MPEG-4 AVC (H.264) Standardında Kullanılan Kodlama Yöntemleri

Uma alternativa à utilização da programação estocástica tradicional é uma abordagem aparentemente introduzida no trabalho de Mulvey et al. (1995), que foi denominada pe- los autores de otimização robusta − denominada nessa tese de programação estocástica

robusta _{− para evitar confusão com otimização robusta segundo Ben-Tal e Nemirovski}

(2000) e estudada no próximo capítulo. A programação estocástica robusta é baseada na integração entre a programação por metas e a abordagem por cenários. A motivação dessa metodologia é gerar uma série de soluções que sejam progressivamente menos sensíveis aos diferentes cenários do problema. Para definir o problema de programação estocástica robusta, é preciso introduzir a noção de robustez, definida em Mulvey et al. (1995):

Definição 3.1 A solução ótima de um modelo de programação estocástica é robusta em relação à otimalidade se ela permanece “perto” da solução ótima para qualquer realização

do cenário _{s ∈ Ω. A isso, dá-se o nome de solução robusta.}

Definição 3.2 A solução ótima de um modelo de programação estocástica é robusta em

relação à factibilidade se ela for “quase” factível para qualquer realização do cenário_{s ∈ Ω.}

A isso, dá-se o nome de modelo robusto.

O significado matemático de “perto” e “quase” pode ser quantificado pela escolha apropriada das normas.

Dada a improbabilidade da solução de um determinado problema de programação estocástica permanecer factível e ótima para todo s ∈ Ω, Mulvey et al. (1995) desenvol- veram uma metodologia para permitir o controle do tradeoff entre a robustez da solução e a robustez do modelo, a partir da introdução de variáveis auxiliares e pesos que pos-

suem uma conotação multiobjetivo. A formulação geral de um problema de programação estocástica robusta é apresentada a seguir.

Minimizar cT_{x +}X s∈Ω πsqsTys+ λσ(y1,y2, · · · ,yS) + γρ(z1,z2, · · · ,zS) Sujeito a: Ax = b T x + Wsys+ zs= hs, s ∈ Ω x, ys ≥ 0, zs livre, s ∈ Ω. (3.6)

As variáveis de decisão irrestritas em sinal zs medem a infactibilidade das restrições

estocásticas e são penalizadas na função objetivo pela função ρ(·). A função σ(·) repre- senta a medida de variabilidade do custo de segundo estágio. Ambos γ e λ são pesos multiobjetivos usados para refletir as preferências do decisor em relação à robustez do modelo e à robustez da solução, respectivamente. É comum designar o termo risco às par- celas referentes a γ e λ, o que confere à formulação (3.6) o nome de modelo Média-Risco (MR).

Aos coeficientes λ e γ das funções ρ(·) e σ(·) são designados valores numéricos defi- nidos pelo decisor. Por exemplo, se γ = 0, permite-se obter soluções altamente infactíveis a um custo baixo; por outro lado, se γ é suficientemente grande, é possível obter soluções “quase” factíveis para todos os cenários, mas o custo total esperado pode deteriorar-se em demasia.

O parâmetro λ fornece a importância relativa entre a expectância e a variabilidade do custo. Se λ = 0, o objetivo é minimizar a expectância, ignorando a variabilidade dos custos. Esse caso é preferível por decisores mais tolerantes/neutros ao risco. Se o decisor é averso ao risco, deve-se atribuir λ > 0, de modo que seja tão importante minimizar o custo esperado quanto a sua variabilidade (isso ocorre para λ = 1). Também, pode ser mais importante minimizar a variabilidade do que o custo esperado de segundo estágio (λ > 1).

Nos problemas de programação estocástica robusta, é importante elaborar funções apropriadas para a medida de variabilidade σ(·) e de penalidade ρ(·). Há vários trabalhos que mencionam o modelo clássico de média-variância de Markowitz (Markowitz, 1959) afim de balancear expectância e variabilidade: Mulvey et al. (1995), Yu e Li (2000), Leung e Wu (2004), Leung et al. (2007) e Khor et al. (2008). Considerando, a partir desse

ponto, ζs = cTx + qsTys, a função σ(·) pode ser escrita como a variância E[(ζs− E(ζs))2]:

σ(y1,y2, · · · ,yS) = X s∈Ω πs ! ζs− X s′_∈Ω πs′ζ_s′ "2 . (3.7)

Uma desvantagem prática da função (3.7) é a intratabilidade computacional do pro- blema de otimização resultante, que é um problema de programação quadrática não linear convexo, que poderia ainda conter variáveis de decisão inteiras ou binárias (o que resul- taria em um problema de programação quadrática não linear inteiro/binário convexo). Para evitar formulações não lineares, Konno e Yamazaki (1991) propuseram uma função alternativa σ(·) baseada no desvio médio-absoluto (MAD). De acordo com a formulação MAD, a função σ(·) é dada por:

σ(y1,y2, · · · ,yS) = X s∈Ω πs      ζ −X s′_∈Ω πs′ζ_s′      . (3.8)

A função não linear (3.8) pode ser linearizada pela imposição da restrição ζs −

P

s′_∈Ωπs′ζ_s′ = ∆+_s−∆−_s, minimizando λ P_s∈Ωπ_s(∆+_s +∆−_s) na função objetivo do modelo.

Note que não é preciso impor a condição de complementariedade ∆+

s × ∆−s = 0 em

problemas lineares e contínuos, uma vez que os próprios métodos de solução asseguram que apenas uma variável é positiva para λ > 0. Outra opção de linearização é apresentada no trabalho de Yu e Li (2000), em que os autores utilizam apenas um conjunto de variáveis auxiliares, de acordo com o Teorema a seguir.

Teorema 3.1 O problema de programação por metas min

x {Z = |f(x) − g| : x ∈ F } pode

ser linearizado da seguinte maneira: min

x,θ {Z

′

= f (x)−g+2θ : g−f(x) ≤ θ, θ ≥ 0, x ∈ F },

em que _{F é um conjunto factível e | · | denota o valor absoluto.}

Prova: _{A prova desse teorema deve verificar os casos em que f(x) −g ≥ 0 e f(x)−g < 0.}

No primeiro caso, note que a restrição g − f(x) ≤ θ é redundante, pois θ ≥ 0. Assim, na

solução ótima, θ = 0, o que resulta em Z′ _{= Z. No segundo caso, a solução ótima força}

θ = g − f(x), implicando em Z′ _{= f (x) − g + 2(g − f(x)) = g − f(x) = Z.}

Utilizando o Teorema 3.1, tem-se que a medida de variabilidade (3.8) pode ser li-

nearizada impondo-se a restrição ζs−P_s′_∈Ωπs′ζs′ − ∆s ≥ 0, e minimizando a expressão

λP

s∈Ωπs ζs−P_s′_∈Ωπs′ζs′
+ 2∆s



. Nesse caso, tem-se ∆s menos variáveis, em com-

paração com a linearização anterior.

As funções (3.7) e (3.8) são aplicáveis quando os desvios positivo e negativo dos custos são igualmente indesejáveis. Se apenas os desvios positivos são indesejáveis, é possível adotar a seguinte medida de variabilidade.

σ(y1,y2, · · · ,yS) =

X

s∈Ω

em que ∆s = max{0, ζs−

P

s′_∈Ωπs′ζs′
}, que pode ser linearizada pela imposição de

que ∆s ≥ ζs−

P

s′_∈Ωπs′ζs′. O rhs da expressão (3.9) é denominado média parcial superior

(upper partial mean ou UPM), de acordo com Ahmed e Sahinidis (1998).

Basedo na idéia de UPM, Zanjani et al. (2009) propuseram a variância parcial superior (upper partial variance ou UPV), em que o rhs de (3.9) é substituído por

λP

s∈Ωπs∆2s. Takriti e Ahmed (2004) desenvolveram a medida de variabilidade com

∆s = max{0, (ζs− R∗)}, sendo que R∗ representa a meta do custo de segundo estágio.

Zanjani et al. (2009) estenderam essas funções para os chamados momentos parciais supe-

riores de ordem 2 (upper partial moment of order 2 ou UPM-2), em que σ(y1,y2, · · · ,yS) =

P

s∈Ωπs∆2s, com ∆s= max{0, (ζs− R∗)}.

Para as funções de penalidade, pode-se utilizar ρ(z1,z2, · · · ,zS) =

P

s∈ΩπszsTzs, que

é uma penalidade quadrática aplicável, por exemplo, quando ambas as violações positivas e negativas das restrições são indesejáveis. Se apenas os desvios positivos são indesejáveis,

pode-se adotar ρ(z1,z2, · · · ,zS) =

P

s∈Ωπsmax{0, zs}, que também pode ser linearizada.

Para mais detalhes em medidas de risco e funções de penalidade, assim como assuntos correlatos, o leitor pode consultar, por exemplo, Dupacová (2008); Fabozzi et al. (2010) e Shapiro et al. (2009).

A programação estocástica robusta no sentido de Mulvey et al. (1995) tem sido uti- lizada em muitas aplicações, como expansão de capacidade (Laguna, 1998), planejamento agregado (Leung e Wu, 2004) e (Aghezzaf et al., 2010), revenue menagement (Lai e Ng, 2005; Lai et al., 2007), planejamento da produção em múltiplas plantas (Leung et al., 2007), programação de frota de ônibus (Yan e Tang, 2009), produção de toras de madeira (Zanjani et al., 2009), cadeia de suprimentos num contexto de manufatura ágil (Pan e Nagi, 2010), fornecimento de gás natural (Aouam et al., 2010), processamento de sinal (Ukkusuri et al., 2010), planejamento e programação da produção e processos em indús- trias químicas e refinarias de petróleo (Suh et al., 2001; Jia e Ierapetritou, 2004; Khor et al., 2008; Li e Ierapetritou, 2008), dentre outras aplicações.

3.1.3

Modelos com Recurso Restrito

As metodologias referidas como programação estocástica robusta são especialmente im- portantes quando há a necessidade de controlar a robustez da solução e do modelo. Em muitas aplicações, entretanto, seria suficiente garantir uma estabilidade das variáveis de decisão de segundo estágio, para que as decisões não tivessem que ser re-implementadas a cada novo cenário materializado. Foi nesse contexto que Vladimirou e Zenios (1997) desenvolveram a metodologia denominada programação estocástica com recurso restrito.

Os modelos robustos propostos em Mulvey et al. (1995) empregam a noção de oti- mização multiobjetivo para otimizar (indiretamente) o conflitante critério de robustez e custo, enquanto os modelos com restrição de recurso incorporam condições de robustez diretamente pela satisfação das restrições. Além disso, Mulvey et al. (1995) consideram a robustez da solução e do modelo, enquanto o foco de Vladimirou e Zenios (1997) é apenas controlar a variabilidade das decisões de segundo estágio, dado um conjunto de cenários. O modelo geral de dois estágios com recurso restrito é obtido pela introdução de uma restrição que limita a variabilidade das decisões de segundo estágio. Tal restrição pode ser formulada, por exemplo, usando os valores médios calculados com base nas variáveis de segundo estágio. O modelo estocástico com restrição de recurso pode ser escrito da seguinte maneira: min cT_{x +}X s∈Ω πsqTsys s.a. Ax = b Tsx + Wsys= hs s ∈ Ω X s∈Ω πs||ys− X s′_∈Ω πs′y_s′|| ≤ ǫ x, ys≥ 0 s ∈ Ω