1.1.4. Gerçekçi Matematik Eğitimi Realistic Math Education (RME)
1.1.4.1. Matematikleştirme
RME yaklaşımına göre matematik öğretiminde matematikleştirme anahtar
süreçtir ve bunun iki temel nedeni vardır. Bunlardan birincisi, matematikleştirme
sadece matematikçilerin işi değil, her insanın işidir. İkinci nedeni yeniden keşfetme
fikri ile ilgilidir (Üzel, 2007).
Freudenthal’a göre tüm matematik kavramlar insanın gerçek hayatı
matematikleştirmesi suretiyle ortaya çıkmıştır (Gravemeijer, 1994). Freudenthal,
organize etme işini matematikleştirme olarak adlandırmıştır. Yani Freudenthal,
gerçek hayat problemlerinden başlayarak matematiksel kavrama ulaşma şeklinde
işleyen sürece “matematikleştirme” adını vermiştir. Matematikleştirme kavramını
açıklarken ‘gerçekten konuya’ ve ‘matematiksel konular’ ifadelerini vurgulamıştır.
Buradan Freudenthal’in matematikleştirme kavramının kapsamına hem uygulamalı
matematiği hem de pür matematiği dahil ettiği sonucunu çıkarabiliriz (Gravemeijer
ve Terwel, 2000). Bu anlamda, onu matematiksel aktiviteler üzerinde duran fakat
matematiksel söyleme odaklanan diğer matematik eğitimcilerinden ayıran başlangıç
noktası diğer matematikçilerin pür araştırmaları üzerinde yaptığı farklı
biçimlendirmeleridir. Örneğin yeniden keşif gibi (Lakatos, 1976).
Matematikleştirme
kelimenin
tam
anlamıyla
“daha
matematiksel”
anlamındadır. “Daha matematiksel” kelimesiyle matematik içinde bir seviye
yükselmesi anlatılmaktadır. Seviye yükselmesini açıklığa kavuşturmada matematiğin
karakteristik özelliklerinden genellik, kesinlik, doğruluk ve kısalık gibi özellikler
düşünebilir. Matematikleştirme sözcüğü ile ne anlaşıldığını açıklamak için bu
özelliklere bakacak olursak (Gravemeijer, 1994; Treffers, 1987):
Genellik: Genelleme (benzerlikler arama, sınıflandırma, yapılandırma)
Kesinlik: Yansıtma, doğrulama, kanıtlama (sistematik bir yaklaşım kullanarak
detaylandırma ve varsayımları test etme vb.)
Doğruluk: Modelleme, sembolleme, tanımlama (yorumlama ve geçerliliği sınırlama)
Kısalık: Sembolleme ve şemalaştırma (standart usül ve yöntemleri geliştirme)
Matematikten konuyu matematikleştirme ve gerçek bir durumdan konuyu
matematikleştirme aynı özellikleri taşımaktadır. Çünkü Freudenthal’e göre
matematiğin başlangıç noktası gerçek hayat problemleridir. Gerçek durumun
matematikleştirilmesi herkes için matematik çağrısı ile uyar (Damerow ve Westbury,
1985; Keitel, 1987).
Arcavi (2002)’ye göre matematikleştirme öğrencilerin önceki deneyimlerinden
ve anlam oluşturma yeteneklerinden yararlanarak problemleri alışılmamış yollarla
çözme üzerine inşa edilmekte ve formal matematiğe nazaran daha yavaş ve dikkatli
gelişmektedir.
Freudenthal küçük çocuklar için matematik eğitiminin her şeyden önce
gündelik hayattaki gerçek durumların matematikleştirilmesini hedeflemesi
gerektiğini söylemiştir. Gravemeijer ve Doorman (1999) bu fikri destekleyerek
matematikleştirme aracılığıyla öğrencilerin matematiği yeniden keşfetme sürecini
deneyerek gördüklerini, günlük yaşam deneyimleriyle ve matematik arasında ayrılık
olmadığını, bireyler için her ikisinin de aynı gerçeğin parçaları olduğunu
anladıklarını belirtmişlerdir.
Freudenthal
(1986)
gelecekte öğrenciler için endişesini “Genelde
matematikçiler problem çözmede günlük yaşam durumlarını kullanmazlar.
Geleceğimizin vatandaşlarının büyük çoğunluğunun okulda öğrendiği matematik –
didaktik amaçlar için- hiç bir felsefi veya bilimsel görüşü yansıtmamaktadır.”
sözleriyle ifade etmiştir (s. 326).
Treffers (1987), matematikleştirme sürecini a. Yatay matematikleştirme ve b.
Dikey matematikleştirme olmak üzere iki çeşit olarak ifade etmektedir.
a. Yatay
Matematikleştirme:
Treffers (1987) yatay matematikleştirmeyi
öğrencinin gerçek bir durumla oluşturulmuş bir problemi çözmek ve organize etmek
için matematiksel bir araç kullanması olarak tanımlamıştır.
Yatay matematikleştirmede her zaman başvurulabilir ve uygulanabilir yaşam
deneyimleri söz konusudur. Yatay matematikleştirme bireyi yaşam dünyasından
semboller dünyasına götürür. Başka bir deyişle yaşam dünyası gerçekte yaşananların
deneyimidir (Freudenthal, 1991).
b. Dikey Matematikleştirme: Dikey matematikleştirme, bir dizi matematiksel
kuralları kullanarak matematiği çeşitli yollarla formüle etme işidir (Gravemeijer,
1994). Dikey matematikleştirme genel bir problemi matematiksel bir problem
haline dönüştürmekte kullanılır. Freudenthal’e göre dikey matematikleştirmede
daha önceden ezberlenenlerin hatırlanması, soyut olan semboller dünyası içinde
hareket edilmesi söz konusudur. Freudenthal semboller dünyasının soyut
olmasından
dolayı
dikey
matematikleştirmenin
sınıf
ortamı
dışında
uygulanamayacağı inancındadır (Gravemeijer ve Terwel, 2000).
Dikey matematikleştirmenin farklı matematiksel düzeylerde çözümlere olanak
tanıyan sorunlarla bağlı olarak geçekleştirilebileceği söylenebilir. Freudenthal yatay
ve dikey matematikleştirme arasındaki sınırın kişinin kendisi tarafından belirlenmesi
gerektiğini belirtmektedir. Bir matematiksel etkinliğin belli bir yönünün “dikey” ya
da “yatay” olduğu kişinin matematiksel gerçekliğindeki bazı uzantılara bağlıdır.
Örneğin bir simgeleme aktivitesi bir öğrenci için rutin bir aktivite olabilir ki bu yatay
matematikleştirme durumunda olur. Fakat aynı şekilde simgeleme başka bir öğrenci
için yeni bir buluş ise o zaman dikey matematikleştirme gerçekleştirilmiş olur. Eğer
öğrenci açık bir şekilde kendi çözüm yöntemini daha özel, daha organize veya daha
kısa bir matematiksel açıklama biçimi şeklinde değiştiriyor ise dikey
matematikleştirme en açık biçimde görülür (Gravemeijer ve Terwel, 2000).
RME öğrenilen matematiğin başlangıç noktası olarak gerçek bir dünya
durumu veya bir içerik problemini ele alır. Sonra yatay matematikleştirme
aktiviteleriyle bu problem keşfedilir. Bu, öğrencilerin problemi düzenlemeleri,
problemin matematiksel görünüşlerini tanımlamaya çalışmaları, düzen ve ilişkileri
keşfetmeleri anlamına gelir. Sonra kullanılan dikey matematikleştirme ile öğrenciler
matematiksel kavramlar geliştirirler (Treffers, 1991).
Yatay matematikleştirmeden dikey matematikleştirmeye giden süreç Şekil
2’deki gibi şöyle özetlenebilir:
Şekil 2. Öğrenme Süreci Modeli (Olkun ve Toluk, 2003)
Yatay matematikleştirme (………); dikey Matematikleştirme (
)
Yatay ve dikey matematikleştirme kriterlerinin kullanılıp kullanılmamasına
göre Treffers (1987) matematik eğitimini dört başlık altında sınıflandırmıştır. Bu
sınıflandırmalar Tablo 2’de gösterilmiştir.
Tablo 2. Matematik Öğretiminin Dört Çeşidi (Freudenthal, 1991) Çeşit Yatay Matematikleştirme Dikey Matematikleştirme
Mekanik - -
Deneysel + -
Yapılandırmacı - +
Gerçekçi + +
Mekanik veya geleneksel yaklaşımdamatematik salt kurallardan, formüllerden
oluşan bir disiplindir. Bu kurallar ve formüller öğrencilere direkt verilir ve
öğrenciler bunların gerçek hayatta ne işlerine yaradıklarını ya da yarayacaklarını
bilmeden bir yığın kuralı ezberlerler. Eğer öğrenciler ezberlediklerinden farklı bir
problem durumla karşılaşırlarsa bocalayıp hata yaparlar. Dolayısıyla bu yaklaşımda
ne yatay ne de dikey matematikleştirme kullanılmaktadır.
Deneysel yaklaşımda öğrenciler içinde yaşadıkları çevreden materyallerle
çalışmaktadırlar. Yani öğrencilere çözmeleri için verilen informal bir durum vardır.
Ancak öğrenciler verilen bu informal durumu formül ya da modelle ifade etmeleri,
Matematiksel Dil Algoritma