5.1. BAKTERİYOLOJİ TEST GRUBU
5.1.5. TBC KÜLTÜRÜ
5.1.5.1. MİKOBAKTERİ KÜLTÜRÜ
Todo sistema na iminência de sofrer uma transição de fase, de segunda ordem, apresenta comportamentos não triviais expressos por leis de escala e expoentes críticos. Sistemas que apresentam expoentes críticos em comum pertencem à mesma classe de universalidade [22, 24, 32, 3, 33, 34]. Para analisar a transição geométrica de percolação, consideramos uma rede quadrada onde adotamos como parâmetro de ordem a fração de sítios pertencentes ao maior agregado, P(L, p), dada por,
P(L, p) =M(L, p)
L2 , (2.30)
onde L2é o número total de sítios da rede e M é a massa ou número de sítios do maior agregado.
As propriedades do sistema percolante só serão bem definidas no limite termodinâmico [34], L→ ∞, onde a expressão (2.30) se torna,
P(∞, p) = lim
L→∞
M(L, p)
L2 . (2.31)
Sabemos que para p > pc, o agregado percolante ocupa quase toda a rede (Figs. 2.10(d) e
2.11(c)). Portanto, para que a relação (2.31) esteja de acordo com esse resultado, a massa do agregado percolante M(L, p) deve escalar com o número de sítios L2 da rede para p > pc.
Matematicamente, temos,
M(∞, p > pc) ∼ L2. (2.32)
A Fig. 2.12 mostra o comportamento do parâmetro de ordem P(L, p) em função da proba- ∗Limiar de percolação pccalculado de forma exata.
2.5 Introdução à percolação 43
bilidade de ocupação p para os modelos de percolação por sítio e ligação em redes quadradas. Vemos que a curva P(L, p) varia continuamente com o aumento sistemático de p, à medida que aumentamos o tamanho do sistema, se aproximando do comportamento crítico,
P(∞, p) = 0 se p < pc; P(∞, p) > 0 se p > pc. (2.33)
No entanto, a curva P(L, p) sofre de fato uma transição de segunda ordem apenas no limite termodinâmico (L → ∞) [34]. As Figs. 2.12a e 2.12b indicam que a percolação por ligação apresenta uma probabilidade de ocupação crítica menor do que a encontrada para a percolação por sítio. Para o primeiro caso, pc= 0.5, enquanto que para o segundo pc� 0.5927 [3]. Apesar
dessa diferença no limiar de percolação, os problemas de percolação por sítio e ligação em redes regulares pertencem à mesma classe de universalidade e apresentam as mesmas leis de escala e expoentes críticos mostrados a seguir.
���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� � ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� � ������� ��������
(a) Percolação por sítio.
���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� � ���� ���� ���� ���� ���� ���� � ������� ��������
(b) Percolação por ligação.
Figura 2.12: Gráfico da fração de elementos pertencentes ao agregado percolante P em função da probabilidade de ocupação p para (a) percolação por sítio e (b) percolação por ligação. As curvas são médias obtidas sobre 1000 amostras para redes quadradas de lado L = 128 e L= 1024. As linhas tracejadas indicam os limiares de percolação pc� 0.5927 e pc= 0.5 para
percolação por sítio e ligação, respectivamente.
No entorno da região crítica, p ≈ pc, temos um comportamento em lei de potência da fração de
sítios pertencentes ao agregado percolante, expresso por,
P(∞, p) ∼ (p − pc)β, (2.34)
onde β é um expoente crítico. Para a percolação em duas dimensões, temos β = 5/36 ≈ 0.1389, enquanto, em três dimensões, temos β ≈ 0.4 [2]. A transição de percolação em duas dimensões é análoga à transição ferromagnética, onde para temperaturas abaixo da temperatura de Curie,
2.5 Introdução à percolação 44
T < Tc, o ferromagneto apresenta magnetização espontânea. Nesse caso, a magnetização m,
assumida como parâmetro de ordem, sofre uma transição de segunda ordem como função da temperatura, de modo que,
m(T ) = 0 se T > Tc ; m(T ) > 0 se T < Tc . (2.35)
Comparando as relações (2.33) e (2.35) vemos que elas são análogas. No entorno da região crítica, T ≈ Tc, temos,
m∼ (Tc− T )β, (2.36)
que é equivalente à Eq. 2.34.
Outra grandeza importante no estudo de percolação é a massa ou quantidade de sítios do maior agregado M(L, p). No limite termodinâmico, L → ∞, para p < pc, a massa do maior
agregado cresce logaritmicamente com o tamanho da rede L, enquanto que para p > pc, temos
M(L, p) ∼ L2, expressando matematicamente que o maior aglomerado ocupa uma fração de toda a rede. Na região crítica, p ≈ pc, a massa do maior agregado escala como uma lei de
potência do tamanho do sistema L, tendo a dimensão fractal do maior aglomerado D como expoente. Na Fig. 2.13, estimamos a dimensão fractal do aglomerado percolante D ≈ 1.89 em duas dimensões calculando a inclinação da curva da sua massa como função do tamanho do sistema. Este resultado é compatível com os resultados da literatura [2, 3]. Esse método é chamado de escalonamento da massa e é similar ao método box-counting mostrado na seção 2.2.3. Em três dimensões, temos D ≈ 2.5 [3]. Agrupando esses resultados, obtemos,
M(L, p) ∼ ln L se p < pc; LD se p ≈ pc; L2 se p > pc. (2.37)
No entorno da região crítica, p ≈ pc, o sistema apresenta uma distribuição de agregados sem
tamanho característico, como mostrado na Fig. 2.15. Esse comportamento é descrito pela distribuição em lei de potência,
ns∼ sτ, (2.38)
onde nsé o número médio por sítio de agregados contendo s sítios e τ é o expoente de Fisher [3].
2.5 Introdução à percolação 45
acumulada N(s) [35], dada por,
Ns= s
∑
s�=1 ns�∼ s−(τ−1). (2.39) ��� ��� ��� ��� ����
��� ��� ��� ��� ��� ��� ����
����
Figura 2.13: Gráfico da massa M do agregado percolante no ponto crítico pc como função
do tamanho L do sistema. Cada ponto da curva foi obtido a partir de uma média sobre 1000 realizações independentes. O valor obtido da dimensão fractal do agreado percolante foi D = 1.89. Este resultado é compatível com os resultados da literatura [2, 3]
O gráfico Ns como função de s em escala logarítmica é mostrado na Fig. 2.14, cuja incli-
nação somada de uma unidade fornece o expoente de Fisher τ = 2.05 [3]. Outra grandeza que diverge como lei de potência na criticalidade é o comprimento de correlação ξ , definido como a distância média entre dois sítios pertencentes ao mesmo agregado. Para p ≈ pc, temos,
ξ = |p − pc|−ν, (2.40)
com ν = 4/3 para duas dimensões e ν ≈ 0.88 em três dimensões [31, 3]. A probabilidade de um sítio pertencer ao maior agregado escala como,
P(∞, p) ∼ (p − pc)β ∼ ξD−E. (2.41)
A partir da expressão (2.41), relacionamos os expoentes críticos β e ν de acordo com,
2.5 Introdução à percolação 46 ��� ��� ��� ��� ���
�
��� ��� ��� ��� ��� ����
�
����
Figura 2.14: Gráfico da distribuição acumulada Ns como função do tamanho s dos agregados
no ponto crítico. Utilizamos uma rede quadrada de lado L = 8192. Os resultados são médias obtidas sobre 100 amostras. A partir da inclinação da curva, obtivemos 1 −τ = −1.05. Logo, o expoente de Fisher é τ = 2.05. Este resultado é compatível com o resultado da literatura [3]. onde d é a dimensão topológica do sistema. Outra propriedade importante em sistemas perco- lantes é a distância mínima ou química � entre dois sítios separados por uma distância Euclidi- ana r, que escala segundo
� ∼ rDmin, (2.43)
onde Dmin é a dimensão fractal associada à distância mínima.