BALANS SAYILARI

Bu bölümde balans sayıları ve bu sayıların Pell ve Pell-Lucas sayıları ile olan ilişkisi ele alınacaktır.

Balans sayıları tamsayı dizilerinde yeni bir konu olup ilk defa 1999 yılında Panda ve Behera tarafından ele alınmıştır ve esasında r pozitif bir tamsayı olmak üzere

) ( )

2 ( ) 1 ( ) 1 ( 2

1  n  n  n  nr (4.1) şeklindeki Diophantine denklemleri ile çalışılırken ortaya çıkmıştır. (4.1) eşitliğini ger-çekleyen pozitif n tam sayısına bir balans sayısı denir. Bu eşitlikteki r sayısına ise ba-lans sayısının baba-lansırı-dengeleyicisi (veya cobaba-lans sayısı) denir. Örneğin 6, 35, 204 sayıları, cobalansları sırasıyla 2, 14, 84 olan birer balans sayısıdır.

(4.1) eşitliğinden

2 ) 1 ( 2

) 1

( 



  r r

n rn n

olup bu denklem r ve n ye göre çözülürse

2

1 8 8 1 ve 2

2

1 8 ) 1 2

(   ²     ² 

  r r r

n n

r n (4.2)

elde edilir. Buna göre, n bir balans sayısı ise aşağıdaki ifadeler birbirine denktir:

i. n bir balans sayısıdır.

ii. n² bir üçgensel sayıdır, yani k ^ için

2 ) 1

2  k(k

n dir.

iii. 8n²1 bir tam karedir.

Balans sayıları ve cobalans sayıları ile gösterilirse bu sayılar için indirgeme for-mülleri, için

Bn b_n

2 n

6 ,

1 ₂

1 B 

B , B_n16B_n B_n1 b₁0,b₂ 2, b_n1 6b_nb_n12 şeklindedir.

(4.2) eşitliğine göre, B_n balans ve cobalans sayıları olduğundan b_n 1

8 8 ve 1

8B_n² b_n² b_n  birer tam karedir. Buna göre

1 8 8 ve

1

8 ²  ² 

 _{n n n n}

n B c b b

C

olarak tanımlanan sayılara ise sırasıyla n. Lucas balans ve n. Lucas cobalans sayıları denir. Behera ve Panda (1999) balans sayıları için aşağıdaki sonuçları elde etmişlerdir.

4.1 Teorem. Her bir n1 tamsayısı için

) (

) 1 )(

1 (

1 1 1

2

21 2 2

1 1 1

1







































n n n n

n n n

k n k k n k n

n n

n n

B B B B

B B B

B B B B B

B B

B B

dir (Behera ve Panda 1999).

4.2 Teorem. m ve k doğal sayılar ve km olmak üzere

k m k m k m k

m B B B B B

B  )(  ) _{ } (

dır (Panda 2009).

4.3 Teorem. B_m balans sayısı için

)

( ₁

2 2

1

1 2

4 2

1 2 2 3

1











































m m m m

m m m

m m

B B B B B

B

B B B B

B

B B

B B

dir (Panda 2009).

Behera ve Panda (1999), verilen herhangi bir x ve y balans sayıları için 1 8 6 17 ) ( , 1 8 3 ) ( , 1 8 2 )

(x  x x²  G x  x x²  H x  x x²  F

ve

1 8 1 8 ) ,

(x y  x y²   y x²  f

fonksiyonlarını tanımlamışlar ve aşağıdaki teoremi elde etmişlerdir.

4.4 Teorem. Her bir x ve y balans sayıları için, yukarıda tanımlanan F, G ve H fonksi-yonlarının x de aldığı değer ile f fonksiyonunun de aldığı değer de birer balans sayısıdır (Behera ve Panda 1999).

) , ( yx

Balans sayılarına benzer şekilde Ray (2009) da herhangi iki x ve y cobalans sayıları için

1 1 8 8 ) 1 2 ( 1 8 8 ) (

8 1 8 8 6 17 ) (

1 1 8 8 3 ) (

2 2

2 2





































x x x

x x x h

x x x

x g

x x x x f

] 1 1 8 8 1 8 8

1 8 8 ) 1 2 (

1 8 8 ) 1 2 ( ) 1 2 )(

1 2 ( 2 2[ ) 1 , (

2 2

2

2



































y y x

x

x x y

y y x

y x

y x t

fonksiyonlarını tanımlayarak aşağıdaki teoremleri vermiştir.

4.5 Teorem. Herhangi iki x ve y cobalans sayısı için yukarıda tanımlanan fonk-siyonlarının x de aldığı değer ile t fonksiyonunun de aldığı değer de birer coba-lans sayısıdır (Ray 2009).

h g f, , )

, ( yx

4.6 Teorem. x herhangi bir cobalans sayısı olmak üzere, x den önce ve sonra gelen co-balans sayıları sırasıyla

1 1 8 8 3 )

~( ₂









 x x x

x

f ve f(x)3x 8x²8x11 fonksiyonlarının x de aldığı değerlerdir (Ray 2009).

Ray (2009) balans sayıları ile Pell sayıları arasındaki ilişkiyi ortaya çıkartarak Pell sayı-ları ile ilgili bazı cebirsel özellikleri balans sayısayı-larına bağlı olarak ifade etmeyi başar-mıştır. x in bir balans sayısı iken in bir tam kare olacağı gerçeğinden hareketle Ray (2009) aşağıdaki gibi bir ilişki ortaya çıkarmıştır:

1 8x²

0

y için 1

8 1

8x²   y²  y²  x² 

olsun. Bu durumda bir Pell denklemi olup bu Pell denkleminin temel çö-zümü

1 8 ²

2  x  y

) 1 , 3 ( ) ,

(y₁ x₁  dir. Dolayısıyla da denklemin diğer tüm tamsayı çözümleri Teo-rem 1.2.9 gereği n1 için

n n

n x

y  8(3 8) şeklindedir. Benzer şekilde

n n

n x

y  8 (3 8) dir. Bu son iki eşitlikten

8 2

) 8 3 ( ) 8 3

( ^{n n}

xn   



elde edilir. Bu ise balans sayıları için Binet formülüdür. Buna göre 8

3 ve 8

3  

 



olarak alınırsa











 ⁿ  ⁿ

xn olur. O halde balans sayıları için Binet formülü











 ⁿ ⁿ Bn

dir. Buna göre aşağıdaki teorem verilebilir.

4.7 Teorem. B_n balans sayısı için







 

 3 8

lim ¹

n n

n B

B

dir (Behera ve Panda 1999).

Pell sayılarının karakteristik denkleminin kökleri olan  1 2 ve  1 2 sayıla-rı için

² 32 2 ve ² 32 2 olduğundan balans sayılarının Binet formülü  ve  ya bağlı olarak

2 4

2

2n n

Bn  

elde edilir. Dolayısıyla da balans sayıları ile Pell sayıları arasında bir ilişki kurulmuş olur. Balans sayılarına benzer şekilde cobalans, Lucas balans ve Lucas cobalans

sayıla-rının Binet formülleri de yine Pell sayılasayıla-rının karakteristik denkleminin köklerine bağlı olarak

ve 2

şeklindedir (Panda ve Ray (2005) ve (2011)).

Yukarıda verilen balans sayıları ile ilgili cebirsel bağıntılardan farklı olarak aşağıdaki teoremler verilebilir.

4.8 Teorem. Balans sayılarının Pell sayıları ile olan ilişkisi

2

şeklindedir (Gözeri ve ark 2013).

İspat. Pell ve balans sayılarının Binet formülleri

2

olduğundan

2 1

dır. Diğer eşitlikler de benzer şekilde gösterilebilir.

Yukarıdaki teoremden aşağıdaki sonuç verilebilir.

4.9 Sonuç. Balans ve Pell sayıları için Lucas cobalans ve balans sayıları arasındaki ilişki

1

(vii) çift tamsayısı için n. balans ve cobalans sayılarının toplamı tam karenin 1 eksiği, yani

2 n

1 ) (  ₁ ² 



 _{n n n}

n b P P

B

dir. Farkları ise iki kare farkının 1 fazlası, yani

2 1

2  1



 _{n n n}

n b P P

B dir. (Gözeri ve ark 2013).

İspat. Yukarıdaki teoreme benzer şekilde balans sayıları ve Pell sayısının Binet formül-lerinden elde edilir.

Panda ve Ray (2011), Pell sayılarının terimlerinin toplamları ile balans sayıları arasında aşağıdaki gibi sonuçlar elde etmişlerdir.

4.10 Teorem. İlk Pell sayısının toplamı, . balans ve cobalans sayılarının top-lamına eşittir, yani

) 1 2

( n n

n n n

i

i B b

P  



^

 1 2

1

dir (Panda ve Ray 2011).

4.11 Teorem. İlk ( n2 ) Pell sayısının toplamı, n. balans ve (n1). cobalans sayılarının toplamına eşittir, yani

1 2

1









ⁿ  ^{n n}

i

i B b

P dir (Panda ve Ray 2011).

4.12 Teorem. 1 den n ye kadar çift Pell sayılarının toplamı cobalans sayısına eşittir, yani

).

1 (n

1 1

2 





ⁿ  ⁿ

i

i b

P dir (Panda ve Ray 2011).

Yukarıda verilen teoremlerden farklı olarak aşağıdaki üç teorem verilebilir.

4.13 Teorem. Balans sayılarının toplamları sayıları için



eşitliklerinin doğru olduğu dikkate alınırsa

 

elde edilir. Diğer eşitlikler de benzer şekilde gösterilebilir.

Ayrıca, Pell ve Pell-Lucas sayılarının toplamları ile balans sayıları arasında da bir ilişki vardır. Bu ilişki ise aşağıdaki iki teoremde verilmiştir (İspatları yukarıdaki teoreme ben-zer şekilde yapılabilir).

4.14 Teorem. P_n Pell sayısı için

(i) 0 dan ( n2 ) ye kadar (2i1). ve(2i2). Pell sayılarının toplamı, Lucas balans ve Lucas cobalans sayılarının çarpımı, yani

).

1 (n

1 1 2

0

2 2 1

2 )

( _{ }





  



^{n n n}

i

i

i P C c

P dir.

(ii) 0 (veya 1 den) dan ( n2 ) ye kadar tek ve çift Pell sayılarının toplamları

n n n

i i n

n n

i i n

n n

i

i B C P c P P B C

P 2 2

2

1 1 2 1

2 1 2

0 1 2 1

2

1 1

2 





























dir (Gözeri ve ark. 2013).

4.15 Teorem. Q_n Pell-Lucas sayısı için

(i) 0 dan e kadar Pell-Lucas sayılarının toplamı, n. Lucas balans ve Lucas cobalans sayılarının toplamı, yani

) 1 2 ( n

n n n

i

i C c

Q  



^

 1 2

0

dir.

(ii) 1 den ( n2 ) e kadar Pell-Lucas sayılarının toplamı, (n1). cobalans sayısının 4 katı, yani

1 2

1

4 _





ⁿ  ⁿ

i

i b

Q dir.

(iii) 1 den n ye kadar (2i1). Pell-Lucas sayılarının toplamı, n. balans ve cobalans sayıları ile 1 den n ye kadar Lucas cobalans sayılarının toplamı, yani





     ⁿ i

i n

n n

i

i B b c

Q

1 1

1 2

dir.

(iv) 1 den n ye kadar ( i2 ). Pell-Lucas sayılarının toplamı, (n1). balans, cobalans sayıları ile 1 den e kadar Lucas balans sayılarının toplamı, yani

. n )

1 (n





^











 ¹

1 1

1 2

n

i i n

n n

i

i B b C

Q dir.

(v) 1 den ye kadar çift Pell-Lucas sayılarının toplamı ve 1 den e kadar Pell-Lucas sayılarının toplamları sırasıyla

) 2

( n (2n1)

) 1 2

( 2 ve

) 1 2

(

8 ₁

1 2

1 1

2

1

2   ^  _ 











^{n n}

i i n

n n

i

i B b Q B

Q dir (Gözeri ve ark. 2013).

Santana ve Diaz Barrero (2006), ilk (4n1) Pell sayısının toplamının bir tam kare, yani

2

0 1

4

1

2 2 1 2











 



 



 













i n

i n

i

i i

P n

olduğunu göstermişlerdir. Bu bağıntıya benzer şekilde aşağıdaki teorem verilebilir.

4.16 Teorem. Pell, Pell-Lucas ve balans sayıları için

(i) 1 den e kadar Pell sayılarının toplamı, n. Lucas cobalans sayısının karesi, yani

) 3 4 ( n

3 2 4

1

) ( _n

n

i

i c

P 



^



dir.

(ii) 1 den e kadar Pell sayılarının toplamının 1 fazlası, n. Lucas balans sayı-sının karesi, yani

) 1 4 ( n

1 2 4

1

) (

1 _n

n

i

i C

P 





^



dir.

(iii) 1 den ( n2 ) ye kadar (2i1). Pell-Lucas sayılarının toplamı, n. balans sayısının 4 katının karesi, yani

2 2 1

1

2 (4 _n)

n

i

i B

Q 



 

dir.

(iv) 0 dan ( n2 ) ye kadar (2i1). Pell-Lucas sayılarının toplamının yarısı, (n1).

Lucas cobalans sayısının karesi, yani

2 1 2

0 1 2

)

2 ( ^









n n

i i

c Q

dir.

(v) 0 dan ( n2 ) ye kadar (2i1). balans sayılarının toplamı, ). balans sayısı-nın karesi, ya

1 2 ( n ni

1 2 2 2

0 1

2 ( _ )

  



^{n n}

i

i B

B dir.

(vi) 1 den ( n2 ) ye kadar (2i1). balans sayılarının toplamı, balans sayısının karesi, yani

).

2 ( n

2 2 2

1 1

2 ( _n)

n

i

i B

B 



 

dir (Gözeri ve ark. 2013).

İspat (i) Pell sayılarının ilk nterim toplamının

2

1 1

1



  ^



^{n n n} i

i

P

P P olduğu dikkate

alınırsa

2

1 2 2 1 2

1 2 2

4 2 4

2 4 2

4

1 2 4 1

2 4

2 4 2 4 3 4 3 4 3

4

1

) (

2 4

) ( 2 2 4

2 2 ) 2 ( )

2 (

2 4

2 2 ) 1 (

) 1 (

2

2 1 2 2

2

n

n n

n n

n

n n

n n

n n

n n

n

i i

c P





 



 





 



 







 

 

 





































































elde edilir. Diğer eşitlikler de benzer şekilde gösterilebilir.

Santana ve Diaz Barrero (2006), yukarıda elde ettikleri Pell sayılarının toplamlarına benzer şekilde



 

eşitliklerinin de doğru olduğunu göstermişlerdir. Eğer yukarıdaki toplamlar daha açık bir şekilde yazılırsa, bu toplamların

)

şeklinde olduğu görülür. Dolayısıyla



dir. Yukarıda elde edilen 4.13-4.16 Teoremlerinden aşağıdaki teorem verilebilir.

4.17 Teorem. Balans, Pell ve Pell-Lucas sayıları için aşağıdaki bölünebilme özellikleri gerçeklenir:





^





 ^{2 1} 

1

1

1 ( )

n

i

i i

n B B

c



^





 ^{2 1} 

1

1

2 ( )

n

i

i i

n B B

c









 ⁿ 

i

i i

n B B

c

2

0

2 2 1 2

1 ( )



  

 ⁿ 

i

i i

n B B

c

2

0

2 2 1 2 2

2 ( )



  

 ⁿ 

i

i i

n B B

P

2

0

2 2 1 2 1

2 ( )



  

 ⁿ 

i

i i

n P P

C

2

0

2 2 1 2

1 ( )









 ⁿ 

i

i i

n P P

c

2

0

2 2 1 2

1 ( )

(Gözeri ve ark. 2013).

Şimdi balans sayıları ve tam kareler ile ilgili olarak aşağıdaki teorem verilebilir.

4.18 Teorem. Balans ve Pell sayıları için (i) n1 tek ise

2 4 _n  _n 2 _n1

n b P P

P ve n2 çift ise

1 2 4 _n 4  _n 2 _n

n b P P

P dir.

(ii) n1 ise

n n n n n

n B b B b B

b²  2  ve B_n² B_n b_n 2B_nb_n b_n dir.

(iii) n0 ise

1 2

2

1  

  _{n n}  _n  _n

n P P P P

P dir (Gözeri ve ark. 2013).

İspat (i) n tek yani, n k2 1 olsun. Bu takdirde







  

 







 



 ^{   }

2 1 2

4 4 2

4 2

1 4 1 2 4

1 2 1

2 2k k k k

n

n b

P    

1

2 2 2 1

2 1 2

2 4 2

4

1 4 1 4 2 4 1 2 2

4

2

2 2 2

2 2

8

14 ) 2 4 9 ( )

2 4 9 (

2

2 2 8

) ( 2











































 

 









 



 



 

n n

k k k

k

k k

k k

k k

k

P P























dir. Diğer eşitlikler de benzer şekilde gösterilir.

4.19 Tanım. a ,,b c pozitif tamsayılar olmak üzere

2 2

2 b c

a  

eşitliğini gerçekleyen (a,b,c) üçlüsüne Pisagor üçlüsü denir (Mollin 2010).

Tamsayı dizileri ile Pisagor üçlüleri arasında bir ilişki vardır. Örneğin Pell sayıları için )

, ,

2

( P_nP_n1 P_n²_1P_n² P_n²_1P_n² bir Pisagor üçlüsüdür.

4.20 Tanım. herhangi üç pozitif sayı olmak üzere, kenarları olan dik üç-genin alanına (yani

c b

a ,, a ,,b c

ab sayısına) bir kongruent (congruent) sayı (A003273 OEIS dizisi) 2 denir (Mollin 2010).

Bu tanıma göre, (a,b,c) bir Pisagor üçlüsü ise

ab bir kongruent sayıdır. Örneğin, ke-2 narları ,

3 20

6 ve 41 2

3 olan dik üçgenin alanı

2 5 2) )(3 3 (20

 olduğundan 5 bir kongruent sayıdır.

Balans sayıları ve Pisagor üçlüleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir.

4.21 Teorem. Balans sayıları için bir Pisagor üçlüsüdür.

(ii) bir Pisagor üçlüsüdür.

(iii) n tek ise

2

elde edilir. Diğer eşitlikler de benzer şekilde gösterilebilir.

4.22 Sonuç. Balans sayıları için

(i) , 0 sayıları birer kongruent sayıdır (Gözeri ve ark. 2013).

3. Bölümde oblong sayıları ele alınmış ve bu sayılar ile ilgili bazı cebirsel bağıntılar elde edilmişti. Bu sayıların balans sayıları ile olan ilişkisi ise aşağıdaki teoremdeki gibi-dir.

4.23 Teorem. Oblong ve balans sayıları için

(i) .

oblong sayısının yarısı, n. balans sayısının karesi, yani

2 2

(ii) . 2

2

1 3 



 



b_n  b_n 

oblong sayısının yarısı, n. cobalans sayısının karesi ile kendi-sinin toplamı, yani

n n b

b

b b O n n



 



 



 _  2 2

2 3

2

1

dir.

(iii) . 2

1



 



C_n 

oblong sayısının dört katının bir fazlası, n. Lucas balans sayısının karesi, yani

2 2

1 1

4O _C C_n

n  



 



 

dir.

(iv) . 2

1



 



c_n 

oblong sayısının dört katının bir fazlası, n. Lucas cobalans sayısının karesi, yani

2 2

1 1

4O _c c_n

n  



 



 

dir (Gözeri ve ark. 2013).

İspat. (i) Balans ve cobalans sayısı arasındaki ilişki

2 1

2 2 1 4 2

4

2 8

2 4 ) (

) (

2 4

2 2 2 1 2

4

1

2 2 2 2 2 2

1 1

2 1 1

2

1 2 1 2

1 2 1 2



 

 

 









 



 

 

























n n

n n

n n

n n

n n

n n

n

B B b





























dir. Buna göre k. oblong sayısı için ²

2 ⁿ

k B

O  eşitliğinden

2 8 1 0 1

2

2 2

2 n

n

k B B

k

k   











elde edilir. Diğer yandan balans ve cobalans sayıları arasındaki

2

11

 ⁿ  ^n

n

B b B

ilişki dikkate alınırsa (4.2) eşitliğinden

2

8 1 ) 1 2 ( 2

1 ²

1 n n

n n n

B B B

b B    

 

  ^

olduğu görülür. O halde

k B B

B B B

n n

n n

n     





 

 _

2 8 1 1 2

1 ²

1

ve böylece

2 1

3  ₁

 Bⁿ B^n

k olarak elde edilir. Dolayısıyla

2 2 1 3

2

1

n B

B

B O n n

 



 



  _

dir. Diğer eşitlikler de benzer şekilde gösterilebilir.

5. x²(t²t)y²(4t2)x(4t²4t)y0 DIOPHANTINE DENKLEMİ

Bu bölümde t 2 tamsayısı için

0 ) 4 4 ( ) 2 4 ( ) (

:x² t² t y² t x t²  t y

D (5.1) Diophantine denkleminin tamsayı çözümleri, de ve asalı için sonlu cismin-de ele alınacak ve bu çözümleri arasında indirgeme bağıntıları elcismin-de edilecektir.

 p5 _p

h ve k herhangi iki sabit sayı olmak üzere











 k v y

h u

T : x (5.2)

öteleme dönüşümü ele alınsın. Bu durumda ikilisine T dönüşümünün bazı (taba-nı) denir ve ile gösterilir.

} , { kh }

, { ] ,

[h k h k

T 

(5.1) de verilen Diophantine denklemine bu T dönüşümü uygulanırsa 0 ) )(

4 4 ( ) )(

2 4 ( ) )(

( ) (

~: )

(D D uh ²  t² t vk ² t uh  t² t vk  T

denklemi elde edilir. Bu denklemde gerekli düzenlemeler yapılırsa

0 4 4 2 4

) 4 4 2 2 ( ) 2 4 2 ( ) (

~:

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2





































tk k t h th tk

k t h

t t tk kt v t

h u v t t u D

elde edilir. ve u v nin katsayıları sıfır olacağından 1

2 

 t

h ve k 2 (5.3)

olarak elde edilir. Dolayısıyla xu2t1 ve y v2 olduğundan (5.1) deki Diophantine denklemi

1 ) (

~:u2 t2 t v2 

D (5.4) Pell denklemine indirgenmiş olur. Burada ilk olarak bu Pell denkleminin tamsayı çö-zümleri ele alınacak, bu çözümler arasında bağıntılar ve indirgeme formülleri elde

edi-lecektir. Daha sonra bu Pell denkleminin tamsayı çözümleri asalı için sonlu cisminde ele alınacaktır. Son olarak elde edilen tüm sonuçlar T dönüşümünün tersi ile (5.1) de verilen Diophantine denklemine taşınacaktır.

5

p _p

5.1 Teorem. (5.4) de tanımlanan Pell denklemi için D~ (i) t² t nin basit sürekli kesirli açılımı











 

 [ 1;2,2 2] 2 ise ise 2 ]

2

; 1

2 [

t t

t t t t

dir.

(ii) Denklemin temel çözümü (u₁,v₁) t(2 1,2) dir.

(iii) n1 için



 



 



 









 



 





0 1 1 2 2

2 2 1

2 ^{2 n}

n n

t t t t

v u

olmak üzere denklemin tüm tamsayı çözümleri (u_n,v_n) şeklindedir.

(iv) Denklemin (u_n,v_n) çözümleri arasında n2 için

1 2

1 (2 2 )

) 1 2

(  _   _

 _{n n}

n t u t t v

u ve v_n 2u_n1(2t1)v_n1 bağıntısı vardır.

(v) Denklemin (u_n,v_n) çözümleri n4 için

3 2

1 )

)(

3 4

(  _  _  _

 _{n n n}

n t u u u

u ve v_n (4t3)(v_n1v_n2)v_n3 indirgeme bağıntısını gerçekler.

(vi) n1 için denklemin (u_n,v_n) tamsayı çözümü











    





2 , 2 2 , 2 , , 2 2 , 2

; 1

tane 1 





 

 n

n

n t t t

v u

basit sürekli kesirli açılımı ile de verilebilir (Özkoç ve Tekcan 2010).

İspat. (i) t2 olsun. Bu takdirde 2 [1;2] olduğu açıktır. t2 için

) 1 ( 1 1 1

) 1 (

1

2 2

2



























t t t t

t t t t

t t

) 1 (

2 2 2 1 1 1

1 2 1

1 1

1 1 2 1

1 1

1 2 1

1 1 1

1 1 1

2

2 2

2 2









 











 













 













 













 





t t t t

t

t t t t

t t t

t t

t t t t t

t t t t t

olduğundan t²t [t1;2,2t2] dir.

(ii) t² t [t1;2,2t2] olduğundan Sonuç 1.2.8 gereği denklemin temel çözümü )

2 , 1 2 ( ) ,

(u₁ v₁  t dir.

(iii) Denklemin temel çözümü (u₁,v₁) t(2 1,2) olduğundan Teorem 1.2.10 gereği denklemin tüm tamsayı çözümleri



 



 



 









 



 





0 1 1 2 2

2 2 1

2 ^{2 n}

n n

t t t t

v u

olmak üzere (u_n,v_n) şeklindedir.

(iv-v) Denklemin temel çözümü (u₁,v₁) t(2 1,2)

2 n

olduğundan Teorem 1.2.11 gereği denklemin çözümleri arasında (u_n,v_n) için

1 2

1 (2 2 )

) 1 2

(  _   _

 _{n n}

n t u t t v

u ve v_n 2u_n1(2t1)v_n1 şeklinde bir bağıntı ve n4 için

3 2

1 )

)(

3 4

(  _  _  _

 _{n n n}

n t u u u

u ve v_n (4t3)(v_n1v_n2)v_n3 şeklinde bir indirgeme bağıntısı olduğu açıktır.

(vi) Teorem 1.2.7 (i) den görülür.

5.2 Örnek. t4 olsun. Bu takdirde D~:u₂ v12 ₂ 1 Pell denkleminin temel çözümü ve bazı tamsayı çözümleri

) 2 , 7 ( ) , (u₁ v₁ 



 







 



 



 







 





28 97 0

1 7 2

24

7 ²

2 2

v u



şeklindedir. Denklemin tamsayı çözümleri arasında n2 için

1

şeklinde bir indirgeme bağıntısı vardır. Ayrıca denklemin yukarıdaki tamsayı çözümleri sürekli kesirli açılım cinsinden

75658

olarak da elde edilebilir.

Bu bölümde, neden şeklinde bir

Diop-hantine denkleminin ele alındığı merak edilebilir. Bunun sebebi aşağıdaki sonuçta da görüleceği üzere, bu Diophantine denklemine uygulanan T dönüşümünün bazının, Pell denkleminin temel çözümüne karşılık gelmesidir.

0

dir (Özkoç ve Tekcan 2010).

İspat. Teorem 5.1 de Pell denkleminin temel çözümünün olduğu görüldü. Diğer yandan T dönüşümü için

D~ (u₁,v₁) t(2 1,2) 1

2 

 t

h ve k 2 } 2 ,

olduğu göz önüne alınırsa 1

{ ] ,

[h k  h,k}{2t

T

olduğu açıktır.

Şimdi Pell denklemi için yukarıda elde edilen sonuçlar T dönüşümünün tersi ile D Diophantine denklemine taşınabilir.

D~

2 ve

1

2   



u t y v

x olduğu dikkate alınırsa

D Diophantine denklemi için aşağıdaki teorem verilebilir.

5.4 Teorem. (5.1) deki Diophantine denklemi için D

(i) Denklemin temel çözümü (x₁,y₁) t(4 2,4) dür.

(ii) dizisi yardımıyla {(u_n,v_n)}

1 )}, 2 , 1 2 {(

)}

,

{(x_n y_n  u_n  t v_n  n

tanımlanan dizi için tamsayı ikilisi, Diophantine denkleminin bir çözümü-dür. Şu halde denklemin sonsuz çoklukta

) ,

(x_n y_n D





 )

(x ,_n y_n tamsayı çözümü vardır. Üste-lik tüm tamsayı çözümleri bu şekildedir.

(iii) Denklemin (x_n,y_n) çözümleri arasında n2 için 2 10 8 )

2 2 ( )

1 2

(  ₁ ² ₁ ²  

 t x _ t t y _ t t

x_{n n n}

y_n 2x_n1(2t1)y_n18t6 bağıntısı ve n4 için

8 24 16 )

)(

3 4

(  ₁ ₂  ₃ ²  

 t x _ x _ x _ t t

x_{n n n n}

16 16 )

)(

3 4

(  ₁ ₂  ₃ 

 t y _ y _ y _ t

y_{n n n n}

indirgeme bağıntısı vardır (Özkoç ve Tekcan 2010).

İspat. Teorem 5.1 in ispatına benzer yolla yapılabilir.

Şimdi Diophantine denkleminin tamsayı çözümleri asalı için sonlu cis-minde ele alınabilir. Ancak bunun için ilk olarak ikinci dereceden kalan tanımına ihtiyaç vardır.

D p5 _p

5.5 Tanım. a, n ve (a,n)1 olmak üzere )

2 (mod n a x 

olacak şekilde bir varsa a ya modülo n de bir ikinci dereceden kalan denir. İkinci dereceden kalanların kümesi Q_n e gösterilir (Mollin 2008).



 x

il

1 ,

0

t olmak üzere t²t d(modp) olarak tanımlanırsa Pell denklemi D~ )

(mod 1

~ : 2 2

p dv

u

D^d_p   (5.5) Pell denklemine indirgenmiş olur. Bu denklemin tamsayı çözümlerinin kümesi

)}

(mod 1 :

) , {(

)

~ ( 2 2

p dv

u v

u

D^d_p _p  _p_p   ile gösterilirse aşağıdaki teorem verilebilir.

5.6 Teorem. (5.5) deki D~_p^d

Pell denklemi için

# 







 

ise 1

ise ) 1

~ (

p p p

d

p p d Q

Q d D  p

dir (Özkoç ve Tekcan 2010).

İspat. dQ_p olsun.

1. Hal. p1,5(mod8) olsun. Eğer v0 ise

) (mod 1 )

(mod

2 1

p u

p

u   

dir. Dolayısıyla D~^d_p

Pell denkleminin (1,0) ve(p1,0) gibi iki tamsayı çözümü vardır.

Eğer u0 ise

) (mod

2 1

p dv 



olur. Bu takdirde dQ_p olduğundan bu kongrüansın v₁, v₂ gibi iki çözümü ve böylece

d

D~p

Pell denkleminin ve gibi iki çözümü vardır. ol-sun. Bu takdirde

1) ,v 0

( (0,v₂) S_p ^*_p {1,p1}

d u²1

ifadesi tam kare olacak şekilde S_p de 2

5

p tane u elemanı

vardır. O halde belli bir c0 tamsayısı için c²

2 1

d u  

denilirse ) (mod )

2(mod

2 c p v c p

v   

olur. Dolayısıyla D~^d_p

Pell denkleminin ( cu, ) ve (u,pc) gibi iki çözümü vardır.

deki her bir udeğeri için

Sp d

D~p

Pell denkleminin bu şekilde iki çözümü olduğundan denk-lemin 2(p ) p5

2

5

tane çözümü vardır. Yukarıda elde edilen çözümler de dikkate alınırsa denklemin toplam p54 p1 tane çözümünün olduğu görülür.

2.Hal. p3,7(mod8) olsun. Eğer v0 ise ) (mod

2 1

p

u 

olduğundan bu kongrüansın u1 ve u p1 gibi iki çözümü vardır. Dolayısıyla D~^d_p Pell denkleminin (1,0) ve(p1,0) gibi iki çözümü vardır. Eğer u0 ise

) (mod

2 1

p dv 

 kongrüansının çözümü yoktur, yani D~^d_p

Pell denkleminin gibi bir çözümü yoktur.

Üstelik de

) , 0 ( v

Sp

d u²1

tam kare olacak şekilde 2

3

p tane u elemanı vardır. Eğer j0

için ²

2 1

d

 j

u  denilirse

) (mod )

2(mod

2 j p v j p

v   

olur. Bu ise D~^d_p

Pell denkleminin (u, j) ve (u,p j) gibi iki çözümünün olması de-mektir, yani S_pdeki her bir u elemanı için D~^d_p

Pell denkleminin iki çözümü vardır. Do-layısıyla denklemin ) 3

2

( 3   p p

2 tane çözümü vardır. Ayrıca (1,0) ve (p1,0) da bu denklemin birer çözümü olduğundan denklemin p32 p1 tane çözümü var-dır. Şu halde her iki halde de dQ_p için D~^d_p

Pell denkleminin tane çözümü var-dır. Benzer şekilde iken denklemin

1 p Qp

d p1 tane çözümünün olduğu da gösterile-bilir.

5.7 Örnek. p7 için Q₇ {1,2,4} dir. t 4 için 4²45(mod7) olduğundan )

7 (mod 1 5

~5: 2 2

7 u  v 

D

Pell denklemi elde edilir. Bu denklemin tamsayı çözümlerinin kümesi

)}

0 , 6 ( ), 4 , 5 ( ), 3 , 5 ( ), 4 , 2 ( ), 3 , 2 ( ), 0 , 1 ( ), 5 , 0 ( ), 2 , 0 {(

)

~ (

7 5

7  

D

dır. Buna göre ~ ( ) 8

#D₇⁵ ₇  dir. Benzer şekilde t 6 için olduğun-dan

) 7 (mod 2 6 6² 

) 7 (mod 1 2

~2: 2 2

7 u  v 

D

dir. Bu Pell denkleminin tamsayı çözümlerinin kümesi

)}

0 , 6 ( ), 5 , 4 ( ), 2 , 4 ( ), 5 , 3 ( ), 2 , 3 ( ), 0 , 1 {(

)

~ (

7 2

7  

D dır. Buna göre ~ ( ) 6

#D₇² ₇  dır.

Son olarak Diophantine denkleminin tamsayı çözümleri sonlu cisminde ele alı-nırsa bu denklemin tamsayı çözümlerinin kümesi

D _p

)}

(mod 0 ) 4 4 ( ) 2 4 ( ) ( : )

, {(

)

( x y x² t² t y² t x t² t y p

D _p  _p_p       

için aşağıdaki teorem verilebilir.

5.8 Teorem.D Diophantine denklemi için

# 















 

ise 1

ise ) 1

( ₂

2

p p

p p t t Q

Q t t D  p

dir (Özkoç ve Tekcan 2010).

İspat. Bir önceki teoreme benzer şekilde gösterilebilir.

KAYNAKLAR

Andreescu, T., Andrica, D. and Cucurezeanu I. 2010. An Introduction to Diophan-tine Equations. Springer, New York,Dordrecht, Heidelberg, London, 339 pp.

Barbeau, E., 2003. Pell's Equation. Springer-Verlag, New York, Inc. 212 pp.

Behera A., Panda G. K 1999. On the Square Roots of Triangular Numbers. The Fibo-nacci Quarterly, 37(2): 98-105.

Buchmann J. and Vollmer U. 2007. Binary Quadratic Forms: An algorithmic Appro-ach. Springer- Verlag, Berlin, Heidelberg, 150 pp.

Buell D. A. 1989. Binary Quadratic forms, Clasical Theory and Modern Computations.

Springer-Verlag, New York, 243 pp.

Edward, H. P. 1996. Fermat's Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Num-ber Theory. Corrected reprint of the 1977 original. Graduate Texts in Mathema-tics, 50. Springer-Verlag, New York, 401 pp.

Flath D. E. 1989. Introduction to Number Theory. Wiley, 205 pp.

Gözeri G. K., Özkoç A. and Tekcan A. 2013. On Oblong and Balancing Numbers.

Yayına gönderildi.

Jacobson M., Williams H. 2010. Solving the Pell Equation, CMS Books in Mathema-tics, Springer, 495 pp.

Koshy, T. 2001. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Pure and Applied Mathematics A Wiley-Interscience Series of Texts, monographs and Tracts, 652 pp.

Mollin R. A. 2008. Fundamental Number Theory with Applications. CRC Press, Taylor and Francis Group, Boca Raton, London, New York, 369 pp.

Mollin R. A. 2010. Advanced Number Theory with Applications CRC Press, Taylor and Francis Group, Boca Raton, London, New York, 466 pp.

Özkoç A., Tekcan, A. 2010. Quadratic Diophantine Equation x²(t²t)y²(4t2)x 0

) 4 4

( ² 

 t t y . Bull. of the Malaysian Math. Sci. Soc. 33(2): 273-280.

Panda G. K., Ray P. K. 2005. Cobalancing Numbers and Cobalancers. Int. J. Math.

Sci. 8: 1189-1200.

Panda G. K. 2009. Some Fascinating Properties of Balancing Numbers. Proceedings of the Eleventh International Conference on Fibonacci Numbers and their Applications, Cong. Numer. 194: 185-189.

Ray P. K. 2009. Balancing and Cobalancing Numbers. PhD thesis, Department of Mat-hematics, National Institute of Technology, Rourkela, India.

Panda G. K., Ray P. K. 2011. Some Links of Balancing and Cobalancing Numbers with Pell and Associated Pell Numbers. Bul. of Inst. of Math. Acad. Sinica 6(1): 41-72.

Ribenboim P. 2000. My Numbers, My Friends, Popular Lectures on Number Theory, Springer-Verlag, New York, Inc, 375 pp.

Santana S. F., Diaz-Barrero J. L. 2006. Some Properties of Sums Involving Pell Numbers. Missouri Journal of Mathematical Science 18(1): 33-40.

Tekcan A., Özkoç, A., Kocapınar, C., Alkan, H. 2010. The Diophantine Equation . Int. Jour. of Comp. and Math.Sci. 4(2): 59-62.

Q Py x²  ² 

Tekcan A., Özkoç A., and Özbek M. E. 2012. Representation of Primes, Integer Sequ-ence and Pell Equation. Yayına gönderildi.

Tekcan A., Özkoç A. 2013. Pell Form and Pell Equation via Oblong Numbers. Serdica Mathematical Journal. 39: 37-52.

Tekcan A., Özkoç A., Engür M. and Özbek M. E. 2013a. On Algebraic Identities on a New Integer Sequence with Four Parameters. Ars Combinatorica dergisinde yayına kabul edildi.

http://oeis.org/ (tamsayı dizileri on-line ansiklopedisi)

ÖZGEÇMİŞ

Adı Soyadı: Arzu ÖZKOÇ

Doğum Yeri ve Tarihi: Antalya, 04.12.1984 Yabancı Dil: İngilizce

Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl):

Lise: Antalya Anadolu Lisesi, 2003 Lisans: Uludağ Üniversitesi, 2007

Yüksek Lisans: Uludağ Üniversitesi, 2009 Doktora: Uludağ Üniversitesi, 2013 Çalıştığı Kurumlar ve Yıl:

İletişim: arzuozkoc@gmail.com Yayınları:

1. Tekcan A., Özkoç A., Gezer B., Bizim O. 2008. Some Relations Involving the Sums of Fibonacci Numbers. Proc. of the Jangjeon Math. Soc. 11(1): 1-12.

2. Tekcan A., Özkoç A., Gezer B., Bizim O. 2008. Elliptic Curves, Conics and Cubic Congruences Associated with Indefinite Binary Quadratic Forms. Novi Sad J. Math. 38(2): 71-81.

3. Tekcan A., Özkoç A. 2009. Quadratic Irrationals, Quadratic Ideals and Indefi-nite Quadratic Forms II. Int. Jour. of Comp.and Math. Sci. 3(2): 56-59.

4. Tekcan A., Özkoç A. 2009. Positive Definite Binary Quadratic Forms, Quadra-tic Congruences and Singular Curves. Comptes Rendus Mathématiques-Mathe-matical Reports 31(2): 53-64.

5. Tekcan A., Özkoç A., Alkan H. 2009. The Diophantine Equation y²2yx 0

3

 and Corresponding Curves over  . Int. Jour. of Comp. and Math. Sci 3 _p (6): 260-263.

6. A.Tekcan, A.Özkoç 2010. The Diophantine Equation t x 0

)

4 . Revista Matemática Complutense 23: 251-260. (SCI-Exp) y t t

x²( ² ) ²(4 2) 4

( t² t y

7. Tekcan A., Özkoç A., Kocapınar C., Alkan H. 2010. The Diophantine Equa-tionx²Py² Q. Int. Jour. of Comp. and Math.Sci. 4(2): 59-62.

8. Özkoç A., Tekcan A. 2010. Quadratic Diophantine Equation   0

)

4 . Bul. of the Malaysian Math. Sci. Soc. 33(2): 273-280.

(SCI-Exp)

 ^{2 2}

2 (t t)y x

4 ( ) 2 4

( t x t² t y

9. Tekcan A., Özkoç A. 2010. n-Universal Quadratic Forms and Quadratic Forms over Finite Fields. Bulletin of Irish Math. Society 65: 11-21.

10. Tekcan A., Özkoç A., Cangül İ.N. 2010. Indefinite Quadratic Forms and their Neighbours. Numerical Analysis and Applied Mathematics ICNAAM 2011 AIP Conf. Proc. 1281: 1102-1105. (SCI-Exp)

11. Tekcan A., Özkoç A., Alkan H. 2010. On Cycles and Products of Ideals and Corresponding Indefinite Quadratic Forms. Comptes Rendus Math. Mat. Reports 32(2): 40-51.

12. Tekcan A., Alkan H., Özkoç A., Çetin E., Cangül İ. N. 2010. Rational Points on Curves over Finite Fields. Ant. Jour. of Mathematics 7(4): 431-437.

13. Özkoç A., Tekcan A. 2010. The Family of Indefinite Binary Quadratic Forms and Elliptic Curves over Finite Fields. General Mathematics 18(4): 3-17.

14. Tekcan A., Özkoç A., Çetin E., Alkan H., Cangül İ. N. 2011. Quadratic Forms, Elliptic Curves and Integer Sequence. Acta Universitatis Apulensis 25:

9-30.

15. Tekcan A., Özkoç A. 2011. n-Universal Quadratic Forms, Quadratic Ideals and Elliptic Curves over Finite Fields. Math. Reports 13(2): 205-216. (SCI-Exp) 16. Özkoç A., Tekcan A. 2011. Integer Solutions of a Special Diophantine

Equa-tion. Num. Anal. and Appl. Maths. ICNAAM 2011 AIP Conf. Proc. 1389: 371-374. (SCI-Exp)

17. Özkoç A., Tekcan A., Cangül İ. N. 2011. Solving Some Parametric Quadratic Diophantine Equation over  and  . Applied Maths. and Computation 218: _p 703-706. (SCI)

18. Tekcan A., Özkoç A., Gezer B., Bizim O. 2011. Representations of Positive Integers by Positive Quadratic Forms. Southeast Asian Bulletin of Maths. 35(1):

137-148.

19. Tekcan A., Özkoç A. 2013. Pell Form and Pell Equation via Oblong Numbers.

Serdica Mathematical Journal. 39: 37-52.

20. Tekcan A., Özkoç A., Özbek M. E. Sequences of Right and Left Neighbours of Six Type Intedifinite Binary Quadratic Forms and their Proper Automorphisms.

Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications dergisinde yayına kabul edildi.

21. Kocapınar C., Özkoç A., Tekcan A. The Integer Sequence ( QP, ) with Parameters P and Q. Ars Combinatoria dergisinde yayına kabul edildi. (SCI-Exp)

B B _n

22. Tekcan A., Özkoç A., Özbek M. E. Some Algebraic Relations on Integer Sequences Involving Oblong and Balancing Numbers. Ars Combinatoria dergi-sinde yayına kabul edildi. (SCI-Exp)

23. Özkoç A., Tekcan A., Gözeri G. K. Triangular and Square Triangular Numbers Involving Generalized Pell Numbers. Utilitas Mathematica dergisinde yayına kabul edildi. (SCI-Exp)

24. Tekcan A., Özkoç A., Engür M., Özbek M. E. On Algebraic Identities on a New Integer Sequence with Four Parameters. Ars Combinatoria dergisinde ya-yına kabul edildi. (SCI-Exp)

Belgede BAZI TAMSAYI DİZİLERİ VE PELL DENKLEMLERİ. Arzu ÖZKOÇ (sayfa 63-0)