulaflan ›fl›nlard›r.) Do¤rular›n aynaya de¤di¤i noktada yüzeyin normalleri çizilir. Bu normallerde gelme ve yans›ma aç›lar› eflit olacak flekilde aynaya gelen ›fl›nlar yans›t›l›r (fiekil 6.13).

Burada 1 ve 2 nolu yans›yan ›fl›nlar aras›nda kalan alan ve do¤rular›n geçti¤i noktalar görüfl alan› içindedir.

Aynaya bak›lan noktan›n (G), aynaya göre simetri¤i al›n›r (G´). Simetri¤i al›nan noktadan, aynan›n uç noktas›na do¤rular çizilir. Aynan›n ön taraf›nda, çizilen bu do¤rular›n aras›nda kalan alan ve do¤rular›n geçti¤i noktalar görüfl alan›n› belirler.

N₁ ¹ N₂

2

A B C D

G

fiekil 6.13: Ölçekli bölmelendirmede görüfl alan›

G

G

fiekil 6.14: Düzlem aynada görüfl alan›

1.

Yerden 60 cm yükseklikte, boyu 80 cm olan düfley olarak duran dairesel düzlem aynan›n merkezinden 40 cm uzakl›kta x ›fl›k kayna¤› bulunmaktad›r. Aynaya çarparak yans›yan ›fl›nlar düzlem aynadan 160 cm uzakl›kta bulunan yeterince büyük düzlem düfley panonun kaç m2lik bölümünü ayd›nlat›r? (π=3)

160 cm D 60 cm 80 cm 40 cm F C A Ifl›k kayna¤› fiekil 6.15

Görüntü say›s›n› veren ba¤›nt›;

n = 360_{α - 1 idi. Sorudaki de¤erler yerine yaz›ld›¤›nda;} 7 = 360_{α - 1 ⇒ α = 45}^o olmal›d›r.

Örnek 6.1

Kesiflen iki düz ayna aras›na konulan bir cismin 7 görüntüsünün oluflabilmesi için aynalar aras›ndaki aç› kaç derece olmal›d›r?

Çözüm 6.1

Örnek 6.2

Çözüm 6.2

x ›fl›k kayna¤›n›n görüntüsü aynan›n 40 cm arkas›nda x´ olarak oluflur. Aynadan yans›yan ›fl›nlar x´ ›fl›k kayna¤›ndan geliyormufl gibi davran›r. Buna göre fiekil 6.16’ da verilen ACX´ ~ DFX´ dir. Benzer olan üçgenlerde benzerlik oran› yaz›lacak olursa;

A B C A B C D E F x x fiekil 6.16 Δ ^Δ

Düzlem aynan›n x ve y uç noktalar›na, O noktas›ndan ›fl›nlar gönderilerek yans›ma kanunlar›na uygun olarak yans›t›l›r. O noktas›ndan bakan gözlemci için yans›yan ›fl›nlar aras›nda kalan taral› bölge görüfl alan›n› oluflturur. Buna göre 2,3,4 ve 5 noktalar› O noktas›ndaki gözlemci taraf›ndan görülmektedir (fiekil 6.18).

Çözüm 6.3 Örnek 6.3

fiekil 6.17’deki gibi yerlefltirilmifl xy düzlem aynas›na O noktas›ndan bakan gözlemci hangi noktalar› görür?

1 O 2 3 6 5 4 x y fiekil 6.17 1 O 2 3 6 5 4 x y fiekil 6.18 AC D F ⁼ X'B X'E ⇒ AC =^X'B X'E ^{. D F olur.} AC =200 40 ^{. 80 = 400 cm olur.}

AC = 400 cm çap›nda panoda dairesel bir bölge ayd›nlat›l›r.

Dairenin yar›çap› = ^AC

2 ^{= 400}2 ^{= 200 cm = 2 m olur.}

Örnek 6.4

fiekildeki gibi yerlefltirilen düzlem aynaya G noktas›ndan bakan gözlemci hangi noktalar› görür? 1 O 2 3 G 5 4 fiekil 6.19 1 O 2 3 G 5 4 fiekil 6.20 Çözüm 6.5

G noktas›n›n görüfl alan› çizilir. Ancak verilen bu noktalardan 2’nin önüne gözlemci geldi¤inden 2. noktadan ç›kan ›fl›nlar aynaya ulaflamaz. Bu nedenle 2. nokta görüfl alan› içinde olmas›na ra¤men görüntüsü aynada oluflmaz. Öyleyse buna göre gözlemci sadece 1, 3 ve 4 noktalar›n› görmektedir (fiekil 6.20).

Örnek 6.5

fiekil 6.21’deki gibi oluflturulan sistemdeki K noktas›nda oluflan toplam ayd›nlanma fliddeti kaç lx’tür? 1 m 2 m ^K I=320 cd Ifl›k kayna¤› Düzlem ayna fiekil 6.21

Örnek 6.6

Toplam ayd›nlanma fliddeti ›fl›k kayna¤›ndan do¤rudan gelen ›fl›nlarla (E₁), aynadan yans›yarak gelen ›fl›nlar›n (E₂) K noktas›nda oluflturduklar› ayd›nlanma fliddeti kaynaklar›n ayr› ayr› oluflturduklar› ayd›nlanma fliddetlerinin toplam›na eflittir. Yans›yarak gelen ›fl›nlar, ayna arkas›ndaki görüntüden geliyormufl gibi davran›r (fiekil 6.22).

Aynada oluflan mumun görüntüsünün K noktas›na uzakl›¤› 4 m’dir. Bu durumda K noktas›nda oluflan toplam ayd›nlanma fliddeti;

1 m 1m 2m ^K

fiekil 6.22

fiekil 6.23’deki çocu¤un ve düzlem aynan›n yere göre h›zlar› verilmifltir. Buna göre;

a. Görüntünün yere göre h›z› nedir? b. Çocu¤un aynaya göre h›z› nedir? c. Çocu¤un görüntüye göre h›z› nedir?

v v_a= ⁵ 2 ^v fiekil 6.23 ET = I¹ r₁2 + I²

r₂2 olur. Verilenler yerlerine yaz›lacak olursa; E_T = 320

2^{2 + 320}4² ⇒ ET = 80 + 20 = 100 lx bulunur. Çözüm 6.5

Yukar›da verilen flekilde oldu¤ gibi ölçekli bir flekil üzerinde belirli bir süre sonunda, cisim, aynan›n ve görüntünün konumlar› çizilir (fiekil 6.24).

a. ‹lk görüntünün (g₁), ikinci görüntüye (g₂) göre, yer de¤ifltirmesi dört birimdir. Görüntünün yere göre h›z› olur.

b. Çocu¤un ve aynan›n ilk bulunduklar› konumda ( C₁ve A₁) aralar›ndaki uzakl›k 7 birimken, bir süre sonra ( C₁ve A₂) 8,5 birim oluyor. O halde çocu¤un aynaya göre h›z› olur.

c. Çocu¤un ve görüntünün ilk bulunduklar› konumda (C₁ ve g₁) aralar›ndaki uzakl›k 14 birimken, bir süre sonra (C₂ ve g₂) 17 birim oluyor. O hâlde çocu¤un g ö r ü n t ü s ü n e göre h›z› olur. Örnek 6.7 C₁ C₂ A₁ A₂ g₁ g₂ fiekil 6.24 Çözüm 6.6 A D B 80o C 60^o 1 2 fiekil 6.25

Düfley kesiti ABCD dikdörtgeni olan kutunun içinde düz bir ayna vard›r. Gelen I ›fl›n› (1) do¤rultusunda yans›yor. Kutu içindeki ayna α aç›s› kadar dönderilir ise (2) do¤rultusunda yans›yor. Buna göre düzlem ayna kaç derece dönderilmifltir?

4v

3v 1.5v

❂

❂

‹stenilen amaca düzlem aynalardan yararlan›larak ulafl›lamayaca¤›n›n anlafl›lmas› üzerine bu alan›n küçültülmesi için araflt›rmalar artm›fl ve yans›yan ›fl›nlar›n toplanma alanlar›n› küçültmek için en uygun fleklin e¤ri bir yüzey oldu¤u anlafl›lm›flt›r. Bu e¤ri yüzeyin ad› paraboloit yüzeydir.

Bir parabolün asal ekseni etraf›nda döndürülmesiyle elde edilen yüzeye paraboloit yüzey denir. Bu yüzeyler ayna haline getirilirse, bunlara paraboloit ayna denir.

Belgede ÜN‹TE I (sayfa 41-119)