Monoton Fonksiyonlar, Limit ve S¨ ureklilik

¨

Ornek 5.24’te, e˘ger f : (a, b)−→ R s¨urekliyse limx→a+f (x) limitinin

olmaya-bilece˘gini g¨orm¨u¸st¨uk. Burada e˘ger fonksiyon monotonsa (s¨urekli olmasına bile gerek yok) her ¸seyin yolunda gidece˘gini g¨orece˘giz.

Bir I ⊆ R k¨umesi ¨uzerine tanımlanmı¸s artan bir f : I → R fonksiyonu

d¨u¸s¨unelim. ¨Orne˘gin ¸s¨oyle bir ¸sey:

x, tanım k¨umesinin ¨ustsınırına (soldan tabii ki) gitti˘ginde, fonksiyonun sonlu ya da sonsuz bir limiti olması -her zaman do˘gru olmasa da- makul bir ¨ong¨ o-r¨ud¨ur. A¸sa˘gıda aklımıza hemen gelen olası d¨ort durum g¨or¨un¨uyor:

Artan bir fonksiyonun, x, tanım k¨umesinin ¨ustsınırına gitti˘ginde, sonlu ya da sonsuz bir limiti var mıdır ve varsa bu limit nedir?

Her ne kadar yukarıdaki ¸sekillerde fonksiyonlar s¨urekli gibi g¨or¨unse de, fonksiyonların s¨urekli olmalarına pek gerek yok sanki. Fonksiyon s¨urekli de olsa s¨ureksiz de olsa, limit olmalı gibi...

5.3. Monoton Fonksiyonlar, Limit ve S ¨ureklilik 113

Teorem 5.20. A ⊆ R ve a = sup A olsun. E˘ger f artansa limx→af (x) =

sup f (A) olur.

Kanıt: Sonu¸c 4.15’in kanıtının bir benzerini yapaca˘gız. Nitekim o kanıtta

a’nın ve sup f (A)’nın sonlu sayılar oldu˘gunu neredeyse hi¸c kullanmamı¸stık.

b = sup f (A) olsun. E˘ger b sonluysa, Teorem 4.13’¨u g(x) = b sabit fonksiyo-nuna uygularsak limx→af (x)≤ b e¸sitsizli˘gini elde ederiz. E˘ger b sonsuzsa bu

e¸sitsizlik elbette do˘gru. S¸imdi rastgele bir c < b = sup f (A) sayısı alalım. O zaman bir d ∈ A i¸cin c < f(d) olur. Ayrıca f artan oldu˘gundan A’daki her x > d i¸cin c < f (x) olur. Teorem 4.13’¨u bu sefer A∩ (d, ∞) k¨umesi ¨uzerinde

tanımlanmı¸s g(x) = c sabit fonksiyonuna uygularsak c≤ limx→a^{f (x) elde}

ede-riz. Bu e¸sitsizlik her c < b i¸cin do˘gru oldu˘gundan, b≤ limx→a^{f (x) e¸sitsizli˘gini}

buluruz. 

Sonu¸c 5.21. I ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} ve f : I −→ R monoton artan bir fonksiyon olsun.

i. E˘ger a, I’nın soldan yo˘gunla¸sma noktasıysa

lim

x→a−f (x) = sup{f(x) : x ∈ I, x < a} olur. (E˘ger a =∞ ise a−₌∞ olsun.)

ii. E˘ger a, I’nın sa˘gdan yo˘gunla¸sma noktasıysa

lim

x→a+f (x) = inf{f(x) : x ∈ I, a < x} olur. (E˘ger a =−∞ ise a+=−∞ olsun.)

Kanıt: Birinci ¨onermeyi kanıtlamak yeterli, ikincisi benzer. I’yı a’da keserek, yani I yerine (−∞, a) ∩ I k¨umesini alarak sup I = a varsayımını yapabiliriz.

Bu durumda sonu¸c Teorem 5.20’de verilmi¸stir. 

Benzer bir sonu¸c, elbette azalan fonksiyonlar i¸cin de ge¸cerlidir.

c∈ I ⊆ R ve f : I → R monoton bir fonksiyon olsun. f(

c⁺) =

{

f (c) e˘ger c, I’nın sa˘gdan yo˘gunla¸sma noktası de˘gilse lim_x→c+f (x) e˘ger c, I’nın sa˘gdan yo˘gunla¸sma noktasıysa

f(

c−) =

{

f (c) e˘ger c, I’nın soldan yo˘gunla¸sma noktası de˘gilse lim_x→c−f (x) e˘ger c, I’nın soldan yo˘gunla¸sma noktasıysa tanımlarını yapalım. f monoton artan ise

J_f(c) = f(

c⁺)

− f⁽c−)

f monoton azalan ise

Jf(c) = f(

c−)

− f⁽c⁺)

Elbette f ’nin bir c noktasında s¨urekli olması demek, aynen Jf(c) = 0 demektir (Teorem 5.7 ve Sonu¸c 4.4). Bundan da hemen ¸su ilgin¸c olgu ¸cıkar: Sonu¸c 5.22. Monoton bir fonksiyon sadece (sonlu ya da sonsuz ) sayılabilir

sayıda noktada s¨ureksiz olabilir.

Kanıt: I ⊆ R ve f : I −→ R (mesela) artan bir fonksiyon olsun. D ={c ∈ I : f fonksiyonu c’de s¨ureksiz}

olsun. Her c ∈ D i¸cin Ic = (f (c−_{), f (c}+)) olsun. Ic a¸cık bir aralıktır ve uzunlu˘gu J_f(c) > 0 oldu˘gundan bo¸sk¨ume de˘gildir. Ayrıca iki farklı c₁, c₂ ∈ D

i¸cin, I_c1 ve I_c2 ayrık aralıklardır. OysaR’de sayılabilir sayıda ayrık a¸cık aralık

olabilir¹. 

Birazdan bir aralık ¨uzerinde tanımlı kesin monoton bir fonksiyonun tersinin de s¨urekli oldu˘gunu kanıtlayalım. ¨Once bir ¨onsav:

¨

Onsav 5.23. I ⊆ R ve f : I −→ R monoton bir fonksiyon olsun. E˘ger f(I) da bir aralıksa f s¨ureklidir.

Birinci Kanıt: S¸u basit olguyu kullanaca˘gız: Bo¸s olmayan a¸cık bir J aralı˘gıyla bir K aralı˘gının kesi¸simi ya bo¸sk¨umedir, ya sonsuzdur, ya da K tek bir nok-tadan olu¸sur.

Gerekirse f yerine−f fonksiyonunu alarak, genelli˘gi bozmadan f’nin artan

oldu˘gunu varsayabiliriz.

Diyelim f fonksiyonu c∈ I noktasında s¨ureksiz. O zaman f(c−_{) < f (c}+) olur. f artan bir fonksiyon oldu˘gundan (f (c−_{), f (c}+)) a¸cık aralı˘gıyla f (I)

1

Bo¸s olmayan her a¸cık aralıktan kesirli bir sayı se¸cersek, ayrık a¸cık aralık sayısının kesirli sayı sayısından fazla olamayaca˘gını g¨or¨ur¨uz.

5.3. Monoton Fonksiyonlar, Limit ve S ¨ureklilik 115

aralı˘gı en fazla f (c) noktasında kesi¸sebilir. E˘ger kesi¸sim tek bir noktaysa, bi-rinci paragrafta s¨oyledi˘gimiz gere˘gince, f (I) tek bir noktadan olu¸suyor demek-tir, yani f sabit bir fonksiyondur. Bundan b¨oyle

(f (c−_{), f (c}+))∩ f(I) = ∅

varsayımını yapalım. f (c)∈ f(I) ∩ [f(c−_{), f (c}+)] oldu˘gundan, [f (c−_{), f (c}+)]∩ f(I) = {f(c)}

olur. Dolayısıyla f (c) her iki aralı˘gın da u¸c noktalarından biridir (birinin sa˘g u¸c noktasıysa, di˘gerinin sol u¸c noktası olmalıdır ve tam tersi). f (c), f (I)’nın u¸c noktası oldu˘gundan, f ’nin monotonlu˘gundan ya I ⊆ (−∞, c] ya da I ⊆

[c, ∞) oldu˘gu ¸cıkar. Diyelim ikinci ¸sıktayız; dolayısıyla f(c−_{) = f (c) olur.}

Bu durumda, f artan oldu˘gundan, f (I) ⊆ [f(c), ∞) olur. Varsayımımızdan f (c) = f (c−_{) < f (c}+) elde ederiz. S¸imdi, [f (c−_{), f (c}+)]∩ f(I) = {f(c)} = {f(c)} e¸sitli˘ginden, f(I) = {f(c)} ¸cıkar, ki bu da f sabit fonksiyon demektir. I ⊆ (−∞, c] ¸sıkkı da benzerdir.

˙Ikinci Kanıt2: f (c−_{) < t < f (c}+) olsun. E˘ger c tanım k¨umesinin soldan yo˘gunla¸sma noktası de˘gilse, f (c) = f (c−_{) < t olur. Aksi durumda, bir x < c}

vardır ve f (x) ≤ f(c−_{) < t olur. Demek ki her iki durumda da f (x) < t ve} x ≤ c e¸sitsizliklerini sa˘glayan bir x ∈ I bulduk. Benzer ¸sekilde t < f(y) ve c≤ y e¸sitsizliklerini sa˘glayan bir y ∈ I bulunur. Demek ki

t∈ [f(x), f(y)] ⊆ f(I).

Bu, her t∈ (f(c−_{), f (c}+)) i¸cin do˘gru oldu˘gundan, (f (c−_{), f (c}+))⊆ f(I),

yani (f (c−_{), f (c}+)) = (f (c−_{), f (c}+))∩f(I) olur. Ama (f(c−_{), f (c}+))∩f(I) ⊆ {f(c)}. Demek ki (f(c−_{), f (c}+))⊆ {f(c)}, bir ¸celi¸ski.  Teorem 5.24. I bir aralık ve f : I −→ R kesin monoton ve s¨urekli bir fonksi-yon olsun. O zaman J = f (I) bir aralıktır ve f : I −→ J fonksiyonunun tersi olan g : J −→ I fonksiyonu s¨ureklidir.

Kanıt: Teorem 3.10’a g¨ore J bir aralıktır. Ayrıca g de kesin monotondur. Bir ¨

onceki ¨onsava g¨ore g s¨ureklidir. 

Sonu¸c 5.25. I bir aralık ve f : I −→ R birebir ve s¨urekli bir fonksiyon olsun. O zaman J = f (I) bir aralıktır ve f ’nin tersi olan g : J −→ I fonksiyonu s¨ureklidir.

2

Kanıt: Sonu¸c 3.11’e g¨ore f kesin monotondur. Teorem 3.10’a g¨ore J bir

aralıktır. Teorem 5.24’e g¨ore g s¨ureklidir. 

Tanım k¨umesi bir aralık olan kesin monoton fonksiyonlar sayılabilir birka¸c noktada s¨ureksiz olabilirler ama ters fonksiyonları her yerde s¨urekli olmak zorunda:

Sonu¸c 5.26. I bir aralık ve f : I −→ R kesin monoton bir fonksiyon olsun. O zaman f ’nin tersi olan g : f (I)−→ I fonksiyonu s¨ureklidir.

Kanıt: Her ¸seyden ¨once g’nin oldu˘gunu g¨orelim. Ardından g’nin de monoton oldu˘gunu g¨orelim. S¸imdi sonu¸c ¨Onsav 5.23’ten hemen ¸cıkar.