6. ÜÇ EKSENDE MANYETĐK YÖNELME KONTROLÜ
6.4 Manyetik Kayma Kipli Kontrolcü Tasarımı
6.4.4 Manyetik kayma kipli kontrolcü
Buraya kadar, uydunun üç gövde ekseni doğrultusunda, her an üç bağımsız kontrol torku üretilebildiği farzedilmiştir. Kontrol torklarının manyetik olarak elde edildiği bir yönelme kontrolü probleminde, 6.2 nolu alt bölümde belirtildiği gibi bu ideal durum geçerli değildir. (6.29)’a (6.30)’da görülen sürekli kayma koşulunun (6.26) aracılığıyla yerleştirilmesi sonucunda, ideal kontrol vektörü tasarlanmış olur. Đstenen kontrol vektörü olarak da adlandırılan (6.31)’deki bu vektör
i eşd s
u =u − Λ s (6.31)
daima yerel manyetik alan vektörüne dik düzlemde bulunacak şekilde kısıtlanmış olan manyetik kontrol vektörü tarafından ancak kısmen karşılanabilir.
Manyetik kayma kipli kontrolcü tasarımı için, istenen kontrol vektörü kayma yüzeyi vektörüne dik ve koşut bileşenlerine ayrılır. s’ye dik bileşen, durum vektörü yörüngesinin kayma manifolduna olan uzaklığını değiştirmediği için, yalnız s’ye koşut bileşenin yönelme hareketinin kararlılığına etkisi vardır. Bu nedenle, manyetik kontrol torkunun sadece (6.32)’de hesaplanmış olan ui’nin s’ye koşut bileşeninin yerini tutması gerekmektedir.
(
)
2 i ips u s u s s ⋅ = (6.32)Manyetik kontrol torku vektörü Tm
, uips
’yi karşılamak üzere, ancak kayma yüzeyi vektörü B’de tanımlı manyetik alan vektörü ile çakışık değilse uygulanabilir. Eğer bu iki vektör birbirine koşut olmaya yakınsa, kısa boylu bir uips
vektörünün yerini tutması için bile uzun boylu bir Tm
vektörüne ihtiyaç duyulur. Böyle yüksek değerli manyetik torklar, yüksek değerli manyetik momentler ile elde edilebilir. Uygulamada manyetik moment üretimi sınırlanmış olduğundan dolayı, ideal karşılama formülü (6.32)’den yaklaşık, ama gerçekçi bir karşılama formülüne varılmalıdır. Bunun için,
s ile BB
birbirine dik iken azami değerli, koşut olmaya yakınken sıfıra yakın değerli manyetik moment vektörü sağlayan
2 B ips B B u M B × = (6.33) ifadesi önerilmiştir.
Sonuç olarak, kayma kipli kontrol yöntemi ile tasarlanan manyetik kontrol torku (6.34)’te görülmektedir [19].
(
)
2 2 2 i B B ips B B B m B B u s B s B u s T M B B B B B ⋅ × × = × = × = × (6.34)Kapalı-çevrim sistemin benzetimi, Şekil 6.6’da sergilenmiş olan blok şeması kullanılarak gerçekleştirilmiştir.
Şekil 6.6 : Kapalı-çevrim sistemin blok şeması.
Kontrol_Sistemi.mdl adlı yukarıdaki şemadaki, (6.34) eşitliğini çözerek manyetik kontrol torkunu hesaplayan Manyetik_Kontrolcu adlı blok EK C.2a’da verilmiştir. Bu bloğun içinde bulunan Kayma_Yuzeyi bloğu, (6.12)’de tanımlı kayma yüzeyi vektörünü oluşturur (bkz. EK C.2b). “Clock”, benzetim zamanı adımlarını sisteme giren Simulink bloğudur. EK C.2c’de görülen şemadaki Manyetik_Alan_Okuyucu adlı blok, kayıtlı manyetik alan verisinin zaman adımları arasında kestirim (interpolasyon) yaparak benzetim zamanı adımlarına karşılık gelen manyetik alan değerlerini elde eder. Manyetik_Kontrolcu adlı blokta kullanılan iki gömülü MATLAB fonksiyonu boyut ve Secici2, sırası ile EK C.2d ve C.2e’de bulunmaktadır. EK C.2f’de ise, Manyetik_Alan_Okuyucu’daki MAO adlı fonksiyona yer verilmiştir.
Kayma yüzeyi tasarım parametresi λ ’nun değeri ne kadar yüksek olursa, q dinamiklerin geçiş rejimi cevabı o kadar hızlı olur, fakat bu durum yüksek kontrol etkisini beraberinde getirdiğinden manyetik eyleyicilerin eşik değeri aşılabilir ve kayma hareketinin sönümlenmesi zorlaşabilir. Ayrıca, kapalı-çevrim sistemin
q
λ ’nun düşük değerleri için yerel asimptotik kararlı olduğu sonucuna varılmıştır. Asal eylemsizlik momenti değerleri aynı büyüklük mertebesine sahipse, ki bu koşul, (4.5)’te görülebileceği gibi, kapalı-çevrim benzetimde kullanılan birinci uydu modeli tarafından sağlanır, global kararlılık elde edilebilir. Öte yandan, her ne kadar yüksek
q
λ değerlerinin kararsızlığa yol açacağı vurgulanmış olsa da, istenen yakınsama doğruluğunun sürdürülmesi için yüksek değerler seçilmelidir. Öyleyse, λ ’nun q
değerinin ne olacağına gerçekleştirilecek benzetim denemeleri ile karar verilecektir [19].
Kayma koşulu tasarım parametresi λs’nin değeri ise, s
’nin bileşenlerinin benzetim başlangıcında en yüksek değere sahip olanından yüksek olmalıdır. Kapalı-çevrim benzetimin başlangıç değerleri, (6.8)’de verilmiş olan açık-çevrim benzetim için seçilenler değerlerle aynıdır. Bu değerlerden elde edilen yaklaşık koşul (6.35)’te sunulmuştur. Nmsn 0, 001 rad s λ ≻ (6.35)
Kayma yüzeyi vektörünün bileşenleri anahtarlama yüzeyleri civarında çok düşük değerlere sahip olacağından dolayı, (6.35)’teki değerden bir miktar daha yüksek λs değerleri yeğlenir [109].
Benzetim denemeleri sonucunda, bu iki parametrenin kapalı-çevrim sistem için seçilen değerleri şöyledir.
rad 0, 00125 sn q λ = Nmsn 0, 003 rad s λ = (6.36a) (6.36b)
Kapalı-çevrim benzetimin sonucunda, Şekil 6.7, 6.8, 6.9 ve 6.10’daki zaman cevapları elde edilir. Kontrol_Sistemi.mdl adlı Simulink modeli, EK C.2g’ye koyulmuş olan Baslatici_Kontrol_Sistemi.m programı ile başlatılır. Aşağıdaki dört şekildeki grafikler ise, Cizici_Kontrol_Sistemi.m (bkz. EK C.2h) programına çizdirilir.
Şekil 6.7 : Kuvaterniyonların kapalı-çevrim zaman cevabı.
Şekil 6.9 : Açısal hızların kapalı-çevrim zaman cevabı.
Şekil 6.10 : Mutlak açısal hızların kapalı-çevrim zaman cevabı.
On periyotluk zaman cevaplarından, kuvaterniyonlar, dolayısıyla yönelme açılarının iki buçuk, açısal hızlar, dolayısıyla mutlak açısal hızların ise yaklaşık üç buçuk periyotta denge değerlerine oturduğu görülmektedir. Bu yakınsamayı sağlayan manyetik kontrol dipol momentlerine ait grafik Şekil 6.11’de verilmiştir.
Şekil 6.11 : Manyetik kontrol momentlerinin kapalı-çevrim zaman cevabı. 1.2 nolu alt bölümde özetlenmiş olan manyetik yönelme kontrolü ile ilgili literatür incelemesinden, küçük uydularda kullanılan bobinlerin üretebildikleri manyetik momentin en yüksek mutlak değerinin 1 Am² olduğu görülmüştür. Şekilde görülen momentlerin en yüksek mutlak değeri 1 Am²’nin oldukça altında olduğundan, tasarlanan manyetik kayma kipli kontrolcünün uygulabilir olduğu söylenebilir.