Matematiksel Muhakemenin Geliştirilmesi

Muhakeme, tek bir mantık ünitesi olarak kolay bir şekilde öğretilemez (Moore, 1994). Muhakeme, okul hayatı boyunca öğrencilerin deneyimlerinin tutarlı bir parçası olmalıdır. Muhakeme zihnin bir alışkanlığıdır ve bir çok alanda tutarlı kullanımdan gelişmelidir.

Öğretmenler, muhakemenin neler gerektirdiğini öğrenerek muhakeme becerilerini geliştirmeleri için öğrencilere yardımcı olabilirler. İlköğretimin

sonunda öğrenciler matematiksel ispatı anlayabilmeli ve geliştirebilmelidirler. Öğrencilerin yaptıkları tartışmalar, hipotezlerden mantıksal olarak sonuç çıkarma yoluyla meydana gelmeli ve öğretmenler bu tür tartışmaları desteklemelidirler (NTCM, 2000).

Çocukların, matematikle ilk deneyimlerini kazanırlarken, ortaya koyacakları her şeyin bir dayanağının olması gerektiğini anlamalarına yardımcı olmak önemlidir. “Neden bunun doğru olduğunu düşünüyorsun?” ve “Farklı bir cevabı olan var mı ve neden öyle düşünüyorsunuz?” şeklindeki sorular, öğrencilerin kanıtlama yoluyla desteklenmesi veya reddedilmesi gereken bu önermeleri anlamalarına yardım eder. Küçük çocuklar, başkalarını kendi muhakemeleri için veya en iyi açıklamayı belirlemek için destek olarak görmek isterler (Kardeşim de böyle söyledi.). Ayrıca öğrenciler matematik sınıflarındaki tartışmalarda fikir birliğine ulaşmaya ihtiyaç duyarlar. Bunlar muhakemenin varsayımlara ve kurallara dayalı olduğunun farkına varmaya doğru ilk adımlardır (NTCM, 2000).

3. 4. ve 5. sınıflarda öğrenciler muhakemelerinde önemli bir değişiklikle karşı karşıyadırlar. Bu seviye çoğu öğrencinin bir şeylerin daha önceden meydana gelmiş olması nedeniyle doğru olduğuna inandıkları bir dönemdir. Çünkü onlar karşılaştıkları durumun pek çok örneğini görmüşlerdir veya bugüne kadarki deneyimleri bu durumu doğrulamaktadır. 3. 4. ve 5. sınıflar esnasında varsayımları açıkça ifade etmek ve onları deliller temelinde değerlendirmek standart haline gelmelidir. Öğrenciler, birkaç örneğin bir varsayımın doğruluğunun tespit edilmesi için yeterli olmadığını ve bir varsayımı çürütmek için karşıt örnekler kullanılabileceğini öğrenmelidirler. Örnek dizilerini düşünerek, genel özelikler veya buldukları ilişkiler hakkında muhakeme yapabileceklerini öğrenmelidirler.

Bu seviyelerdeki çalışmaların çoğunluğu bir örneğin yapısı veya iki tür şekil arasındaki benzerlikler ve farklılıklar gibi matematiksel ilişkiler hakkındaki muhakeme üzerine odaklı olmalıdır. Öğrenciler tek matematiksel obje -bu üçgen, bu rakam- hakkında düşünmeden nesne türleri hakkında düşünmeye -tüm

üçgenler, 4’ün katları olan tüm sayılar- doğru hareket etmelidir. Daha ileride bu obje türleri arasındaki ilişkilerle ilgili tanımlamalar ve matematiksel ifadeler geliştirmelidirler ve matematikte tanımlamaların rolünü anlamaya başlayabilirler (NTCM, 2000).

Muhakeme öğrencilerin kendi fikirlerini sorgulanmak üzere ileri sürmeleri için cesaretlendirildikleri sınıflarda gelişir. Öğretmenler ve öğrenciler diğer öğrencilerden gelecek sorulara ve tepkilere açık olmalıdırlar. Öğrenciler fikirlerini açıklamalı, doğruluğunu kanıtlamalı, diğerlerinin yanlış düşüncelerini nasıl fark edeceklerini ve eleştireceklerini öğrenmelidirler. Öğrenciler kendi muhakeme becerilerini uygulamak ve matematik tartışmalarında kendi fikirlerinin doğruluğunu kanıtlamak için fırsatlara ihtiyaç duyarlar. Çeşitli ve zengin deneyimler için zamana, geçerli tartışmalar oluşturmak ve diğerlerinin tezlerini değerlendirmede gerekli olan yeteneklerini geliştirmek için rehberliğe ihtiyaçları vardır. Muhakemeye önem verilen sınıflarda, kabul edilebilir matematiksel açıklamalar oluşturmayı öğrendikleri süreçte öğrenciler muhakeme ile meşguldürler (Lampert 1990; Yackel ve Cobb, 1996).

Math-CATs (The Mathematical Thinking Classroom Assesment Techniques) (2007) matematiksel düşünme becerileri geliştirmek ve değerlendirmek için oluşturulmuş bir çalışma grubudur. Öğrencilerin bilindik olmayan problemlerle karşılaştıklarında ne yapacaklarını bilmelerine yardımcı olmak ve matematikte muhakeme gelişimini sağlama yollarını bulmak için araçlar geliştirmektedirler. Muhakeme becerilerinin şu şekilde gelişeceğini belirtmektedirler:

1. Yanlış bulma ve doğrulama becerisi tipindeki sorular, öğrencilere bulmaları ve açıklamaları gereken yanlışlıklar sunarlar. Bu öğrencileri, matematiksel durumları analiz etmeleri, en çok hata içeren kısmı çıkarmalarını, hata nedenini açıklamalarını ve düzeltmelerini gerektirir. Bu duruma örnek olarak “İki parayı atacağım, ikisi de yazı gelirse Jane kazanacak, ikisi de tura gelirse Rob kazanacak, biri yazı diğeri tura gelirse ben kazanacağım. Bunun neden adil bir oyun olmadığını açıklayınız.” sorusu verilebilir.

2. Mantıksal tahminler (Fermi Problemleri); bu sorulardaki temel beceri ilk bakışta materyalsiz cevaplanması imkansız gözüken sorular için nicel kestirimler yaratmaktır. Öğrencilerin ayrıca varsayımlarını aktarmaları ve cevaplarının mantıklı olup olmadıklarını kontrol etmeleri ve sonuçlandırmalarını gerektirmektedir. Bu duruma örnek olarak “ Amerika’da her dakikada kaç bebek doğuyor?” sorusu verilebilir.

3. Ölçümler yaratmak; bu tip sorular, öğrencileri var olan sezgisel kavram ölçülerini değerlendirmeye ve bu kavramdaki kendi ölçümlerini yaratıp değerlendirmelerine yönlendirir. Bu duruma örnek olarak “Farklı şekillerde verilen merdivenlere bakarak ve hiçbir ölçüm yapmadan merdivenlerin dikliğine göre sıraya koyunuz” sorusu verilebilir.

4. İkna ve ispat; bu sorular, öğrencilerin mantıksal tartışmalarda, örnekleri kullanmada ve yargılarını destekleyecek örnekler bulmada ne kadar iyi olduklarını değerlendirmek içindir. İki tipte sorulabilir.

• Verilen durumların doğruluklarını “her zaman, bazen ve hiçbir zaman” olarak değerlendirmek. Burada ayrıca öğrencilerin kararlarına ilişkin sayısal örnekler ve nedenler sunmaları beklenmektedir.

• İspatları değerlendirerek doğruları eksik olanlardan ayırmak.

Bu duruma örnek olarak “Eğer iki dikdörtgen aynı çevreye sahipse, aynı alana sahiptir. Her zaman, bazen ya da hiçbir zaman? Neden?” sorusu verilebilir.

5. Kanıtlardan yargı; sıralanmış verileri analiz etmeleri gerekir. Bu tür sorular, öğrencilerin bilgileri organize etme, anlamlı bir yolla uyarlama ve hassas sonuçlar çıkarma becerilerini değerlendirir. Bu verileri analiz etmek, yorumlamak ve eleştirel tartışmalar yapmak, yargıya dayalı bilgilendirici kararlar vermek açısından önemli bir beceridir.

Bu duruma örnek olarak “Siz bir yol güvenliği uzmanısınız. Göreviniz bir şehrin güvenliğini artırma. Size yardımcı olmak için şehrin bir haritası ve geçen sene boyunca olan trafik kazalarının veri tabanı veriliyor bu figürler, zamanı, kazanın yerini, kazanın detaylarını ve kazaya sebep olan araç tipini gösteriyor.

Göreviniz; (a) Şehrin problemli noktasını bulunuz, nedenlerini belirtiniz ve (b) Yol güvenliğini artırmak üzere ... paranız var. Ne yaparsınız?” soruları verilebilir.

Sonuç olarak, çağdaş eğitim anlayışında öğretmenler öncelikle öğrencilerin matematiğe karşı olumsuz düşüncelerini, kaygı ve korkularını ortadan kaldırmalı, kendilerine olan inançlarını güçlendirecek, esnek rahat çalışma ortamları yaratmalıdır. Böylece muhakemenin geliştirilmesini yavaşlatan yada engelleyen ilk engeli ortadan kaldırmış olurlar. Daha sonra öğrencilerden kendi çözüm yaklaşımlarında kullandıkları muhakemeyi açıklamalarını isteyerek farklı düşünme seçeneklerinin tanınmasına yardım ederler. Ayrıca kendisi de tartışılmak üzere sınıfa, farklı muhakemelerin üretilmesine imkan veren problemler getirerek farklı sosyo-ekonomik, kültürel altyapılardan gelen, farklı özellikler taşıyan öğrencilerin ortamda aktif olarak yer almalarını sağlarlar. Bütün öğrencilerin aktif olarak katılabildiği, kendi muhakeme stillerini bildiği, öğrenci merkezli ortamları, muhakeme becerilerinin gelişmesi için uygun ortamlardır (Umay, 2003).