2. DEMİRYOLLARI
2.1. Osmanlı Döneminde Yapılan Hatlar
Wilson et al. (1973) estenderam o m´etodo da acelera¸c˜ao linear (Newmark-β com γ = 1
2 e β = 1
6) de maneira a torn´a-lo incondicionalmente convergente. A hip´otese
b´asica do m´etodo Wilson-θ ´e que a acelera¸c˜ao ¨d varia linearmente em um per´ıodo estendido de tempo ∆tθ = θ ∆t. Durante esse passo de tempo a acelera¸c˜ao incre-
mental ´e ∆ ¨dθ= θ ∆ ¨d.
O parˆametro θ deve ser sempre maior que 1, sendo que para θ ≥ 1, 37 o m´etodo ´e incondicionalmente convergente. O valor ´otimo de θ ´e de 1,420815, podendo ser
arredondado para 1,42 (Weaver Jr. e Johnston, 1987; Chopra, 1995). Para θ = 1, o m´etodo se resume ao m´etodo da acelera¸c˜ao linear.
Este m´etodo tende a introduzir um amortecimento num´erico nos modos mais altos do sistema. Em problemas em que este modos s˜ao importantes, os erros in- troduzidos s˜ao grandes. Al´em disso, as equa¸c˜oes de equil´ıbrio dinˆamico n˜ao s˜ao satisfeitas. Devido a estas deficiˆencias, Wilson (2006) n˜ao recomenda seu uso.
O conjunto de equa¸c˜oes que representam esse m´etodo ´e o seguinte:
˙ d(i+1) = ˙d(i)+ ∆t 2 ¨ d(i)+ ¨d(i+1) (2.131)
d(i+1) = d(i)+ ˙d(i) ∆t +(∆t)
2
6
2 ¨d(i)+ ¨d(i+1) (2.132)
f
Kθ(i) ∆d(i)θ = ∆ eFθ(i) (2.133)
f Kθ(i) = K(i)+ 6 (θ ∆t)2 M + 3 θ ∆t C (2.134) ∆ eFθ(i) = θ ∆F(i)+ 6 θ ∆t M + 3 C ˙ d(i)+ 3 M +θ ∆t 2 C ¨ d(i) (2.135) ∆ ¨d(i) = 1 θ ∆ ¨d (i) θ (2.136) ∆ ˙d(i) = ∆t ¨d(i)+∆t 2 ∆ ¨d (i) (2.137) ∆d(i) = ∆t ˙d(i)+ (∆t) 2 2 d¨ (i)+(∆t)2 6 ∆ ¨d (i) (2.138)
M´ETODO DOS ELEMENTOS
FINITOS PARA AN ´ALISE
GEOMETRICAMENTE
N ˜AO-LINEAR
No M´etodo dos Elementos Finitos, ao se assumir que os deslocamentos s˜ao pe- quenos e que as condi¸c˜oes de contorno n˜ao variam ao longo do tempo, assim como as cargas aplicadas, o sistema de equa¸c˜oes de equil´ıbrio ´e da forma:
Kd= F (3.1)
em que K ´e a rigidez do sistema, d ´e o vetor de deslocamentos nodais e F ´e o vetor de for¸cas totais nos n´os.
Observa-se que esse sistema ´e linear, ou seja, d ´e uma fun¸c˜ao linear de F . Se o vetor de cargas nodais totais fosse αF , o vetor de deslocamentos seria αd. Nos sistemas n˜ao-lineares, isto n˜ao ocorre.
A n˜ao-linearidade geom´etrica caracteriza-se por assumir que os deslocamentos e as deforma¸c˜oes s˜ao de grande monta, o que contraria as hip´oteses assumidas anteri- ormente para a an´alise linear.
Para o caso de cargas que variam ao longo do tempo, a resposta do sistema ´e calculada atrav´es de uma an´alise incremental iterativa, que se reduz `a an´alise de um passo para um caso est´atico. Entretanto, por raz˜oes computacionais, mesmo um caso est´atico requer uma solu¸c˜ao com v´arios passos. Bathe (1982) recomenda o
uso do m´etodo iterativo de Newton-Raphson modificado para a solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes n˜ao-lineares. Por´em, o m´etodo iterativo de Newton-Raphson padr˜ao ´e mais est´avel, apesar de demandar um esfor¸co computacional maior.
Como n˜ao poderia deixar de ser, a an´alise geometricamente n˜ao-linear tem como fundamento os princ´ıpios b´asicos da mecˆanica. As formula¸c˜oes Euleriana e La- grangeana s˜ao propostas para a descri¸c˜ao do movimento de s´olidos. Na formula¸c˜ao Euleriana as coordenadas espaciais, associadas ao corpo deformado, s˜ao utilizadas como referˆencia, enquanto na formula¸c˜ao Lagrangeana empregam-se as coordenadas materiais, associadas com o corpo antes de ser deformado.
A formula¸c˜ao Lagrangeana ´e particularmente adequada para a an´alise n˜ao-linear incremental iterativa de s´olidos, em que o interesse ´e a trajet´oria de deforma¸c˜oes de cada ponto do s´olido durante o processo de carregamento. Em contraponto, a formula¸c˜ao Euleriana tem sido amplamente adotada na an´alise de problemas de mecˆanica dos fluidos, em que a aten¸c˜ao ´e focada no movimento de material atrav´es de volumes de controle espec´ıficos (Bathe, 1982; Yang e Kuo, 1994).
A formula¸c˜ao das teorias incrementais para a an´alise n˜ao-linear come¸ca com a divis˜ao da trajet´oria de carregamento de um s´olido em um certo n´umero de confi- gura¸c˜oes de equil´ıbrio. Como mostrado na figura 3.1, trˆes configura¸c˜oes do s´olido podem ser definidas em termos de um sistema de coordenadas cartesianas estacio- n´arias: a configura¸c˜ao inicias indeformada (C0), a ´ultima configura¸c˜ao deformada
conhecida (C1) e a configura¸c˜ao deformada atual (C2). Assume-se que todas as
vari´aveis de estado, tais como tens˜oes, deforma¸c˜oes e deslocamentos, assim como a trajet´oria de carregamento, s˜ao conhecidas at´e a configura¸c˜ao (C1).
O problema resume-se em formular um teoria incremental para determinar todas essas vari´aveis na configura¸c˜ao deformada atual C2, assumindo que as for¸cas externas
atuantes no s´olido em C1 foram acrescidas de uma pequena quantidade. O passo
que caracteriza o aumento de deforma¸c˜ao do s´olido de C1 a C2 ´e denominado passo
deforma¸c˜oes do s´olido acumuladas de C0 a C1 ou C2 podem ser grandes.
Figura 3.1: Deslocamento do s´olido em um espa¸co tridimensional.
A nota¸c˜ao tensorial usada por Bathe (1982), com as modifica¸c˜oes propostas por Yang e Kuo (1994) ser´a adotada ao longo do texto e explicada a seguir. Tamb´em ser´a adotada a nota¸c˜ao indicial de Einstein para os termos tensoriais, com o uso do ´ındice mudo. Ou seja, quando o mesmo ´ındice aparecer duas vezes em um termo matem´atico, dever´a ser atribu´ıdo a ele todos os valores poss´ıveis e os resultados somados entre si.
A descri¸c˜ao do movimento do s´olido ´e baseada nas trˆes configura¸c˜oes anteri- ormente apresentadas, C0, C1 e C2. Em um s´ımbolo, tanto o subscrito quanto o
sobrescrito esquerdo indicam essas configura¸c˜oes. O sobrescrito esquerdo indica em qual configura¸c˜ao a grandeza ocorre. Sua ausˆencia indica que a grandeza ´e um in- cremento entre C1 e C2. O subscrito esquerdo indica em rela¸c˜ao a qual configura¸c˜ao
a grandeza ´e medida. Por´em, se a grandeza em considera¸c˜ao ocorre na mesma con- figura¸c˜ao em que ´e medida, o subscrito esquerdo pode ser omitido. As tens˜oes de Cauchy em C2 podem ser escritas como 2τij ou22τij, por exemplo.
Quando um s´olido muda sua configura¸c˜ao de C0 para C2, atrav´es de C1, de-
vido a alguma a¸c˜ao f´ısica (Figura 3.1), admite-se que as mudan¸cas s˜ao cont´ınuas. Denomina-se o volume do s´olido nas trˆes configura¸c˜oes como0V , 1V e2V , a ´area de
sua superf´ıcie por 0A, 1A, 2A e sua densidade por0ρ, 1ρ e 2ρ.
Denominam-se as coordenadas de um ponto material arbitr´ario P dentro do s´olido nas trˆes configura¸c˜oes por (0x
1, 0x2, 0x3), (1x1, 1x2, 1x3) e (2x1, 2x2, 2x3),
em que o subscrito direito se refere ao eixos coordenados (Figura 3.1). A nota¸c˜ao para os deslocamentos do ponto P pode ser definida de maneira similar. Utiliza-se a nota¸c˜ao (1u
1, 1u2, 1u3) e (2u1, 2u2, 2u3) para denominar os deslocamentos totais
do ponto P nas configura¸c˜oes C1 e C2, respectivamente. Portanto, as coordenadas
do ponto P em C1 e C2 s˜ao escritas como: 1x
i =0xi+1ui (i = 1, 2, 3) (3.2) 2x
i =0xi+2ui (i = 1, 2, 3) (3.3)
e o deslocamento incremental do ponto P , de C1 a C2, ´e dado por:
ui =2ui−1ui (i = 1, 2, 3) (3.4)
Definida a nota¸c˜ao para as coordenadas e deslocamentos, pode-se passar para a defini¸c˜ao de algumas medidas de deforma¸c˜oes e tens˜oes que ser˜ao utilizadas na formula¸c˜ao apresentada neste cap´ıtulo.
3.1
Medidas de Deforma¸c˜oes e Tens˜oes
A princ´ıpio, diversos tensores de deforma¸c˜oes e tens˜oes podem ser empregados no estudo da n˜ao-linearidade geom´etrica de s´olidos. Entretanto, se o objetivo ´e estabelecer um procedimento efetivo para an´alise geral atrav´es de elementos finitos, apenas algumas poucas medidas de deforma¸c˜oes e tens˜oes precisam ser consideradas. Neste trabalho ser˜ao consideradas apenas as deforma¸c˜oes de Green-Lagrange e as tens˜oes de Piola-Kirchhoff e de Cauchy.