3. OBLONG SAYILARI VE KUADRATİK FORMLAR
3.2 Oblong Sayıları ve Kuadratik Formlar
dir ve bu toplam cooblong sayılarına bağlı olarak
4 3
2 2
1
k k k
i i
o o o
şeklinde de verilebilir. Üstelik bu sayılar ile ilgili olarak aşağıdaki sonuçlar verilebilir (ispatları bir önceki teoremlere benzer şekilde yapılabilir).
3.1.5 Teorem. Cooblong sayıları başlangıç değerleri 5o0 1,o13, o2 ve tam-sayısı için
3 k
3 2
1 3
3
k k k
k o o o
o
genel terimi ile verilen bir tamsayı dizisidir (Gözeri ve ark 2013).
3.1.6 Teorem. Cooblong sayılarının üreteç fonksiyonu
3 2 2
3 3 1 ) 1
( x x x
x x
o
dür (Gözeri ve ark 2013).
3.1.7 Teorem. k 3 tamsayısı için cooblong sayıları
6 2 4 2 2 2
2k 3o k 3o k o k
o ve o2k13o2k13o2k3o2k5 indirgeme bağıntılarını gerçekler (Gözeri ve ark 2013).
3.1.8 Teorem. Cooblong sayılarının ardışık iki teriminin basit sürekli kesirli açılımı ]
2 ,
; 1
1 [ k
o o
k k dir (Gözeri ve ark 2013).
3.2 Oblong Sayıları ve Kuadratik Formlar
Bu alt bölümde, bu bölümün bir önceki kısmında ele alınan oblong sayılarına bağlı ola-rak tanımlanan ikinci dereceden bir form olan Pell formu ve Pell denklemi ele
alınacak-tır. Bu Pell formun indirgenmişinin devri ve has devri ile Pell formun has otomor-fizmlerinin kümesi elde edilecektir. Ayrıca Pell denkleminin tamsayı çözümleri ve bu çözümler arasında indirgeme bağıntıları verilecektir. Elde edilecek tüm sonuçların oblong ve dolayısıyla cooblong sayılarına bağlı olduğu gösterilecektir.
Bunun için ilk olarak kuadratik formlar ile ilgili bazı temel kavramlar ve notasyonlar verilecektir.
3.2.1 Tanım. a ,,b c olmak üzere
aX2bXY cY2 şeklindeki polinomlara kuadratik (ikinci dereceden) form denir ve bu form kısaca katsa-yılar yardımıyla ile gösterilir (Flath 1989). F (a,b,c)
Bu formun determinantı ) ile gösterilir ve olarak tanımlanır. Üste-lik “F tam ”, “F pozitif tanımlı 0
(F
ac b
F) 4
( 2
, 0 )
( c b
a ,, F a,c ” ve “F belirsiz
(indefinite) formdur F( )0” dır.
3.2.2 Tanım. 0 tam kare olmayan bir tamsayı olmak üzere F( yx, ) Pell formu
1(mod4) ise
4 1
ise ) 4 (mod 4 0
) ,
( 2 2
2 2
y xy
x
y x
y x F
olarak tanımlanır (Flath 1989).
Bu Pell form yardımıyla Pell denklemi F(x,y)1 olarak tanımlanır.
1 ,
, , ,
,
r s t u ru st
u t
s
g r
şeklindeki matrislerin kümesi SL(2, ) olmak üzere, SL(2, ) matrislerin çarpma işle-mine göre bir gruptur. Bu matrise karşılık gelen
z için 1 ,
)
(
ru st
u tz
s z rz
T z
biçiminde tanımlı dönüşümlerin kümesi PSL(2, ) de dönüşümlerin bileşke işlemine göre bir gruptur. Şu halde bu iki grup arasında bir
u tz
s rz u t
s r
:SL(2,) PSL(2,)
grup homomorfizmi vardır. Bu homomorfizmin çekirdeği
} { :
) , 2 ( SL )
(
Çek z I
u t
s r u
t s
r
dir. Buna göre birinci izomorfizm teoremi gereği SL(2,)/{I} grubu ile grubu izomorftur. homomorfizmi üzerine olduğundan
)) , 2 ( SL
(
) , 2 ( PSL } /{
) , 2 (
SL I
dir. grubu, modüler grup olarak isimlendirilir ve genellikle ile gösterilir. PSL(2,) z
z
R( ) , sanal eksene göre yansıma dönüşümü olmak üzere R kümesi de bir grup olup bu gruba genişletilmiş modüler grup denir ve ile gösterilir, yani
R
dır. Dolayısıyla yukarıda belirtilen açıklamalar neticesinde, r,s,t,u ve ru st 1 olmak üzere
u tz
s rz
dönüşümü (yani modüler veya genişletilmiş modüler grubun
ele-manları)
u t
s g r
matrisi ile gösterilecektir.
Formların birçok önemli özelliği (denkliği, devirleri, has devirleri, indirgenmişi) modü-ler veya genişletilmiş modümodü-ler grup yardımıyla verilir. F (a,b,c) herhangi bir form
ve
u t
s
g r dönüşümü için F nin g altındaki gF resmi
2 2 2
2 2 2
) (
) 2 2
( ) (
) , (
Y cu btu at
XY csu bts
bru art X
cs brs ar Y X gF
olarak tanımlanır. Bu tanıma göre de ikinci dereceden bir form olup F ile aynı de-terminantlı, yani dir. Yukarıdaki tanıma göre
gF ) ( )
(F gF
) ,
(rX tY sX uY F
gF
dir. gF nin bu şekildeki tanımı genişletilmiş modüler grubun formlar kümesi üzerinde bir grup etkisidir, yani her g,h için
g(hF) = (gh)F ve F = F
1 0
0 1
dir.
F ve G herhangi iki form olsun. gF olacak şekilde en az bir g varsa bu iki for-G ma denktir denir. det(g)1 ise formlara has denk, det(g)1
gF
ise has olmayan denk denir. Eğer bir g dönüşümü F yi kendisine resmediyor, yani ise g ye F nin bir otomorfizmi denir. Eğer
F 1
) det(g
ise g ye has otomorfizm, ise has olma-yan otomorfizm denir. F nin has otomorfizmlerinin kümesi , has olmayan oto-morfizmlerinin kümesi ise ile gösterilir.
1 ) g
) F det(
( Aut )
(F Aut
) , , (a b c
F belirsiz formu için | 2|a ||b eşitsizliği gerçekleniyor ise F ye indirgenebilir form denir. Eğer F formu indirgenebilir değilse, bu form aşağıda verilen indirgeme algoritması kullanılarak indirgenebilir hale getirilebilir (Buell 1989).
3.2.3 Teorem. F (a,b,c) belirsiz formu indirgenebilir olmasın. Bu takdirde i0 için
|
| |
| ) 2 sgn(
|
| |
| ) 2 sgn(
i i
i i
i i
i i
i
c c c b
c c c b r
olmak üzere F nin indirgenmişi
) ,
2 ,
( )
( 2
1
i i i i i i i i i
i F c b cr cr br a
dir (Buchmann ve Vollmer 2007).
Bu teoreme göre, F formu indirgenebilir değilse bu forma yukarıdaki algoritma uygula-narak formu elde edilir. Eğer indirgenebilir değilse, bu forma bir kez da-ha indirgeme algoritması uygulanarak formu elde edilir. Bu şekilde devam edi-lirse sonlu bir adımda indirgenebilir formu elde edilmiş olur. Elde edilen bu son forma, F nin indirgenmişi denir. Üstelik
)
1(
F 1(F)
2(
F
)
( 1 j
j F)
g r
1 1 0
için dir. Dolayısıyla F ve birbirine has denktir. Belirsiz formların devirleri ve has devirleri aşağıdaki gibidir.
gF F)
1(
1(F)
3.2.4 Tanım. indirgenebilir belirsiz formunun devri, birbirine denk olan formların bir dizisidir. Bu dizideki formlar için
) , , (a b c F
2
1~ ~
~F F 1
0 ~Fl
F i0
2| i |
i
i c
s b
olmak üzere
)
|,
| 2
|,
(| 2
1 i i i i i i i i i
i c b s c a bs cs
F
şeklindedir. (F)(a,b,c) dönüşümü için F nin has devri, birbirine has denk olan formların bir dizisi olup bu dizi l çift iken
) (
~
~
~ ) (
~
~ ) (
~ 1 2 3 2 1
0 F F F Fl Fl
F
ve l tek iken
) (
~
~
~ ) (
~
~ ) (
~
~ ) (
~
~ ) (
~
~ ) (
~ 1 2 3 2 1 0 1 2 2 1
0 F F F Fl Fl F F F Fl Fl
F
dir (Buchmann ve Vollmer 2007).
Kuadratik formlarla ilgili olarak bu açıklamalardan sonra esas problem ele alınabilir.
oblong sayısı için olarak tanımlansın. Bu seçim olması için yapılmıştır. Bu takdirde Tanım 3.2.2 den Pell formu
Ok k 4Ok k 0(mod4)
2
) 2
,
(x y x O y
F k
k
dır. Dolayısıyla bu Pell forma karşılık gelen Pell denklemi de
1
Bu açılım oblong sayılarına bağlı olarak
şeklinde de verilebilir. Buna göre aşağıdaki teorem verilebilir.
3.2.5 Teorem. F (x,y)1 Pell denkleminin temel çözümü
indirgeme bağıntısı vardır (Tekcan ve Özkoç 2013).
İspat.
O olduğundan bu devrin uzunluğu 2 dir.
Dolayısıyla Sonuç 1.2.8 gereği
1 denklemin bir çözümü, yani
),
olsun. Bu takdirde Teorem 1.2.7 (i) gereği denklemin tüm çözümleri şeklindedir.
Denklemin temel çözümü (x1,y1)( 4Ok 1,O1) olduğundan Teorem 1.2.11 gereği denklemin çözümleri arasında
1
şeklinde bir indirgeme bağıntısı olduğu açıktır.
O oblong sayısı için k
matrisi tanımlansın. Bu takdirde aşağıdaki teorem verilebilir.
3.2.6 Teorem. n1 tamsayısı için M matrisinin n. kuvveti
(ii) tek iken n
için olsun. Bu takdirde
olduğundan
elde edilir (Burada
2
olduğu dikkate alınmıştır). Benzer şekilde
]
olduğu gösterilebilir. O halde eşitlik her n için gerçeklenmiş olur. nin tek olması du-rumu da benzer şekilde gösterilebilir.
n
3.2.7 Teorem. F (x,y)1 Pell denkleminin tamsayı çözümleri, için
İspat. Tümevarımla benzer şekilde gösterilebilir.
Şimdi Pell formu ele alınabilir. Burada ilk olarak bu formun indirgenmişi, indir-genmişinin devri, has devri ve son olarak da bu formun has otomorfizmleri kümesi ele alınacaktır.
Fk
dir (Tekcan ve Özkoç 2013).
İspat. Pell formu indirgenebilir değildir. Çünkü Fk
formu elde edilir. Bu form indirgenebilir olmadığından bir kez daha indirgeme algorit-ması uygulanırsa
2
2
1 4 ,1 1 1 4 , 1 )
2( k
k
O O F k
formu elde edilir. Bu form indirgenebilir olduğundan teorem ispatlanmış olur.
Fk formunun 2(Fk) indirgenmişinin devri ve has devri ise aşağıdaki gibidir.
3.2.9 Teorem. 2( ) formunun devri uzunlukludur ve Fk
2
, 4 1 1, 1
2 1 1
~ 4 2
1 4 ,1 1 1 4 ,
1 k Ok Ok Ok
O
şeklindedir. Has devri ise
, 4 1 1,1
2 1 4
~ 1 2
1 4 ,1 1 1 4 ,
1 k Ok Ok Ok
O
dir (Tekcan ve Özkoç 2013).
İspat.
2
1 4 ,1 1 1 4 , 1 ) ( ,0
2 k
k
O O F k
olsun. Bu takdirde Teorem 3.2.5
ge-reği s0 O1 olup
, 4 1 1, 1
2 1 1 ) 4
( ,1
2
k
k O
F O
k
dir. Bu son form için s1 4Ok 11 olup
) 2 (
1 4 ,1 1 1 4 , 1 )
( ,2 ,0
2 2
k
k O F
O
F k k
dir. Dolayısıyla formunun devri dir. Bu devrin uzunlu-ğu olduğundan yine aynı teorem gereği has devri
)
2( Fk
2(Fk,0)~ 2(Fk,1)
2 l
, 4 1 1,1
2 1 4
~ 1 2
1 4 ,1 1 1 4 ,
1 k Ok Ok Ok
O olarak elde edilir.
O oblong sayısı için k
4 1
1 4
1
1 k k
k
F OO O
O g O
k
matrisi tanımlansın. Bu takdirde aşağıdaki teorem verilebilir.
3.2.10 Teorem. yukarıdaki matris olmak üzere
F k
g
(i) FkPell formunun has otomorfizmlerinin kümesi } :
{ )
(
F g n
Aut Fn
k k
dir.
(ii) n1 için F (x,y)1
k Pell denkleminin tamsayı çözümleri
0
) 1 ( Fn t
n n
k
y g x
olmak üzere (xn,yn) dir (Tekcan ve Özkoç 2013).
İspat. Tümevarımla yapılabilir.
3.2.11 Örnek. k 3 olsun. Bu takdirde O312 ve 12 [3;2,6] dir.
24 7
2 7
F 3
g
olupF3(x,y):x212y2 1 Pell denkleminin tamsayı çözümleri
75658 262087 0
) 1 (
5432 18817 0
) 1 (
390 1351 0
) 1 (
28 97 0
) 1 (
5 5
5
4 4
4
3 3
3
2 2
2
3 3 3 3
t F
t F
t F
t F
y g x y g x y g x y g x
şeklinde devam etmektedir.
2 2 12 )
,
3(x y x y
F formunun indirgenmişi ( ) (1,6, 3) olup bu formun devri
3
2 F
) 1 , 6 , 3 ( ) (
~ ) 3 , 6 , 1 ( )
( 3,0 2 3,1
2 F F
ve has devri
) 1 , 6 , 3 ( ) (
~ ) 3 , 6 , 1 ( )
( 3,0 2 3,1
2 F F
dir. F3 ün has otomorfizmlerinin kümesi ise
} : {
)
( 3 3
F g n
Aut Fn
dir.
3.2.12 Not. Ok bir oblong sayısı olmak üzere k. cooblong sayısı
k
k O
o 14
olarak tanımlanmıştı. Bu alt bölümde elde edilen tüm teoremlere dikkat edilirse her bi-rinde 14Ok ifadesinin olduğu görülür. Dolayısıyla elde edilen tüm bağıntılar coob-long sayılarına bağlı olarak elde edilmiş olur.