2. BÖLÜM BULGARİSTAN MUHACİRLERİ’NİN ANADOLU’YA GÖÇÜ
2.3. Bulgaristan’dan Konya’ya Göçler
2.3.1. Konya Merkez ve Çevresine İskân Edilen Balkan Muhacirleri
A partir de agora estudaremos, nesse cap´ıtulo, planos e cilindros de energia finita em (R×S3, bJ),
ou seja, o caso em que ˙Σ ´e bi-holomorfo `a C ou R× S1 (com coordenadas cil´ındricas s + it) e suas
estruturas complexas usuais. Veremos agora que todo plano de energia finita ´e assint´otico `a uma ´
orbita peri´odica P de (S3, λ
E) no seguinte sentido:
u(Reit) converge a P (t + c) (onde c ´e uma constante) quando R→ +∞.
a(Reit)→ +∞ uniformemente em t quando R → +∞.
O comportamento assint´otico de planos de energia finita em simplectiza¸c˜oes foi estudado em [14].
Para aplicar os resultados desse trabalho mostraremos que a(Reit) → +∞ uniformemente em t quando R→ +∞ o que nos garante que existe um R0> 0 tal que:
|z| > R0 ⇒ eu(z)∈ [2, +∞) × S3. (3.12)
Como em [2, +∞), bJ coincide com a estrutura quase-complexa da simplectiza¸c˜ao de (S3, λE)
podemos utilizar os resultados de [14] sobre o comportamento assint´otico do plano eu.
Para isso come¸caremos estudando certas propriedades de planos de energia finita em (R×S3, bJ)
Lema 2. Seja eu : C→ (R × S3, bJ) um plano pseudo-holomorfo com 0 < E(eu) < +∞. Ent˜ao n˜ao
existe R∈ R tal que eu(C)⊂ [−R, R] × S3.
Demonstra¸c˜ao: Suponha que exista R > 2∈ R tal que eu(C)⊂ [−R, R] × S3. Escolha φ∈ Λ
tal que φ′(a) > 0 se a∈ [−R, −1] ∪ [1, R]. Com essa propriedade d(φτ) ´e uma forma simpl´etica em [−R, R] × S3. Como eu ´e n˜ao-constante mostraremos queR
Cue∗d(φτ ) > 0. Se eu n˜ao ´e constante
tome um ponto onde eus6= 0. Ent˜ao, pela observa¸c˜ao 2 vale:
e
u∗d(φτ )(∂s, ∂t) = d(φτ )(eus, eut) = d(φτ )(eus, bJ eus) > 0, (3.13)
j´a que d(φτ ) ´e simpl´etica.
Na variedade simpl´etica compacta ([−R, R]×S3, d(φτ )) temos ent˜ao uma curva pseudo-holomorfa com integral d(φτ ) finita. O teorema da remo¸c˜ao de singularidades de Gromov [8] nos diz ent˜ao que podemos estender eu de C `a S2 ∼= C∪ ∞. Obtemos ent˜ao uma esfera pseudo-holomorfa em uma variedade compacta simpl´etica compacta. Mas para qualquer ψ ∈ Λ, d(ψτ) ´e uma forma exata. Segue ent˜ao do teorema de Stokes que para toda ψ ∈ Λ, RS2ue∗d(ψτ ) =
R
∂S2ue∗(ψτ ) = 0.
Conclu´ımos ent˜ao que E(eu) = 0 e chegamos a uma contradi¸c˜ao. Provaremos agora que o gradiente de eu ´e uniformemente limitado.
Iniciamos com dois lemas t´ecnicos necess´arios para nossa an´alise de bubbling. Lema 3. Seja eu um plano pseudo-holomorfo n˜ao-constante em (R× S3, bJ) . Ent˜aoR
Ceu∗dτ > 0.
Dividimos nossa prova em 2 casos:
(a) Existe um ponto de nosso plano pseudo holomorfo em [−1, 1] × S3.
Nesse caso temos que existe z ∈ C tal que deu(z)6= 0 e eu(z)∈ [−1, 1]×S3 pois eu ´e n˜ao constante.
Introduzindo coordenadas complexas s + it,temos para esse z:
e
u∗dτ (∂s, ∂t) = dτ (eus, eut) = dτ (eus, bJ eus) > 0, (3.14)
pois eus 6= 0 e bJ ´e compat´ıvel com a forma simpl´etica dτ em [−1, 1] × S3. Como o integrando eu∗dτ
´e sempre n˜ao-negativo pela observa¸c˜ao 2, temos Rue∗dτ > 0.
(b) Nosso plano pseudo-holomorfo est´a contido em {[−∞, −1] ∪ [1, ∞]} × S3.
Mas nesse caso como a estrutura quase-complexa coincide com J temos, usando coordenadas complexas s + it, que a equa¸c˜ao ∂eu = 0 se escreve como:
πaus + Jπaut= 0, (3.15)
λa(us) =−at, (3.16)
λa(ut) = as, (3.17)
onde πa : T S3 → ξ ´e a proje¸c˜ao em ξ ao longo do campo de Reeb Xa dada por πa(x, v) =
(x, v− λa(v)Xa).
Observamos ent˜ao que eu∗τ = λa(us)ds + λa(ut)dt = −atds + asdt , donde:
e
u∗dτ (∂s, ∂t) = −∆a. (3.18)
Se a integral R eu∗dτ = 0 temos necessariamente eu∗dτ = −∆ads ∧ dt = 0, ou seja, a fun¸c˜ao a
´e harmˆonica. Mas como eu ⊂ {[−∞, −1] ∪ [1, ∞]} × S3, temos que ou a ≤ −1 ou ≥ +1. Segue
ent˜ao do teorema de Liouville para fun¸c˜oes harmˆonicas que a ´e constante. Mas se a ´e constante, isso implica que eu(C)⊂ {a(0)} × S3. Pelas f´ormulas (3.15), (3.16) e (3.17) deve ser uma superf´ıcie
Corol´ario 1. Seja ev : C \ {0} → (R × S3, bJ) um cilindro pseudo-holomorfo n˜ao constante. Ent˜ao
R
ev∗dτ > 0.
Demonstra¸c˜ao: Se ev : C\{0} → (R×S3, bJ) satisfazR ev∗dτ = 0, definimos eu : C→ (R×S3, bJ)
com eu(z) = ev(ez). Como a fun¸c˜ao exponencial ´e holomorfa de C em C\ {0} temos que eu ´e um plano pseudo holomorfo e Rue∗d(τ ) = 0. Logo eu ´e constante o que implica ev constante.
Antes de prosseguir iremos enunciar um lema provado em [10] que ser´a essencial nas an´alises de bubbling que faremos nesse cap´ıtulo. Para uma demonstra¸c˜ao referimos a [18] p´aginas 71-72.
Lema de Hofer Seja (X,d) um espa¸co m´etrico completo e f : X → R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Para quaiquer ǫ0> 0 e x0 ∈ X existem ǫ′0 ∈ (0, ǫ0] e x′0∈ B2ǫ0(x0) tais que:
f (x′0)ǫ′0 ≥ f(x0)ǫ0,
d(x, x′0)≤ ǫ′0 ⇒ f(x) ≤ 2f(x′0).
Prosseguimos agora com a seguinte:
Proposi¸c˜ao 6. Seja eu um plano de energia finita em (R× S3, bJ). Ent˜ao existe C > 0 tal que
|deu(zk)| < C para todo z ∈ C, onde |deu(zk)| ´e tomada em rela¸c˜ao `a m´etrica gJb
Observa¸c˜ao: definimos |deu(zk)| como max{|deu(zk)(v)|; |v| = 1}. Calculamos |v| segundo a
m´etrica euclidiana em C que faz de C um espa¸co completo, e calculamos |deu(zk)(v)| usando em
R× S3 a m´etrica gb
J que satisfaz: g(Xλ, Xλ) = g(∂a, ∂a) = 1, w ∈ ξ g(w, w) = dλ(w, Jw) para
w∈ ξ.
Demonstra¸c˜ao: Por absurdo suponha que exista uma sequˆencia de pontos zktal que|deu(zk)| →
+∞. Tome ent˜ao uma sequˆencia δk→ 0 tal que δk|deu(zk)| → +∞. Ent˜ao o Lema de Hofer aplicado
`
a sequˆencia zk em C (que ´e um espa¸co m´etrico completo) e `a fun¸c˜ao cont´ınua|deu(zk)| nos diz que
´e poss´ıvel escolher pontos z′
k e n´umeros ǫk→ 0 com a seguinte propriedade:
Rk =|deu(zk′)| → +∞, (3.19)
Rkǫk→ +∞, (3.20)
|deu(z)| ≤ 2Rk se |z − zk′| < ǫk. (3.21)
Dividimos nossa demonstra¸c˜ao agora em 2 casos: (a) |a(z′
k)| ´e limitado.
Nesse caso definimos:
evk(z) = eu(
z Rk
+ zk′). (3.22)
Observamos que|devk| ≤ 2 em BRkǫk(0) e que a hip´otese (a) nos garante que ´e poss´ıvel (tomando
uma subsequˆencia se necess´ario) garantir que evk(0) converge a um ponto de R× S3. Isso, o fato
de que Rkǫk→ +∞ e regularidade el´ıptica nos permitem concluir que existe uma subsequˆencia de
evk que converge a uma aplica¸c˜ao pseudo-holomorfa ev : C → (R × S3, bJ).
Como Rkǫk→ +∞ temos: R Cev∗dτ = limk→+∞ R BRkǫk(0)evk∗dτ = R Bǫk(z′ k)ue ∗dτ → 0 pois R Cue∗dτ
´e finita. Segue ent˜ao do Lema 2 que ev ´e constante. Mas |dev(0)| = limk→+∞|d evk(0)| = 1, o que
contradiz o fato de que ev ´e constante. (b) |a(z′
k)| ´e ilimitado
Suporemos sem perda de generalidade que |a(z′
Nesse caso definimos: evk(z) = (a( z Rk + z′k)− a(zk′), u( z Rk + z′k)). (3.23) Temos duas possibilidades:
1) a(zk′)→ +∞. 2) a(z′
k)→ −∞.
Demonstraremos o caso 1), sendo que para 2) a demonstra¸c˜ao ´e idˆentica, trocando-se λE por λ
1) A aplica¸c˜ao evk´e pseudo-holomorfa na simplectiza¸c˜ao de (S3, λE) se restringirmos o dom´ınio
a Brk onde rk = min{Rkǫk,
a(z′ k)
3 }. Sendo assim temos rk→ +∞ e a sequˆencia evk satisfaz:
evk : Brk(0)→ (R × S 3, J λE) ´e pseudo-holomorfo (3.24) |devk|Brk(0)| ≤ 2, (3.25) |devk(0)| = 1, (3.26) bk(0) = 0. (3.27)
Ent˜ao a regularidade el´ıptica nos permite concluir que existe uma subsequˆencia de evk|Brk(0)
que converge a um plano pseudo-holomorfo de energia finita n˜ao constante ev. Entretanto, por um racioc´ınio idˆentico ao exposto no caso a), valeRCev∗dλE = 0.
Em [10] ´e provado que planos de energia finita na simplectiza¸c˜ao de uma variedade de contato (M, λ′) que n˜ao s˜ao constantes tem integral dλ′ positiva. Aplicando esse resultado ao plano ev na
simplectiza¸c˜ao de (S3, λE) temos um absurdo. Isso finaliza a demonstra¸c˜ao na hip´otese 1). A
demonstra¸c˜ao na hip´otese 2) ´e, como observamos anteriormente, an´aloga. Conclu´ımos que o caso b) tamb´em leva a um absurdo, o que termina a prova de nossa proposi¸c˜ao.
Coment´ario: Observamos que o resultado provado aqui vale para qualquer curva pseudo- holomorfa em uma superf´ıcie de Riemann com furos ˙Σ tomando-se em ˙Σ uma m´etrica Riemanniana completa. Um caso especial que ser´a necess´ario na continua¸c˜ao ´e que para ev(R, θ) = bu(e2π(R+iθ)), tamb´em existe C > 0 tal que |dev| < C. ´E imediato ver que se a sequˆencia Rk for limitada
|dev(Rk, θk)| ´e limitada. Logo, se |dev(Rk, θk)| ficar arbitrariamente grande, podemos garantir (to-
mando uma subsequˆencia se necess´ario) que Rk → +∞. Ent˜ao, uma an´alise igual `a feita na
prova da Proposi¸c˜ao acima leva `a uma contradi¸c˜ao, pela constru¸c˜ao de um plano pseudo-holomorfo n˜ao-constante que tem integral dτ (ou dλ) nula.
Prosseguimos a an´alise dos planos de energia finita estudando o que ocorre agora quando|z| → +∞. Nosso objetivo ´e mostrar que assim como no caso de simplectiza¸c˜oes a parte real a de eu vai para +∞ e que u(Reit) converge uniformemente em t a uma ´orbita peri´odica do elips´oide. Para
isso come¸camos mostrando que a(C) ´e inferiormente limitado.
Lema 4. Seja eu um plano pseudo-holomorfo de energia finita. Ent˜ao a ´e inferiormente limitada. Demonstra¸c˜ao: Suponha por absurdo que a n˜ao ´e inferiormente limitada. Expressando eu em coordenadas polares obtemos ev : R × S1 → R × S3 dado por:
ev(R, θ) = eu(e2π(R+iθ)). (3.28) Como o mapa (R, θ) 7→ e2π(R+iθ) ´e holomorfo para a estrutura complexa j usual no cilindro (j(∂θ) =−∂R) temos que o mapa ev ´e pseudo-holomorfo. Pelo coment´ario acima temos que existe
C > 0 tal que|dev| < C. ´
E poss´ıvel ent˜ao tomar uma sequˆencia (Rk, θk) → (+∞, θ∗) tal que b(Rk, θk) → −∞, onde
ev = (b, v) e ∂Rb(Rk, θk) < 0. Como o gradiente de ev ´e uniformemente limitado podemos ainda
Definimos ent˜ao a sequˆencia de mapas:
e
wk(R, θ) = (b(R + Rk, θ + θk)− b(Rk, θk), v(R + Rk, θ + θk)). (3.29)
Observamos ent˜ao que o mapa ewk|[−k+2 C ,
k−2 C ]
´e pseudo-holomorfo na simplectiza¸c˜ao de (S3, λ)
(com a estrutura quase-complexa Jλque definimos no fim inferior do cobordismo e que ´e invariante
em rela¸c˜ao `a coordenada R). Como a sequˆencia ewk tem gradiente limitado e ewk(0, 1) ∈ {0} × S3
´e poss´ıvel tomar uma subsequˆencia de ewk que converge a um cilindro pseudo-holomorfo ew em
(R× S3, J λ) e que: Z R×S1 e w∗dλ = lim k→+∞ Z [−k+2 C , k−2 C ]×S1 e w∗kdλ = lim k→+∞ Z [Rk−(k−2)C ,Rk+(k−2)C ]×S1 ev∗dτ = 0, (3.30) onde usamos o fato de que o integrando ev∗dτ ´e n˜ao-negativo, ev tem integral dτ finita e Rk−k
C → +∞
para garantir a igualdade `a direita.
Os resultados de [10] nos dizem ent˜ao que ew = (g, w) ´e um cilindro sobre uma ´orbita peri´odica x(t) de Xλ. Mas como ∂Rg(0, 1) = limk→+∞∂Rb(Rk, θk)≤ 0, ew ´e da forma (−T s + d, x(−T θ + d′).
Isso implica que existe uma sequˆencia rl→ +∞ tal que:
u(e2π(rl+it)) converge uniformemente em t para x(−T t + d′). Ent˜ao dado −T
10 ,tomamos l
suficientemente grande tal que: Z Be2πrl(0)e u∗dτ = Z |z|=e2πrl(0)e u∗τ ≤ Z S1 x∗τ −−T 10 = −9T 10 < 0. (3.31)
Mas como eu ´e pseudo-holomorfa dever´ıamos ter RB
e2πrl(0)ue
∗dτ > 0 para todo l, e portanto
chegamos a um absurdo. Isso conclui a demonstra¸c˜ao do lema. Estamos agora prontos para provar o principal teorema desta se¸c˜ao.
Teorema 3. Seja eu um plano pseudo-holomorfo de energia finita e n˜ao-constante em (R× S3, bJ).
Ent˜ao limR→+∞a(Re2πiθ) = +∞.
Demonstra¸c˜ao: Como a ´e inferiormente limitada, temos pelo Lema 1 que a n˜ao pode ser superiormente limitada, pois eu n˜ao ´e constante. Usando novamente coordenadas polares, tomamos uma sequˆencia rk com a seguinte propriedade bk(rk, θ) > k onde:
(b(r, θ), v(r, θ)) = ev(r, θ) = eu(e2π(r+iθ)). (3.32) Supondo, por absurdo, que a n˜ao satisfaz limR→+∞a(Re2πiθ) = +∞, temos que b(r, .) n˜ao
tende uniformemente a +∞ quando r → +∞, e portanto, existe n0 > 2 que satisfaz:
para todo r0, existe r > r0 tal que b(r, θ) < n0 ∀ θ ∈ S1. Nessas condi¸c˜oes ´e poss´ıvel assumir que
a sequˆencia rk satisfaz tamb´em:
∂rb(rk, θk) < 0, (3.33)
para algum θk∈ S1 e rk− k → +∞.
Definindo os mapas:
e
wk(r, θ) = (b(r + rk, θ + θk)− b(rk, θk), v(r + rk, θ + θk)). (3.34)
Lembrando que ∃C > 0 tal que |dev| < C, temos que a restri¸c˜ao ewk|[−k+n0
C ,k−n0C ]×S1
define uma curva pseudo-holomorfa em (R×S3, J
λE). Assim, como ewk(0, 1)∈ {0}×S
de ewk que converge a um cilindro pseudo-holomorfo ew. Como rk− k → +∞ e R R×S1ev∗dτ ´e finita temos que: Z R×S1 e w∗dλE ≤ lim k→+∞ Z [rk−(k−2)C ,rk+(k−2)C ]×S1 e wk∗dλE = lim k→+∞ Z [rk−(k−2)C ,rk+(k−2)C ]×S1 ev∗dτ = 0.