Temel Manyetik Devrelerin Modellenmesi

alanıdır. Denklemden anlaĢılacağı üzere manyetik direnç malzemenin manyetik özelliklerine ve fiziksel boyutlarına bağlıdır. Manyetik eĢdeğer devre ile hesaplanan diğer değerler ise manyetik akı yoğunluğu ve manyetik alan Ģiddetidir. Manyetik alanda iki temel vektörden meydana gelmektedir. Bunlardan bir tanesi manyetik alan Ģiddeti H öteki ise manyetik akı yoğunluğu B’dir. Manyetik akı yoğunluğu manyetik alan Ģiddeti ile geçirgenliğin çarpılmasıyla oluĢur ve manyetik yataklarda kullanılan sac malzemelerinde doğrusal olmayan bir iliĢki içeresindedir. Manyetik geçirgenlik ise µ sembolü ile ifade edilir. EĢdeğer manyetik devre modellerinde geçirgenlik ferromanyetik malzemenin doğrusal bölgesinde olduğu varsayılarak kabul edilir ve bu Ģekilde hesaplamalar yapılır. Manyetik yataklarda kullanılan malzemelerin B-H eğrilerinin bu yüzden olabildiğince doğrusal olması istenir. Bu Ģekilde daha kararlı ve doğru analitik hesaplamalar yapmak mümkün olacaktır. Manyetik akı yoğunluğu ise manyetik geçirgenlik ile manyetik alan Ģiddetinin çarpılmasıyla bulunur. Denklem (3.4)’de manyetik akı yoğunluğunun denklemi verilmiĢtir.

Denklem (3.2) ve Denklem (3.4)’de verilen eĢitlik temel olarak Ampere yasasına dayanmaktadır. Ampere yasasına göre üzerinden akım geçen bir iletkenin çevresinde bir manyetik alan oluĢur ve manyetik alan iletken geçen akım ile doğru orantılıdır. Bu yasa Maxwell’in muhteĢem denklemlerinin bir tanesinin temelini oluĢturmaktadır. Ampere yasası Denklem (3.5)’de verilmiĢtir.

0 c

Bdl  i



(3.5) Denklem (3.5)’e bakıldığında belirli bir sınır koĢullarına sahip bir uzayda toplam manyetik akı yoğunluğu, havanın manyetik geçirgenliği ile geçen akımın çarpılmasıyla bulunur. Denklemde µ0 havanın geçirgenliğini ifade etmektedir ve değeri 4π10-7

Hm-1’dir. Denklem (3.5)’deki manyetik geçirgenliği denklemden kaldırırsak Amper yasası Denklem (3.6)’daki gibi ifade edilmektedir.

c

HdlNi



(3.6) Denklem (3.6) kapalı bir akı yolundaki toplam manyetik alan Ģiddeti sınır koĢullarındaki bobin sarım sayısı ile bobinlerden geçen akımın çarpımına eĢittir. Bu denklem ayrıca manyeto motor kuvvetin tanımını da yapmaktadır.

3.3. Temel Manyetik Devrelerin Modellenmesi

Manyetik modellemeyi temel bir örnek ile açıklamak gerekirse, ġekil 3.2’de çelik bir nüveye sarılmıĢ bir bobinin manyetik eĢdeğer devresi verilmiĢtir.

ġekil 3.2’de bobin sarımları Ni olarak manyetik eĢdeğer devrede gösterilmiĢ ve hava aralığındaki kaçak akılar ihmal edilmiĢtir. Çelik nüvedeki ve hava aralığında oluĢan manyetik direnç ise Rc ve Rg olarak gösterilmiĢtir. Denklem (3.7) ve Denklem

(3.8)’de manyetik eĢdeğer devredeki relüktans formülleri verilmiĢtir.

0 1 c c c l g A      (3.7) 0 1 g g g A     (3.8) Burada lc nüvedeki akı yolunu, g hava aralığı uzunluğunu, A ise kesit alanını temsil

etmektedir. Bobin sarım sayısı ve akımın çarpılmasıyla devrede oluĢan manyeto motor kuvvet elde edilmektedir. Manyeto motor kuvveti ayrıca nüvedeki ve hava aralığındaki manyetik alan Ģiddeti ile de bulunabilmektedir. Denklem (3.9)’da manyeto motor kuvveti denklemi verilmiĢtir.

c c g g

Ni H l H l (3.9) Denklem (3.9)’da Hc ve Hg nüvedeki ve hava aralığındaki manyetik alan Ģiddetini

temsil etmektedir. ġekil 3.2’de verilen manyetik eĢdeğer devredeki manyetik akı ise Denklem (3.10)’da verilmiĢtir.

c g

Ni

 

   (3.10)

Akı devredeki manyetik kaynağın devredeki total manyetik dirençlere bölünmesiyle elde edilmektedir. Denklemde ϕ manyetik akıyı temsil etmektedir ve birimi Tesla’dır. Manyetik eĢdeğer devrede demir çekirdeğinde ve hava aralığında oluĢan manyetik akı yoğunluğu ise akının kesit alana bölünmesiyle oluĢur. Denklem (3.11)’de manyetik akı yoğunluğu eĢitliği verilmiĢtir.

c g

B B

A



  (3.11) Hava aralığındaki manyetik akının kaçakları ihmal edilmiĢ ve kesit alanıyla eĢit olduğu kabul edilirse demir çekirdeğindeki ve hava aralığındaki manyetik akı ve akı

yoğunluğu aynı olmaktadır. Fakat tam olarak gerçek bir sonuç almak için kaçak akıların modellenmesi gerekmektedir. Analitik olarak kaçak akıların modellenmesi mümkün değildir. Manyetik devrelerde kaçak akıların tam olarak modellenmesi için sonlu elemanlar yöntemi kullanılmaktadır. Sonlu elemanlar yöntemi ile kaçak akıların tam olarak analizi ve manyetik devrelerin karakteristiğini belirleyen hava aralığının modellenmesi tam olarak yapılabilmektedir.

ġekil 3.2’deki devrenin manyetik eĢdeğer devresinde kaçak akılar ihmal edilmiĢ ve hava aralığındaki ve demir nüvedeki manyetik akı yoğunluğu analitik olarak hesaplandığında eĢit çıkmıĢtır. Aynı manyetik modelin sonlu elemanlar yöntemi ile analizi yapıldığında ise kaçak akılar belirgin bir Ģekilde görülmektedir. Bu duruma bir örnek olması için ġekil 3.3’de 500 amper sarım değerine sahip bir bobin ve 0,5 mm hava aralığına sahip bir elektromıknatısın sonlu elemanlar yöntemi ile analizi sonucundaki akı yolları gösterilmiĢtir.

ġekil 3.3. Manyetik devrenin akı çizgileri

ġekil 3.3’den gözüktüğü gibi akı hava aralığından saçaklanma yaparak geçmekte ve manyetik eĢdeğer devredeki modellemenin aksine daha geniĢ bir yoldan geçerek devresini tamamlamaktadır. Bu durumda hava aralığındaki manyetik akı yoğunluğu demir nüvedeki akı yoğunluğuna eĢit olmamaktadır. ġekil 3.3’deki elektromıknatıs kaçak akıların ihmal edildiği manyetik eĢdeğer devre modelinde hava aralığındaki akı yoğunluğu 1,14T, sonlu elemanlar yöntemi ile analiz edildiğinde akı yoğunluğu 0,92T çıkmaktadır. Bu manyetik eĢdeğer devrelerde kaçak akıların modellenmesi gerektiğini göstermektedir. Kaçak akıların manyetik eĢdeğer devrede modellenmesi

ile nümerik hataların önüne geçilmekte fakat yine en nihai sonuç sonlu elemanlar yöntemi ile elde edilmektedir.

Manyetik devrelerde akı hava aralığından geçerken doğrusal bir yol izlememekte ve saçaklanma yaparak hava aralığından geçmektedir. ġekil 3.4’de hava aralığındaki akının, kaçakları göz ardı edilerek ve hesaba katılarak farklı olarak modellenmeleri gösterilmiĢtir [40].

ġekil 3.4. Hava aralığındaki akı yollarının gösterilmesi

Manyetik eĢdeğer devre modellenirken kaçak akıların modellenmesi ve hesaplamaya dâhil edilmesi büyük manyetik akı yoğunluğu olan manyetik devrelerde çözüm hassasiyet açısından önem arz etmektedir ve manyetik devrenin tam olarak analizi için sonlu elemanlar yöntemi ile çözülmesi gerekmektedir. Literatürde yapılan araĢtırmalarda kaçak akıların genellikle hava aralığının mesafesi temel alınarak modellendiği gözlemlenmiĢtir. Bu oran manyetik devrenin fiziki koĢullarına göre değiĢebilmekte hava aralığının 10 katına kadar çıkabilen kaçak akı modellemeleri vardır. ġekil 3.5’de bu modelleme alternatifleri gösterilmiĢtir.

ÇalıĢma kapsamında yapılan manyetik modellemelerde ġekil 3.5’deki kaçak akıların modellendiği bir benzetim yapılmıĢtır. ġekil 3.6’deki eĢdeğer devrede hava aralığındaki kaçak akılar 3 farklı çeĢitte modellenmesi gösterilmiĢtir. Bu üç farklı modellemede elde edilen sonuçlara göre çıkan en uygun modellemeler çalıĢma kapsamındaki modellemelerde kullanılacaktır.

ġekil 3.6. Manyetik eĢdeğer devrede kaçak akıların modellenmesi

ġekil 3.6’da kaçak akıların meydana getirdiği relüktanslar Rlk olarak ifade edilmiĢtir

ve ġekil 3.5’deki kaçak akı benzetimleri yapılmıĢtır. Akı hava aralığından geçerken saçaklanma yaparak geçmekte ve kaçak akılar oluĢmaktadır. Kaçak akıların modellendiği 3 farklı manyetik devrede akan akı Denklem (3.12), Denklem (3.13) ve Denklem (3.14)’de gösterilmiĢtir.

1 2 g lk c g lk Ni          (3.12) 2 4 g lk c g lk Ni          (3.13) 3 6 g lk c g lk Ni          (3.14)

Denklem (3.12)’de birinci durumdaki modelleme, Denklem (3.13)’de ikinci durumdaki manyetik modelleme ve Denklem (3.14)’de ise üçüncü durumdaki manyetik modelleme ile elde edilen akı denklemleri verilmiĢtir.

Bu durumda parametrik bir çalıĢma yaparak hava aralığı uzunluğunun 0,1 mm’den 0,7 mm’ye kadar olan durumu kaçak akıların ihmal edilmiĢ ve farklı durumlarda modellenmiĢ manyetik eĢdeğer devrede ile hesaplanmıĢtır. Elde edilen sonuçlar sonlu elemanlar analizi yöntemi ile karĢılaĢtırılmıĢtır. Hava aralığındaki manyetik akı yoğunluğunun hava aralığına göre olan değiĢimi ġekil 3.7’de gösterilmiĢtir.

ġekil 3.7. Akı yoğunluğunun hava aralığına göre değiĢimi

ġekil 3.7’de mor çizgi basit manyetik modelleme, yeĢil çizgi ġekil 3.6’daki birinci modelleme, kırmızı çizgi ġekil 3.6’daki ikinci modellemeyi, mavi çizgi ise ġekil 3.6’daki üçüncü modellemeyi ifade etmektedir. Kesikli çizgi ise sonlu elemanlar analizi yöntemi ile elde edilen akı yoğunlukları gösterilmiĢtir. ġekilden görüldüğü gibi kaçak akıların modellendiği birinci durumdaki yani tek kaçak relüktansın kullanıldığı manyetik modelleme SEA sonuçlarına yakın çıkmıĢtır. Bu çalıĢma kapsamında sadece elektromıknatıstan oluĢan devrelerdeki manyetik modellemede kaçak akılar ġekil 3.6’daki birinci modelleme yani tek bir kaçak relüktans baz alınacaktır. ġekil 3.8’de hava aralığının tam manyetik eĢdeğer devre modeli gösterilmiĢtir. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 A kı y oğ un luğ u [T ] Hava aralığı [mm] FEA Basit Rg 2Rg 3Rg

ġekil 3.8. Elektromıknatıstaki hava aralığının tam olarak modellenmesi

Belgede Klasik ve sürekli mıknatıslı manyetik yatakların manyetik eşdeğer devre ve 2B sonlu elemanlar analizi ile modellenmesi ve tasarımı (sayfa 50-57)