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Trataremos, no decorrer de nosso trabalho, da utilização das provas e demonstrações em materiais didáticos, entretanto, julgamos necessário definirmos qual a concepção que adotaremos para esses termos, dentre as que aqui foram expostas.

As pesquisas apontam que existem problemas envolvendo esses termos no âmbito da formação de professores, como cita Pietropaolo (2005), Gravina (2001), ou ainda no que diz respeito ao ensino e a aprendizagem da formalização Matemática em todos os níveis de ensino como apontam Hajnal (2007), Carvalho (2007), Amorim (2008).

Duval (1995, apud ALMOULOUD 2007) analisando as possíveis causas do fracasso do ensino e aprendizagem da demonstração em Matemática, aponta a atividade cognitiva solicitada para a elaboração de uma prova como um empecilho natural para uma aprendizagem tranquila. Seu aprendizado requer um desenvolvimento cognitivo particular e específico que, em muitos casos, o aprendiz ainda não alcançou. Outro fator importante a considerar na produção de provas, diz respeito à linguagem natural que está intimamente relacionada a esse processo, visto que as argumentações podem ser redigidas, relacionando oralidade e escrita.

Amparados por essas reflexões e considerando que muitos são os enfoques, por meio dos quais esse tema possa ser discutido, julgamos importante identificar a concepção de prova e demonstração que utilizaremos no decorrer do nosso trabalho. Apropriamos-nos da concepção de Balacheff (1987) para os dois termos, visto que nos auxiliará nas análises que realizaremos, portanto nosso entendimento sobre o que é uma prova e uma demonstração em Matemática obedecerá a partir de então a seguinte definição:

Prova: uma explicação aceita por uma comunidade em um determinado

momento. Essa decisão pode ser objeto de um debate entre a significação e a exigência de determinar um sistema de validação comum aos interlocutores.

Demonstração: caso particular de prova; é uma sequência de enunciados

seguindo regras determinadas: um enunciado é conhecido como sendo verdadeiro ou bem é obtido a partir daqueles que lhe precedem com o auxílio de uma regra de dedução tomada de um conjunto de regras bem definidas. Chamamos demonstração essas provas (Balacheff, 1987, pp.147-148).

Em síntese, a demonstração, enquanto um caso particular de prova aceita por uma comunidade Matemática, se organiza a partir de encadeamentos lógicos de afirmações verdadeiras. Os encadeamentos proporcionados por essa sequência de afirmações verdadeiras têm por objetivo justificar, validar a construção de um corpo teórico que, em muitos casos, iniciou-se a partir de observações empíricas e intuitivas.

Na construção desse corpo teórico, advindo de observações, apoiamo-nos em Dias (2009) ao explicitar a demonstração como

[...] um processo pelo qual uma conjectura, fruto de experimentações e observações, no âmbito da prática ou da teoria, passa a ter o status de verdade Matemática, ou seja, ela é integrada ao conjunto das afirmações. Esse processo visa construir um encadeamento lógico de afirmações, culminando com a veracidade ou não da conjectura (DIAS, 2009, p.37, grifo nosso).

O processo matemático que leva uma conjectura a assumir o status de verdade, citado pela autora, é tão complexo quanto o desenvolvimento cognitivo necessário para acompanhá-lo. Nossa reflexão permitiu-nos concordar com Balacheff (1987) ao considerar como uma das dificuldades presentes no processo de ensino e aprendizagem das demonstrações, o desenvolvimento cognitivo dos indivíduos. Demonstrar em Matemática não se torna tarefa simples, requer um domínio de encadeamento simbólico e raciocínio dedutivo-argumentativo pertencentes ao desenvolvimento cognitivo de cada indivíduo.

Ao considerar a importância do desenvolvimento cognitivo dos indivíduos para a compreensão e elaboração de uma demonstração, citamos De Villiers (2001) ao explicitar sobre as importantes funções de uma demonstração, inclusive como meio de desafio intelectual

Para os matemáticos a demonstração é um desafio intelectual que eles acham apelativo como outras pessoas podem achar apelativos puzzles ou outros passatempos ou esforços. [...] Fazer demonstrações poderia ser também comparado com o desafio físico de correr uma maratona ou contemplar uma prova de triatlo, e a satisfação que se sente depois. Neste sentido, a demonstração serve as funções de realização e satisfação pessoais (De VILLIERS, 2001, p.35).

Entrelaçando o significado de prova e demonstração que adotaremos em nossa pesquisa a partir desse ponto, resta–nos ainda definir o que estamos chamando, no decorrer desse trabalho, de método axiomático. Entendemos axiomática – desenvolvida entre os séculos XIX e XX – enquanto um campo de estudo dos conjuntos de postulados e suas propriedades, segundo Eves (2004), o qual aponta dois fatores de fundamental importância para esse desenvolvimento: pesquisas que visavam encontrar um conjunto de postulados aceitável para a Geometria euclidiana e a descoberta de Geometrias não-euclidianas, que fosse igualmente consistente.

O processo de demonstração apoia-se em premissas consideradas verdadeiras e segue um encadeamento lógico, como anteriormente observado. Considerando o tema dessa pesquisa – Geometria Analítica – e a relação que se estabelece entre dois campos da Matemática – Geometria e Álgebra – tomamos como exemplo o modelo axiomático definido para a Geometria euclidiana e assim descrito por Gravina (2001):

Este modelo organiza-se em noções e relações primitivas, axiomas,

definições e teoremas. As noções e as relações primitivas são aceitas

sem explicação e revestem-se de significados intuitivos, é assim que se fala, inequivocamente, de pontos, retas, estar entre, ser igual a... [...]

Axiomas são os pressupostos aceitos como ponto de partida para a

construção do modelo, não cabendo questionamentos quanto à sua veracidade. [...]

Definições são simples facilitadores na organização do modelo,

encerrando, em expressão única, determinadas relações geométricas. [...]

Teoremas são afirmações passíveis de demonstração, estando sua

veracidade garantida por um encadeamento de inferências lógicas – a argumentação lógico-dedutiva – apoiadas na estrutura que dá início ao modelo, e nos teoremas que, similarmente, já foram aí inseridos; [...] (GRAVINA, 2001, p.58, grifo nosso).

Estabelecemos, portanto, a conceituação dos termos que utilizaremos em nosso trabalho e que foram adotados após nossas reflexões acerca das pesquisas consultadas sobre a problemática envolvendo o ensino e a aprendizagem das demonstrações em Matemática.

Concluímos essa parte de nossa pesquisa relacionada à apresentação do referencial teórico que utilizaremos para fundamentar nossas análises. Consideramos que as relações que estabeleceremos entre a tipologia de provas proposta por Balacheff (1987;1988), e a organização praxeológica proposta por Chevallard (1999), nos materiais didáticos em que essas tarefas estão representadas, trarão ao nosso trabalho indícios das escolhas dos autores que poderão confirmar nossas hipóteses iniciais de pesquisa.