Eylemsiz Dünya merkezli koordinat sistemi

Uzayda Güneş sistemine göre sabit olan EDM koordinat sistemi, Dünya Güneş’in etrafında dairesel bir yörüngede ve bir yıl gibi uzun bir periyodla döndüğünden dolayı eylemsiz (Galileyan) olarak kabul edilmiştir. Orijini Dünya’nın kütle merkezinde çakılıdır ve z-ekseni Dünya’nın dönme ekseni ile çakışık olarak kuzeye yönelmiştir. Sisteme eylemsizlik özelliğini veren, x-ekseninin konumlanmasıdır. Dünya’nın yörünge düzlemi olan ekliptik düzlem ile ekvator düzlemi arasında yaklaşık 23°27′’lık bir açı vardır (bkz. Şekil 5.1).

Şekil 5.1 : Ekliptik ve ekvator düzlemleri, [87] den uyarlanmıştır.

Söz konusu iki düzlemin kesişim doğrusu, x-ekseninin doğrultusunu verir; yönü ise, kuzey yarımkürede yaşanan ilk baharın ilk gününde, yani ilk bahar ekinoksunda Güneş’i gösterecek şekildedir. Bu nedenle yukarıdaki şekilde görülen bu kesişim doğrusuna ilk bahar ekinoksu vektörü denir. y-ekseni, sağ el kuralına uygun olarak eksen takımını tamamlayan doğrultu ve yönde uzanır [87,88].

Koç Burcu’nun simgesi olan ϒ ile gösterilen ilk bahar noktası, Güneş’in göksel ekvatoru güneyden kuzeye doğru giderken kestiği noktadır. Göksel ekvator, Dünya merkezli gök küresi ile ekvator düzleminin arakesiti olan dairedir [88].

5.1.1.2 Dünya merkezli yörünge koordinat sistemi

Yörünge mekaniğinde, iki cisim sisteminin bağıl hareket denklemi ikinci mertebeden, doğrusal olmayan bir diferansiyel denklem olarak elde edilir [89].

3 0 r r r µ + =


ɺɺ (5.1)

Burada, r
Dünya’nın kütle merkezinden uzay aracının kütle merkezine uzanan 3x1 boyutlu vektördür, dolayısıyla (5.1)’deki diferansiyel vektör denklemi üç serbestlik derecesine sahiptir. Denklemin ikinci mertebeden olması nedeniyle, uzay aracının yörüngesinin uzayda kesin olarak belirlenebilmesi için denkleme ait üçü konum, üçü hız olmak üzere altı başlangıç koşulunun bilinmesi gerekir. Bu altı başlangıç koşulu, iki cisim probleminin altı integralleme sabitine (iki cisim hareketinin altı integraline) karşılık gelir. Yörüngeyi belirleyen sabitlere aynı zamanda yörünge elemanları adı verilir [90].

Bir yörüngenin düzlemde tanımlanabilmesi için iki vektörel niceliğe ihtiyaç vardır. Đlki olan h
, yörünge düzlemine dik doğrultuda ve uzay aracının dönme yönüne göre sağ el kuralı ile belirlenen yönde uzanan birim kütle başına açısal momentumdur. Đkincisi olan e
ise, dışmerkezlilik sabitidir ve ele alınan problem için çekim merkezi olan Dünya’dan, yörünge üzerindeki Dünya’ya en yakın olan nokta olan perijeye doğrulmuştur. Yörüngenin yarı-büyük eksen uzunluğu a bu iki nicelik kullanılarak hesaplanabilir. a ve e , sırası ile yörüngenin boyut ve biçimini belirler. Uzay aracının yörüngedeki konumu ise, Dünya’nın merkezini perijeye bağlayan r
_p vektöründen r
vektörüne ölçülen açı olan gerçek anomali, θ ile ifade edilir. Bu açıdan, dışmerkezli anomali Ψ; e ve Ψ’den Kepler’in zaman denklemi çözülerek ortalama anomali M ; a ve M ’den de uzay aracının perijeden geçiş zamanı olan

p

t ’den beri geçen zaman elde edilebilir. Şekil 5.2’de, örnek bir kapalı (Kepleryan) yörünge gösterilmiştir [91].

Şekil 5.2 : Eliptik yörünge, [92] den uyarlanmıştır.

Yörünge düzlemi uzayda üç Euler açısı ile kesin bir şekilde konumlandırılır. Üzerinde yükselme ve alçalma düğümleri bulunan düğümler doğrusu, yörünge düzlemi ile ekvator düzleminin kesiştiği doğrudur. Yükselme düğümü uzay aracının ekvator düzlemini güneyden kuzeye, alçalma düğümü ise kuzeyden güneye deldiği noktadır. Düğümler doğrusu vektörü N
’nin, Dünya’nın merkezinden yükselme düğümüne doğru yöneldiği kabul edilir. Đlk Euler açısı, ilk bahar ekinoksu vektöründen düğümler doğrusu vektörüne ölçülen yükselme düğümünün sağdan yükselmesidir ve Ω ile gösterilir. Đkincisi, ekvator ve yörünge düzlemleri arasında,

N

düğümler doğrusu vektörü etrafında sağ el kuralına uygun olarak ölçülür. Yatıklık açısı olarak adlandırılır ve simgesi i’dir. Bu açı, aynı zamanda EDM koordinat sisteminin z-ekseninden yörüngedeki h
vektörüne kadar olan açıdır. Sonuncu Euler açısı ise, EDM koordinat sistemine göre perije doğrultusunu vererek yörüngenin düzlemi içindeki konumlanmasını belirler. Perije argümanı denen bu açı ω ile temsil edilir ve N
’den e
ya da r
_p’ye kadarki açıdır. Ω ile ω 0-360° aralığında değişirken,

i 0-180° aralığında değişir [91].

Đşte, a veya h veya n , e , θ veya M , Ω, i, ω altılısı klasik yörünge elemanlarını meydana getirir (bkz. Şekil 5.3).

Şekil 5.3 : Klasik yörünge elemanları, [90,91] den uyarlanmıştır.

Bir uzay aracının DMY koordinat sisteminde tanımlı olması demek, konum vektörü r
ve hız vektörü v
≡r
ɺ ’nın yanı sıra klasik yörünge elemanlarının bilinmesi demektir [87,90,91].

5.1.1.3 Dünya merkezli-Dünya’da çakılı koordinat sistemi

Şekil 5.4’te betimlenmiş olan DMDC koordinat sisteminin x-ekseni, Dünya’nın kütle merkezinden dışarıya doğru uzanarak başlangıç (Grinviç) meridyeni ile ekvatorun kesişim noktasından çıkar. z-ekseni, EDM koordinat sisteminin z-ekseni ile çakışıktır, dolayısıyla y-ekseni Dünya’nın yüzeyini 90° doğu boylamı ile ekvatorun kesişim noktasında deler [93].

5.1.1.4 Yarıçap-enlem-boylam koordinat sistemi

Uzay aracının konum vektörüne denk olan yarıçap vektörünün boyu r ile bu vektörün Dünya yüzeyini kestiği noktanın enlem ve boylam değerleri, aracın konumunu YEB koordinat sisteminde tanımlar (bkz. Şekil 5.5) [94].

Şekil 5.5 : YEB koordinat sistemi, [94] ten uyarlanmıştır. 5.1.1.5 Yerel kuzey-doğu-ayak ucu koordinat sistemi

Orijini uzay aracının yörünge üzerinde bulunduğu noktada olan YKDA koordinat sisteminin ilk ekseni Dünya’nın coğrafi kuzeyine, ikincisi coğrafi doğusuna yönelmiştir, üçüncü eksen ise ayak ucu yönünde, yani yarıçap vektörünün zıt yönünde uzanır. Şekil 5.6, bu sistemi tasvir etmektedir [93].

5.1.2 Koordinat sistemleri arası dönüşümler

Uzay aracının konum bilgisinin farklı koordinat sistemleri arasında aktarılması, bilgiyi içeren vektörlerin ilgili dönüşüm matrisleri ile soldan matris çarpmına tabi tutulması ile gerçekleştirilir.

5.1.2.1 DMY koordinat sisteminden EDM koordinat sistemine dönüşüm