3. BÖLÜM ARAŞTIRMANIN METODOLOJİSİ
3.2. Bulgular ve Tartışma
3.2.1. Muhacirlik Algısına İlişkin Veriler
Ent˜ao, por um racioc´ınio idˆentico ao do final do Lema anterior prova-se que ew(r, θ) = (−T r + d, x(−T θ + d′)) onde x(t) ´e uma ´orbita peri´odica do elips´oide, e achar´ıamos r tal que:
Z
Br(0)
e
u∗dτ < 0,
o que ´e um absurdo. Isso finaliza a demonstra¸c˜ao do teorema.
Usando agora que a(re2πiθ)→ +∞ quando r → +∞ temos que a partir de um certo r, eu restrito
`
a C\ Br(0) ´e um semi-cilindro pseudo-holomorfo contido em [2, +∞] × S3. Como nessa regi˜ao do
cobordismo a estrutura quase-complexa ´e idˆentica `a da simplectiza¸c˜ao de (R× S3, λE) podemos
considerar eu|C\Br(0) como um semi-cilindro pseudo-holomorfo na simpletiza¸c˜ao de (R× S
3, λ E).
´
E poss´ıvel ent˜ao aplicar a an´alise feita em [14] sobre o comportamento de semi-cilindros com energia finita e ilimitados. Como sabemos que limR→+∞a(Re2πiθ) = +∞, e todas as ´orbitas
peri´odicas de XλE s˜ao n˜ao-degeneradas essa an´alise nos d´a que:
u(Re2πit)→ P (T t), (3.36) quando R→ +∞, onde P (t) ´e uma ´orbita peri´odica de XλE. Essa convergˆencia ´e exponencial.
3.3
A fam´ılia de planos µ
Consideramos agora a seguinte fam´ılia µ de curvas pseudo holomorfas:
e
u : C→ (R × S3, bJ) pseudo-holomorfo,
e
u = (a, u) ´e assint´otico `a ´orbita peri´odica P0,
a(0) = min{a(C)}, R
Deu∗dτ = T0− γ0
2 ,
onde D = {z ∈ C; |z| ≤ 1}, P0 ´e a ´orbita peri´odica de a¸c˜ao m´ınima do campo XλE (que possui
apenas 2 ´orbitas peri´odicas simples) e T0 ´e seu per´ıodo. Para definir γ0, tome γ1 como sendo o
´ınfimo dos per´ıodos de ´orbitas peri´odicas de Xλ; e γ2 como sendo o ´ınfimo da diferen¸ca T0− T ,
onde T ´e per´ıodo de uma ´orbita peri´odica de Xλ e T < T0 ou, no caso, de isso nunca ocorrer
gamma2 = T20. A ´orbita P0 tem ´ındice de Conley-Zehnder 3 e a outra ´orbita tem ´ındice de Conley-
Zehnder maior que 3. A n˜ao-degenerecˆencia da forma λ nos garante que γ2 > 0. Definimos ent˜ao
γ0 := min{γ1, γ2}.
A condi¸c˜ao RDeu∗dτ = T0−γ20 parece inicialmente arbitr´aria, mas sua importˆancia vem do fato
de que ela permite que tenhamos certo controle sobre o fenˆomeno de bubbling. Para ilustrar esse controle provamos um lema que ´e crucial em toda a an´alise que se segue.
Lema 5. Dado ǫ > 0, existe C > 0 tal que |deu(z)| < C, para todo z ∈ C com |z| ≥ 1 + ǫ e para todo eu da fam´ılia µ.
Demonstra¸c˜ao: Negando o lema supomos por absurdo que exista uma sequˆencia de pontos zk com|zk| ≥ 1 + ǫ e uma sequˆencia de elementos euk ∈ µ satisfazendo:
|deuk(zk)| → +∞.
Ent˜ao fazendo uma an´alise igual a da Proposi¸c˜ao 6 geramos uma nova sequˆencia de mapas evk(z) =
e uk(Rz
k + zk) e uma sequˆencia Rk → +∞ satisfazendo:
|devk(0)| = 1, (3.37)
|devk(z)| ≤ 2 se |z| ≤ Rk. (3.38)
Denotando evk= (bk, vk), dividimos nossa demonstra¸c˜ao agora em trˆes casos:
(a) bk(0) ´e limitado.
Nesse caso argumentando como na Proposi¸c˜ao 6 temos que existe uma subsequˆencia de evk que
converge a uma aplica¸c˜ao pseudo-holomorfa ev : C → (R × S3, bJ). Mas: R Cev∗dτ ≤ limk→+∞ R BRk(0)evk∗dτ ≤ limk7→+∞RC\B1+ ǫ 2(0)e u∗ kdτ ≤ γ0 2
Mas como vimos antesRCev∗dτ ≤ γ0
2 ´e igual ao per´ıodo da ´orbita peri´odica `a qual ev ´e assint´otico.
Mas ev ´e assint´otico a uma ´orbita peri´odica do elips´oide e isso implica RCev∗dτ ≥ T0 e chegamos a
uma contradi¸c˜ao com RCev∗dτ ≤ γ0
2.
(b) bk(0)→ −∞.
Nesse caso fazemos uma an´alise como acima mas consideramos as curvas pseudo-holomorfas e
wk(z) = (bk(z)− bk(0), vk(z)). Essa sequˆencia ´e composta de curvas pseudo-holomorfas na simplec-
tiza¸c˜ao de (S3, λ) para|z| ≤ min{R
k,|bk4(0)|}. Como min{Rk,|bk4(0)|} → +∞ ´e poss´ıvel tomar uma
subsequˆencia de ewk(z) que converge (C∞ em partes compactas) para um plano pseudo-holomorfo
e
w na simplectiza¸c˜ao de (S3, λ). Nesse caso esse plano tem ´area dλ RCwe∗dλ ≤ γ0
2. Isso implicaria
a existˆencia de uma ´orbita peri´odica de Xλ com per´ıodo menor que γ0 o que ´e um absurdo.
(c) bk(0)→ +∞.
A demonstra¸c˜ao ´e an´aloga `a acima mas o plano ew ´e gerado na simplectiza¸c˜ao de (S3, λE). O
absurdo ocorre pois a existˆencia de ew implicaria na existˆencia de uma ´orbita peri´odica de XλE com
per´ıodo menor que γ0.
O lema acima nos garante ent˜ao que sempre que ocorre bubbling na fam´ılia µ esse bubbling ocorre no disco unit´ario D.
No artigo [11] ´e provada a existˆencia de um plano pseudo holomorfo de energia finita mergulhado para a simplectiza¸c˜ao do elips´oide irracional (S3, λE) com propriedades especiais. Esse plano eu0 ´e
assint´otico `a menor ´orbita peri´odica do elips´oide P0. De uma an´alise similar `a feita na primeira
se¸c˜ao desse cap´ıtulo temos que a0 tem um m´ınimo, logo tomando uma transla¸c˜ao vertical de eu0
com a(0) = 3 vemos que a fam´ılia µ ´e n˜ao vazia. Como eu0 ´e um mergulho e o operador ∂Jb´e um
operador de Fredholm podemos usar o ´ındice de Fredholm sobre uma determinada solu¸c˜ao para calcular a dimens˜ao local de µ, seguindo o que ´e feito em [16]. Essa dimens˜ao ´e dada pela seguinte f´ormula, quando eu ´e uma esfera pseudo-holomorfa furada:
F red(eu) = µ+CZ − µ−CZ − χ(S2) + ♯Γ, (3.39) onde µ+CZ e µ−CZ denotam a soma dos ´ındices de Conley-Zehnder dos furos positivos e negativos respectivamente, e ♯Γ denota o n´umero de furos de eu. Segue que no nosso caso de um plano
pseudo-holomorfo mergulhado assint´otico `a P0 que satisfaz µCZ(P0) = 3, temos:
F red(eu) = µCZ(P0)− 1 = 2. (3.40)
Observa¸c˜ao: notamos que todos os planos de µ que est˜ao na mesma componente conexa por caminhos de eu0 s˜ao mergulhos. Esse fato que ser´a demonstrado no Apˆendice A se baseia na
constru¸c˜ao de um ´ındice de auto-intersec¸c˜ao para curvas pseudo-holomorfas que ´e invariante por homotopia, e que quando se anula implica que a curva ´e um mergulho. Diversas outras proprie- dades importantes de curvas pseudo-holomorfas, como o fato da proje¸c˜ao em S3 ser transversal ao fluxo podem ser codificadas a partir de ´ındices invariantes por homotopia e isso garante que essas propriedades s˜ao mantidas para deforma¸c˜oes de uma curva. Para n˜ao interromper nossa constru¸c˜ao iremos tratar desses ´ındices no Apˆendice A.
Prosseguimos no estudo da fam´ılia µ.
3.3.1 Compacidade da fam´ılia µ[α,β]
Seja µ[α,β] a seguinte fam´ılia de planos pseudo holomorfos:
µ[α,β] ={eu∈ µ e a(0) ∈ [α, β]}. (3.41)
Lema 6. Existe uma constante C[α,β] > 0 tal que |deu| < C para todo eu∈ µ[α,β].
Suponha por absurdo que n˜ao existe C[α,β] tal que |deuk| < C[α,β] para todo eu∈ µ[α,β]. Ent˜ao
existem sequˆencias zk e euk tais que:
|deuk(zk)| → +∞. (3.42)
Notamos que, pelo Lema 4, temos que lim supk→∞|zk| ≤ 1. ´E poss´ıvel ent˜ao tomar uma
subsequˆencia convergente zk→ z0, ou seja, z0 ´e ponto de bubbling.
Usando o Lema de Hofer ´e poss´ıvel ent˜ao achar uma sequˆencia zk′ → z0 tal que :
|deuk(zk′)| → +∞, (3.43)
|deuk(z)| ≤ 2|deuk(zk′)|∀z ∈ Bǫk(zk′), (3.44)
ǫk|deuk(zk′)| → +∞. (3.45)
Dividimos a demonstra¸c˜ao em dois casos: a) ak(z′k)→ +∞
Nesse caso, uma an´alise similar `a feita no caso b) da Proposi¸c˜ao 6 nos permite construir um plano pseudo-holomorfo eu de energia finita na simplectiza¸c˜ao de (S3, λE). A principal diferen¸ca ´e
que no atual caso RCue∗dλE pode ser n˜ao nula.
Esse plano ´e assint´otico a uma ´orbita peri´odica de XλE. Temos que:
Z
Ce
u∗dλE ≥ T0. (3.46)
Isso significa que eu tem ao menos T0 de integral dτ . Como os elementos da fam´ılia µ tem
integral dτ igual `a T0 temos que eu toma toda a integral dτ no bubbling.
b) ak(z′k) ´e limitado
Nesse caso uma an´alise similar `a feita no caso a) da Proposi¸c˜ao 6 nos permite construir um plano pseudo-holomorfo eu em (R× S3, bJ). Novamente eu tem de ser assint´otico `a ´orbita peri´odica
P0 de menor a¸c˜ao, pois como observamos s´o h´a RCue∗dτ ≤ T0 pois os elementos da fam´ılia µ tem
integral dτ igual `a T0. Reunificamos agora a demonstra¸c˜ao.
a) e b) mostram que para todo ponto de bubbling geramos um plano pseudo-holomorfo que rouba T0 da integral dτ . Como s´o existe T0 dispon´ıvel, existe apenas 1 ponto de bubbling. Chamamos z0
esse ponto de bubbling.
Afirmamos: |z0| = 1
Do Lema 4 sabemos que |z0| ≤ 1. Se |z0| < 1 ent˜ao o plano pseudo-holomorfo eu produzido no
bubbling pode roubar no m´aximo a integral dτ contida no disco unit´ario D, pois a partir de um certo k, Bǫk(0)⊂ D. Logo: Z Ce u∗dτ ≤ lim sup k→+∞ Z Bǫk(0)e u∗kdτ ≤ lim sup Z De u∗kdτ = T0− γ0 2. (3.47) Como eu ´e assint´otico a uma ´orbita peri´odica de XλE a equa¸c˜ao acima implicaria que existe
uma ´orbita peri´odica XλE com a¸c˜ao menor ou igual a T0−
γ0
2 , o que ´e um absurdo. Isso finaliza a
demonstra¸c˜ao da afirma¸c˜ao.
Em cada compacto de C\ {z0} o gradiente da sequˆencia euk ´e uniformemente limitado. Como
z06= 0 temos que euk(C\{z0}) tem um ponto em [α, β]×S3. Usando ent˜ao o teorema de Arzel´a-Ascoli
existe uma subsequˆencia de eukque converge localmente em C\{z0} a um cilindro pseudo-holomorfo
ev em (R × S3, eJ), e como o bubbling em z
0 roubou toda a integral dτ dispon´ıvel:
Z
C\{z0}ev
∗dτ = 0 (3.48)
Pelo Corol´ario 1, isso implica que ev ´e constante, mas como: Z |z|=1+ǫev ∗τ = limZ |z|=1+ǫe u∗kτ ≥ T0− γ0 2 , (3.49)
ev ´e n˜ao-constante, o que ´e absurdo. Isso finaliza a prova do lema.
O Lema 5 implica que a fam´ılia µ[α,β] ´e compacta. Para vermos isso tomemos uma sequˆencia e
uk ∈ µ[α,β]. Como |deu| < C temos que em cada compacto de C a sequˆencia euk ´e equicont´ınua.
Em compactos a sequˆencia euk `e uniformemente limitada. A hip´otese de que ak(0) ∈ [α, β] nos
garante que a sequˆencia euk ´e totalmente limitada, e por isso satisfaz as hip´oteses do teorema de
Arzel´a-Ascoli. Segue que euktem uma subsequˆencia convergente e pela regularidade el´ıptica tem de
ser um plano pseudo-holomorfo eu em (R× S3, bJ). Como eu ´e obtido como um limite de elementos
da fam´ılia µ temos RCeu∗dτ ≤ T0. Como eu ´e assint´otico a uma ´orbita peri´odica do elips´oide, ele
tem de ser assint´otico a P0 que ´e a ´orbita de a¸c˜ao m´ınima, e portanto eu∈ µ.