S¨ureklilik
Okur mutlaka e˘gitim hayatı boyunca x2/2 + sin x t¨ur¨unden ifadelere rast-lamı¸stır. Bu ifade aslında x2/2 ile sin x fonksiyonlarının toplamını
simgele-mektedir. G¨or¨uld¨u˘g¨u gibi sadece sayılar de˘gil, fonksiyonlar da toplanabilir, hatta ¸carpılabilir. Bu b¨ol¨umde s¨ureklilikle toplama ve ¸carpma gibi fonksiyon i¸slemleri arasındaki ili¸skiyi irdeleyece˘giz.
¨
Once fonksiyonlarla i¸slemin dikkatli bir tanımını verelim. Daha sonra bu i¸slemlerle s¨ureklilik arasındaki ili¸skiyi irdeleyece˘giz.
2.1 Fonksiyonlarla ˙I¸slemler
E˘ger X herhangi bir k¨umeyse ve f , g : X −→ R iki fonksiyonsa, gene X’ten
R’ye giden f + g : X −→ R fonksiyonu ¸su kuralla tanımlanır: (f + g)(x) = f (x) + g(x).
Yani f + g fonksiyonunun bir x∈ X elemanındaki imgesini bulmak i¸cin f ve g’nin x’te aldıkları de˘gerler toplanır.
B¨ol¨ume giri¸ste bir ¨ornek verdik. Bir ¨ornek daha verelim.
f (x) = x3+ 2x ve g(x) =√ x
olsun. Fonksiyonların tanım k¨umesi olan X’i de tanımlamalıyız. X = [1,∞)
olsun (mesela!) De˘ger k¨umesi R olsun. O zaman, f + g : [1, ∞) −→ R fonksi-yonu,
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = x3+ 2x +√ x
olarak tanımlanır.
Birle¸sme ¨ozelli˘gi, yani (f + g) + h = f + (g + h) e¸sitli˘gi bariz olmalı. Sabit 0 fonksiyonu tabii ki i¸slemin etkisiz elemanıdır. f fonksiyonunun toplama i¸slemi i¸cin tersi de, her x ∈ X i¸cin (−f)(x) = −f(x) form¨ul¨uyle tanımlanan −f
E˘ger X =R ise ve f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmi¸sse, f + g fonk-siyonunun grafi˘gini ¸cizmek olduk¸ca kolaydır. A¸sa˘gıdaki ¸sekildeki gibi yapılır.
Fonksiyonları ¸carpabiliriz de. E˘ger f ve g yukarıdaki gibi X’tenR’ye giden iki fonksiyonsa, gene X’ten R’ye giden f · g : X −→ R fonksiyonu ¸su kuralla tanımlanır:
(f · g)(x) = f(x)g(x).
Yani bu sefer f (x) ve g(x) de˘gerlerini toplayaca˘gımıza ¸carparız.
Birle¸sme ¨ozelli˘gi gene ge¸cerli: (f·g)·h = f ·(g·h). Ayrıca sabit 1 fonksiyonu
¸carpma i¸sleminin etkisiz elemanı. ¨Ote yandan her fonksiyonun ¸carpma i¸slemi i¸cin tersi yok, bir f : X −→ R fonksiyonunun tersi olması i¸cin, f’nin hi¸c 0
de˘gerini almaması lazım (ve gerek). Nitekim e˘ger g : X −→ R, hi¸c 0 de˘gerini
almayan bir fonksiyonsa, o zaman her f fonksiyonunu g’ye b¨olebiliriz: (f /g)(x) = f (x)/g(x).
¨
Orne˘gin X =R ve g(x) = 1 + x2 olabilir ve o zaman, (f /g)(x) = f (x)
1 + x2
fonksiyonunu elde ederiz. Ama mesela IdR¨ozde¸slik fonksiyonunun ¸carpma i¸cin
tersi yoktur, ¸c¨unk¨u ¨ozde¸slik fonksiyonu 0’da 0 de˘gerini alır.
De˘gerleri ger¸cel sayı olan bir f fonksiyonunu sabit bir a sayısıyla ¸carpabi-liriz de:
(af )(x) = a· f(x).
E˘ger a =−1 ise, −f fonksiyonu (−1)f fonksiyonuna e¸sittir:
((−1)f)(x) = (−1) · f(x) = −f(x) = (−f)(x).
A¸sa˘gıda f ’nin grafi˘ginden 2f ve −f’nin grafi˘ginin nasıl elde edilebilece˘gini
2.2. Toplama ve S ¨ureklilik 29
Bu b¨ol¨umde, s¨ureklilikle fonksiyonların toplama ve ¸carpma gibi i¸slemleri arasındaki ili¸skiyi g¨orece˘giz. Tahmin edilebilece˘gi gibi, s¨ureklilik bu i¸slemler altında bozulmuyor. Toplamadan ba¸slayalım.
2.2 Toplama ve S¨ureklilik
Teorem 2.1. X ⊆ R, a ∈ X ve f, g : X −→ R fonksiyonları a noktasında s¨urekli olsun. O zaman f + g fonksiyonu da a noktasında s¨ureklidir.
Kanıt: ϵ > 0, herhangi pozitif bir sayı olsun.
|(f + g)(x) − (f + g)(a)|
sayısının ε’dan k¨u¸c¨uk olması i¸cin x’in a’ya ne kadar yakın olması gerekti˘gini bulaca˘gız. Bunun i¸cin bu ifadeyle oynayıp, ifadenin i¸cine, x’i a’ya yakın alarak k¨u¸c¨ultebilece˘gimizi bildi˘gimiz
|f(x) − f(a)| ve |g(x) − g(a)|
ifadelerini soku¸sturmalıyız. Hesaplarımıza ba¸slıyoruz:
|(f + g)(x) − (f + g)(a)| = |(f(x) + g(x)) − (f(a) + g(a))|
=|(f(x) − f(a)) + (g(x) − g(a))| ≤ |f(x) − f(a)| + |g(x) − g(a)|.
En sa˘gdaki terimi ϵ’dan k¨u¸c¨uk yapabilirsek i¸simiz i¸s. Ama bu ¸cok kolay, ¸
c¨unk¨u f ve g fonksiyonları a’da s¨urekli olduklarından,
|f(x) − f(a)| ve |g(x) − f(a)|
terimlerini, x’i a’ya ¸cok yakın se¸cerek ε/2’den k¨u¸c¨uk yapabiliriz. Nitekim, ¨oyle bir δ1 > 0 sayısı vardır ki, e˘ger x ∈ X elemanı (ya da sayısı) |x − a| < δ1
e¸sitsizli˘gini sa˘glıyorsa, o zaman,
|f(x) − f(a)| < ϵ
olur. Aynı nedenden, ¨oyle bir δ2 > 0 sayısı vardır ki, e˘ger x ∈ X elemanı |x − a| < δ2 e¸sitsizli˘gini sa˘glıyorsa, o zaman,
|g(x) − g(a)| < ϵ
2
olur. S¸imdi δ = min{δ1, δ2} olsun. E˘ger x ∈ X sayısı |x − a| < δ e¸sitsizli˘gini
sa˘glıyorsa, o zaman,
|f(x) − f(a)| + |g(x) − g(a)| < ϵ
2 +
ϵ
2 = ϵ olur. ˙Istedi˘gimiz kanıtlanmı¸stır.
Bu kanıtı kitaplarda yazdı˘gı gibi yazalım:
Kanıt: ϵ > 0, herhangi pozitif bir sayı olsun. f fonksiyonu a’da s¨urekli ol-du˘gundan ¨oyle bir δ1 > 0 sayısı vardır ki, e˘ger x ∈ X elemanı |x − a| < δ1
e¸sitsizli˘gini sa˘glıyorsa, o zaman,
|f(x) − f(a)| < ϵ
2
olur. g fonksiyonu da a’da s¨urekli oldu˘gundan, ¨oyle bir δ2 > 0 sayısı vardır ki,
e˘ger x∈ X elemanı |x − a| < δ2 e¸sitsizli˘gini sa˘glıyorsa, o zaman,
|g(x) − g(a)| < ϵ
2
olur. S¸imdi δ = min{δ1, δ2} olsun. E˘ger x ∈ X elemanı |x − a| < δ e¸sitsizli˘gini
sa˘glıyorsa, o zaman,
|(f + g)(x) − (f + g)(a)| = |(f(x) + g(x)) − (f(a) + g(a))|
=|(f(x) − f(a)) + (g(x) − g(a))| ≤ |f(x) − f(a)| + |g(x) − g(a)| < ϵ
2 +
ϵ
2 = ϵ
olur. ˙Istedi˘gimiz kanıtlanmı¸stır.
2.3 C¸ arpma ve S¨ureklilik
Toplamayla ba¸sladık, ¸carpmayla devam edelim. Nasıl iki s¨urekli fonksiyonun toplamı da s¨urekli oluyorsa, iki s¨urekli fonksiyonun ¸carpımı da s¨urekli olur. Ama kanıt biraz daha zordur.
Teorem 2.2. a∈ X ⊆ R ve f, g : X −→ R fonksiyonları a noktasında s¨urekli olsun. O zaman f · g fonksiyonu da a noktasında s¨ureklidir.
2.3. C¸ arpma ve S ¨ureklilik 31
Kanıt: ϵ > 0, herhangi bir pozitif sayı olsun.
|(f · g)(x) − (f · g)(a)|
sayısının ϵ’dan k¨u¸c¨uk olması i¸cin x’in a’ya ne kadar yakın olması gerekti˘gini bulaca˘gız. Bunun i¸cin bu ifadeyle oynayıp, ifadenin i¸cine, x’i a’ya yakın ala-rak k¨u¸c¨ultebilece˘gimizi bildi˘gimiz|f(x) − f(a)| ve |g(x) − g(a)| ifadelerini bir
bi¸cimde soku¸sturmalıyız. Hesaplarımıza ba¸slıyoruz:
|(f · g)(x) − (f · g)(a)| = |f(x)g(x) − f(a)g(a)|
=|f(x)(g(x) − g(a)) + (f(x) − f(a))g(a)| ≤ |f(x)(g(x) − g(a))| + |(f(x) − f(a))g(a)|
=|f(x)||g(x) − g(a)| + |f(x) − f(a)||g(a)|.
En alttaki terimi ϵ’dan k¨u¸c¨uk yapabilirsek i¸simiz i¸s... Demek ki
|f(x)||g(x) − g(a)| ve |f(x) − f(a)||g(a)|
terimlerinin her ikisini birden ϵ/2’den k¨u¸c¨uk yapabilirsek istedi˘gimize ula-¸sırız.
|f(x) − f(a)||g(a)|
terimini k¨u¸c¨ultmek o kadar zor de˘gil, ¸c¨unk¨u |g(a)| sabit bir sayı ve x’i a’ya
yeterince yakın se¸cerek|f(x)−f(a)|’yı istedi˘gimiz kadar k¨u¸c¨ultebiliriz. Nitekim
e˘ger δ1 > 0 sayısı, x∈ X sayısı |x − a| < δ1 e¸sitsizli˘gini sa˘gladı˘gında,
|f(x) − f(a)| < ϵ
2|g(a)|
e¸sitsizli˘gi sa˘glanıyorsa, o zaman,
|f(x) − f(a)||g(a)| < ϵ
2
olur. Ama burada bir hata var, bu akıl y¨ur¨utme g(a) = 0 ise ge¸cerli de˘gildir, ¸
c¨unk¨u bu durumda|g(a)|’ya b¨olemeyiz ve ϵ
2|g(a)|
ifadesinden bahsedemeyiz. C¸ ok ¨onemli de˘gil, bunun da ¨ustesinden geliriz: ϵ sayısını |g(a)|’ya b¨olece˘gimize |g(a)| + 1’e b¨olelim: δ1 > 0 sayısını, her x∈ X
elemanı i¸cin
|x − a| < δ1⇒ |f(x) − f(a)| < ϵ
¨
onermesi sa˘glanacak bi¸cimde se¸celim. O zaman,
|f(x) − f(a)||g(a)| < ϵ|g(a)|
2(|g(a)| + 1) ≤ ϵ
2
olur. B¨oylece ikinci terimi k¨u¸c¨ultt¨uk. Sıra birinci terime geldi, yani
|f(x)||g(x) − g(a)|
terimine. Burada|g(x)−g(a)| terimini k¨u¸c¨ultebiliriz ama e˘ger en ba¸staki |f(x)|
terimi ¸cok b¨uy¨urse, bu iki terimin ¸carpımını diledi˘gimiz kadar k¨u¸c¨ ultemeyebili-riz. Bu y¨uzden|f(x)|’in ¸cok b¨uy¨uyemeyece˘gini, sınırlı kalaca˘gını kanıtlamamız
lazım; en azından, k¨u¸c¨uk de olsa, a’nın etrafındaki bir aralıkta f sınırlı kalmalı. Bu, yeni bir teoremi gerektirecek kadar ¨onemli bir sonu¸ctur. (Teorem 2.2’nin kanıtına daha sonra devam edece˘giz.)
Teorem 2.3. a∈ X ⊆ R olsun ve f : X −→ R fonksiyonu a noktasında s¨urekli olsun. O zaman ¨oyle bir α > 0 sayısı vardır ki, f fonksiyonu X∩(a−α, a+α) aralı˘gında sınırlıdır, yani f (X∩ (a − α, a + α)) k¨umesi sınırlıdır.
Kanıt: S¨ureklili˘gin tanımındaki ϵ sayısını 1’e e¸sit alalım. O zaman ¨oyle bir
α > 0 sayısı vardır ki, x ∈ X elemanı |x − a| < α e¸sitsizli˘gini sa˘gladı˘gında,
yani x∈ X ∩ (a − α, a + α) oldu˘gunda,
|f(x) − f(a)| < ϵ = 1
olur, yani
f (x)∈ (f(a) − 1, f(a) + 1)
olur. Bu da istedi˘gimizi kanıtlar.