Bu bölümde verilen örnekler MVC- Matrix Vector Calculator (Bulgak and Eminov 2001) hesaplama programı ile yapılmıştır. MVC programında ara işlemler virgülden sonra14 rakama kadar alınmasına rağmen buradaki sonuçlarda virgülden sonra 7 rakam alınmıştır.
Öncelikle verilen D bölgesi üzerinde çözümü var ve tek olan iki örneği inceleyelim.
Örnek 6.1. D= {(t,x): |t1| 0.5, |x3| 5} bölgesi üzerinde
) 3 ) ( ( 2 1 ) ( 2 x t t t t x 3 ) 1 ( x (6.1)
Cauchy problemi verilsin. Dördüncü bölümde incelenen adım genişliği stratejilerini sırasıyla (6.1) problemine uygulayalım.
Çözüm 6.1.1. Picard teoremi tabanlı adım genişliği seçerek D bölgesi üzerinde (6.1) Cauchy probleminin yaklaşık çözümü Tablo 6.1.1 deki şekilde elde edilmiştir. Burada işlem kolaylığı için nümerik metot olarak Euler metodu kullanılmıştır.
i hi ti yi x(ti) z(ti) |LEi | |GEi |
0 1 -3 -3 -3 0 0
1 0.416667 1.416667 -3.20833 -3.27224 -3.27224 0.06391 0.06391
2 0.0833333 1.5 -3.27349 -3.34175 -3.276 0.0025084 0.0682631
Tablo 6.1.1
Grafik 6.1.1 deki üstteki eğri Tablo 6.1.1 den elde edilen spline fonksiyonunun eğrisidir. Alttaki eğri ise verilen problemin tam çözümüdür.
Grafik 6.1.1
Grafik 6.1.1 deki alttaki eğri problemin tam çözümünü, üstteki eğri ise Picard teoremi tabanlı adım genişliği kullanılan nümerik metot ile elde edilen yaklaşık çözümünü gösterir.
Çözüm 6.1.2. Hata analizine göre adım genişliği seçerek D bölgesi üzerinde (6.1) Cauchy probleminin yaklaşık çözümünü hesap edelim.
(i) Lokal hata =0.05 sayısından küçük kalacak şekilde adım genişliği seçelim. Elde edilen çözümler aşağıda verilmiştir.
i hi ti yi x(ti) z(ti) |LEi | |GEi |
0 1 -3 -3 -3 0 0
1 0.16903 1.16903 -3.08452 -3.09514 -3.09514 0.0106231 0.0106231
2 0.190268 1.3593 -3.20261 -3.22727 -3.21581 0.013205 0.02466
3 0.140702 1.5 -3.30872 -3.34175 -3.31585 0.00712562 0.03303
Grafik 6.1.2.i (a) da üstteki eğri yukarıdaki tablodan elde edilen spline fonksiyonunun grafiği ve alttaki eğri de problemin tam çözümünü ifade eden eğridir.
Grafik 6.1.2.i (a): Tablo 6.1.2.i (a) dan elde edilen spline fonksiyonunun grafiğinin şekli
Hata analizi tabanlı adım genişliği seçildiğinde, Picard teoremi tabanlı adım genişliği seçimi ile elde edilen yaklaşık çözümden daha iyi bir yaklaşık çözüm elde edilmiştir.
i hi ti yi x(ti) z(ti) |LEi | |GEi |
0 1 -3 -3 -3 0 0
1 0.5 1.5 -3.375 -3.34175 -3.34175 0.03325 0.03325
Tablo 6.1.2.i (b): İkinci mertebeden Runge- Kutta metoduyla elde edilen çözüm
Tablo 6.1.2.i (b) den elde edilen spline fonksiyonu Grafik 6.1.2.i (b) de alttaki eğridir. Üstteki eğri problemin tam çözümüdür.
Grafik 6.1.2.i (b)
Runge-Kutta metodu kullanıldığında, Euler metoduna göre daha az adımda çözüm hesaplanmıştır.
(ii) Global hata =0.006 sayısından küçük kalacak şekilde adım genişliği g seçelim. Elde edilen sonuçlar aşağıda verilmiştir.
i hi ti yi x(ti) z(ti) |LEi | |GEi |
0 1 -3 -3 -3 0 0
1 0.16903 1.16903 -3.08452 -3.09514 -3.09514 0.0106231 0.0106231
2 0.11111 1.28014 -3.15348 -3.16911 -3.15799 0.0045153 0.01563018
Tablo 6.1.2.ii (a):
1
L
Grafik 6.1.2.ii (a)
Global hata göz önüne alındığında istenilen bölgenin tamamında çözüm hesaplanamamıştır. Çünkü [1,1.28014] aralığında =0.006 kadar hata yapılmıştır. g Nümerik metot kullanılarak 1.28014 noktasından itibaren yapılan hesaplamalarda mutlaka yine hata yapılacağından, bu noktadan itibaren global hata =0.006 g sayısından küçük kalacak şekilde yaklaşık çözüm bulunamaz. Grafik 6.1.2.ii (a) da üstteki eğri Tablo 6.1.2.ii (a) dan elde edilen spline ve alttaki eğri problemin tam çözümüdür.
i hi ti yi x(ti) z(ti) |LEi | |GEi |
0 1 -3 -3 -3 0 0
1 0.03849 1.03849 -3.0394 -3.0198 -3.0198 0.0195959 0.01959589
Grafik 6.1.2.ii (b)
Grafik 6.1.2.ii (b) de alttaki eğri Tablo 6.1.2.ii (b) den elde edilen spline fonksiyonudur. Euler metodunda olduğu gibi Runge- Kutta metodunda da global hata göz önüne alınarak adım genişliği belirlendiğinde verilen bölgenin tamamında yaklaşık çözüm hesap edilememiştir. Çünkü ilk adımda =0.006 kadar hata g yapılmıştır. Aynı grafikte üstteki eğri problemin tam çözümünü gösterir.
Çözüm 6.1.3. Picard teoremi ve hata analizi tabanlı adım genişliği seçerek D bölgesi üzerinde (6.1) Cauchy probleminin yaklaşık çözümü Tablo 6.1.3 deki şekilde elde edilmiştir. Burada işlem kolaylığı için nümerik metot olarak Euler metodu kullanılmıştır. Tablo 6.1.3 den elde edilen spline fonksiyonu ve problemin tam çözümü Grafik 6.1.3 de verilmiştir.
i hi ti yi x(ti) z(ti) |LEi | |GEi | 0 1 -3 -3 -3 0 0 1 0.416667 1.416667 -3.20833 -3.27224 -3.27224 0.06391 0.06391 2 0.065759 1.482426 -3.25975 -3.32668 3.26131 0.0015627 0.0069317 3 0.001266 1.483692 -3.25801 -3.32776 -3.2608 0.002784 0.069744 Tablo 6.1.3
Verilen problemin çözümünün tanımsız olduğu bir nokta olmadığı için Picard teoremi tabanlı adım genişliği seçildiğinde elde edilen sonuç ile hemen hemen aynı sonuç elde edilmiştir.
Grafik 6.1.3
Örnek 6.2. D= {(t,x): |t1| 1, |x4| 5} bölgesi üzerinde
) ( ) (t t x t x 4 ) 1 ( x (6.2)
Cauchy problemi verilsin.
Çözüm 6.2.1. Picard teoremi tabanlı adım genişliği seçerek D bölgesi üzerinde (6.2) Cauchy probleminin yaklaşık çözümü Tablo 6.2.1 deki şekilde elde edilmiştir. Burada işlem kolaylığı için nümerik metot olarak Euler metodu kullanılmıştır.
i hi ti yi x(ti) z(ti) |LEi | |GEi | 0 1 4 4 4 0 0 1 0.416667 1.41667 6.08333 6.68472 6.68472 0.601385 0.601385 2 0.37037 1.78704 8.86111 10.3943 9.5233 0.66219 1.53319 3 0.21296 2 12.4065 13.3097 11.41266 0.99384 0.932 Tablo 6.2.1 Grafik 6.2.1
Buradaki alttaki eğri Tablo 6.2.1 den elde edilen spline fonksiyonunun eğrisidir.Üstteki eğri ise verilen problemin tam çözümüdür.
Çözüm 6.2.2. Hata analizine göre adım genişliği seçerek D bölgesi üzerinde (6.2) Cauchy probleminin yaklaşık çözümünü hesap edelim.
(i) Lokal hata =0.5 sayısından küçük kalacak şekilde adım genişliği seçildiğinde elde edilen çözümler aşağıda verilmiştir.
i hi ti yi x(ti) z(ti) |LEi | |GEi | 0 1 4 4 4 0 0 1 0.288 1.288 5.44 5.71454 5.71454 0.2745 0.2745 2 0.288 1.576 7.37766 8.09745 7.7313 0.35362 0.71979 3 0.288 1.864 9.95631 11.3718 10.4118 0.45545 1.41548 4 0.136 2 11.5639 13.3097 11.688 0.12413 1.74583
Tablo 6.2.2.i (a): Euler metodu kullanılarak elde edilen çözüm
Burada f(t, x) fonksiyonunun maksimum değeri tüm bölgede aynı olduğundan adım genişliği eşit bulunmuştur.
Grafik 6.2.2.i de üstteki şekil problemin tam çözümü, alttaki eğri ise Tablo 6.2.2.i (a) dan elde edilen spline fonksiyonudur.
i hi ti yi x(ti) z(ti) |LEi | |GEi |
0 1 4 4 4 0 0
1 0.469434 1.469434 7.00827 7.1251 7.1251 0.11683 0.11683
2 0.469434 1.938868 12.0323 12.4036 12.2168 0.1845 0.3713
3 0.061132 2 12.9144 13.3097 12.9149 0.0005 0.3953
Tablo 6.2.2.i (b):Runge- Kutta metodu kullanılarak elde edilen çözüm
Burada f(t, x) fonksiyonunun maksimum değeri tüm bölgede aynı olduğundan adım genişliği eşit bulunmuştur.
Grafik 6.2.3.i
Grafik 6.2.2.i (b) de alttaki şekil Tablo 6.2.2.i (b) den elde elde edilen spline fonksiyonun şekli, üstteki ise problemin tam çözümünü gösterir.
(ii) Global hata =0.6 sayısından küçük kalacak şekilde adım genişliği g seçelim. Elde edilen sonuçlar aşağıda verilmiştir.
i hi ti yi x(ti) z(ti) |LEi | |GEi | 0 1 4 4 4 0 0 1 0.288 1.288 5.44 5.71454 5.71454 0.2745 0.2745 2 0.009 1.297 5.5006 5.77789 5.500866 0.000266 0.27729 3 0.012 1.309 5.5822 5.86337 5.582735 0.000535 0.28117 4 0.00006 1.30906 5.5826 5.8638 5.582613 0.000013 0.2812
Tablo 6.2.2.ii (a):
1
L
=0.5 alınarak Euler metodu ile elde edilen çözüm
Grafik 6.2.2.ii (a)
Grafik 6.2.2.ii (a) daki üstteki eğri, problemin tam çözümünü, alttaki eğri ise Tablo 6.2.2.ii (a) dan elde edilen spline fonksiyonunu gösterir.
i hi ti yi x(ti) z(ti) |LEi | |GEi |
0 1 4 4 4 0 0
1 0.0778 1.0778 4.407158 4.407638 4.407638 0.00048 0.00048
2 0.00004 1.07784 4.407377 4.407858 4.407377 0.0000004 0.00048
Tablo 6.2.2.ii (b): İkinci mertebeden Runge- Kutta metodu kullanılarak elde edilen çözüm
Grafik 6.2.2.ii (b)de işaret edilen noktaya kadar olan kısım tablodan elde edilen fonksiyonun şeklidir. Görüldüğü gibi neredeyse tam çözümle aynıdır.
Grafik 6.2.2.ii (b)
Çözüm 6.2.3. Picard teoremi ve hata analizi tabanlı adım genişliği seçerekD bölgesi üzerinde (6.1) Cauchy probleminin yaklaşık çözümü Tablo 6.2.3 deki şekilde elde edilmiştir. Burada işlem kolaylığı için nümerik metot olarak Euler metodu kullanılmıştır. Tablo 6.2.3 den elde edilen spline fonksiyonu ve problemin tam çözümü Grafik 6.2.3 de verilmiştir.
i hi ti yi x(ti) z(ti) |LEi | |GEi | 0 1 4 4 4 0 0 1 0.416667 1.416667 6.08333 6.68472 6.68472 0.601385 0.601385 2 0.10917 1.525837 6.9021 7.62541 6.95465 0.05255 0.72331 3 0.00599 1.531827 6.95258 7.68041 6.95275 0.00017 0.72783 4 0.000018 1.531845 6.95273 7.68057 6.95273 0 0.72784 Tablo 6.2.3 Grafik 6.2.3
Üçüncü örnek çözümü sonsuz süreksizlik noktasına sahip olan bir problem olsun.
Örnek 6.3. D= {(t,x): | t | 2, |x1| 5} bölgesi üzerinde
) ( ) (t x2 t x 1 ) 0 ( x (6.3)
Cauchy problemi verilsin.
Çözüm 6.3.1. Picard teoremi tabanlı adım genişliği seçerek D bölgesi üzerinde (6.3) Cauchy probleminin yaklaşık çözümü Tablo 6.3.1 deki şekilde elde edilmiştir. Burada işlem kolaylığı için nümerik metot olarak Euler metodu kullanılmıştır.
i hi ti yi 0 0 1 1 0.138889 0.13889 1.138889 2 0.132675 0.271564 1.31098 3 0.125538 0.397103 1.52674 4 0.117376 0.514478 1.80033 5 0.108121 0.622599 2.15077 6 0.0977832 0.720383 2.6031 7 0.0864946 0.806877 3.18919 8 0.745569 0.881434 3.94751 9 0.0624548 0.943889 4.92073 10 0.0508022 0.994691 6.15084 11 0.040212 1.0349 7.67217 12 0.0311364 1.06604 9.50492 13 0.0237651 1.0898 11.6519 14 0.0180319 1.10784 14.1001 Tablo 6.3.1
Tablo 6.3.1 den elde edilen spline fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir. t=1 noktası verilen problemin sonsuz süreksizlik noktasıdır. Fakat Tablo 6.3.1 de de görüldüğü gibi bu noktayı içine alan bir bölgede problemin çözümü hesap edilmiştir. Grafik 6.3.1 de işaret edilen noktadan itibaren verilen problemin çözümünü ifade etmez.
Grafik 6.3.1
Çözüm 6.3.2. Picard teoremi ve hata analizi tabanlı adım genişliği seçerek D bölgesi üzerinde (6.3) Cauchy probleminin yaklaşık çözümü Tablo 6.3.2 deki şekilde elde edilmiştir. Burada işlem kolaylığı için nümerik metot olarak Euler metodu kullanılmıştır. Tablo 6.3.2 den elde edilen spline fonksiyonu Grafik 6.3.2 de verilmiştir. i hi ti yi 0 0 1 1 0.138889 0.13889 1.138889 2 0.148022 0.286911 1.33088 3 0.15433 0.4134 1.60442 4 0.150566 0.591909 1.992 5 0.121314 0.713223 2.47339 6 0.0610369 0.77426 2.84679 7 0.0119709 0.786231 2.94381 8 0.000423915 0.786655 2.94748 9 0 0.786655 2.94748 Tablo 6.3.2
Grafik 6.3.2
Picard teoremi ve hata analizi tabanlı adım genişliği seçildiğinde problemin çözümünün var ve tek olduğu bölgede çözüm hesaplanmıştır.