O princípio da extensão de Zadeh (1965) é utilizado para estender operações típicas dos conjuntos clássicos, promovendo a extensão de conceitos matemáticos não-difusos em difusos. Usando esse princípio, que é uma ferramenta básica da aritmética difusa, é possível operar ponto a ponto em conjuntos difusos. Pode-se descrever o princípio da extensão da seguinte forma (JAFELICE, 2004):
O grau de pertinência de um valor do contradomínio é definido diretamente pelo grau de pertinência de sua pré-imagem.
Quando um valor do contradomínio é mapeado por vários domínios, o seu grau de pertinência é obtido pelo valor máximo dos graus de pertinência dos valores de entrada.
Sejam dois conjuntos arbitrários X e Y e f uma função de um conjunto X para um conjunto Y, isto é:
A função f é determinística e pode ser estendida para uma situação de conjunto difuso. Logo, seja ̃ um conjunto difuso em X com função de pertinência ̃ . A imagem de ̃ em Y é o conjunto difuso ̃com função de pertinência dada pelo seguinte princípio de extensão:
̃ ̃ ; ̃
Chongfu (1996) demonstrou um método avançado para calcular a liberação, exposição e as consequências dos perigos naturais urbanos, através da avaliação de risco difuso. Foi considerado cálculo para um terremoto, onde foi discutida a maneira de calcular o risco fuzzy de um terremoto, a intensidade local, reações individuais, e as perdas de uma cidade. O método proposto mostrou ser útil para qualquer tipo de perigo natural em que a abordagem probabilística convencional é insuficiente ou complexa.
Lee & Wen (1997) aplicaram duas abordagens de programação objetiva fuzzy (FGP) à gestão da qualidade da água em uma bacia hidrográfica do rio Tou-Chen em Taiwan, para resolver problemas de otimização multiobjetiva envolvendo informações vagas e imprecisas. O caso de estudo demonstrou a capacidade das duas abordagens FGP funcionarem adequadamente na gestão da qualidade da água em uma bacia hidrográfica.
Dubois & Prade (1998) introduziram a noção de conjuntos difusos como uma ferramenta para modelagem de conjuntos com limites mal definidos ou flexíveis. Os autores reconhecem que os conjuntos difusos são uma ferramenta importante na engenharia de informação com o objetivo de “tapar os buracos” existentes entre o conhecimento originado pelo homem, e dados numéricos.
Chang et al. (2001) apresentaram um estudo comparativo usando três técnicas de avaliação fuzzy para avaliar as condições de qualidade da água em comparação com os resultados gerados por procedimentos convencionais, como o índice de qualidade da água (IQA). Com base em um conjunto de dados coletado sem estações de amostragem, foi realizado um estudo de caso para o sistema fluvial Tseng-Wen em Taiwan para demonstrar seus potenciais de aplicação. Os resultados indicaram que as técnicas podem harmonizar com sucesso discrepâncias inerentes e interpretar condições complexas.
Liou et al. (2003) propuseram um modelo de indicadores para avaliar as tendências na qualidade do rio usando uma teoria de conjuntos difusos de dois estágios para condensar de forma eficiente os dados monitorados. As funções de pertinência do índice de poluição do rio padrão (IPR) foram construídas como distribuições lineares. As variáveis normalizadas foram construídas com base na extensão da convergência da média-c fuzzy (MCF). As somas ponderadas dos graus de similaridades derivadas das extensões da MCF foram usadas para construir um índice global alternativo, o índice de qualidade do rio (IQR). Concluiu-se que o IQR prevê uma análise mais lógica dos dados de monitoramento discrepantes do que o IPR,
resultando em uma abordagem mais sistemática. O modelo proposto neste trabalho é uma nova idéia criativa no índice de avaliação ambiental, pois fornece um modelo menos subjetivo, mais sensível e mais eficiente para avaliar a qualidade e as mudanças na qualidade.
Vieira et al. (2004) demonstraram toda a versatilidade e adequabilidade do uso da teoria dos conjuntos difusos (TCD) nas áreas de recursos hídricos e meio ambiente através da caracterização de danos de inundação, benefícios e riscos econômicos difusos, relações custo/benefício, quantificação de impactos ambientais, indicação de níveis de pertinência de impactos negativos (deterioração ambiental), bem como os riscos ambientais difusos.
Ocampo-Duque et al. (2006) propuseram uma metodologia baseada em sistemas de inferência fuzzy para avaliar a qualidade da água. O potencial de aplicação do índice difuso foi testado com dados coletados do rio Ebrona Espanha por duas diferentes agências de proteção ambiental. Os resultados concordaram com relatórios oficiais e opiniões de especialistas sobre os problemas de poluição na área estudada. Assim, este método surge como uma ferramenta adequada e alternativa para o desenvolvimento de eficazes planos de gestão de água, embora na avaliação global das águas européias haja a necessidade de usar componentes bióticos, e não somente o monitoramento químico das redes como foi utilizado pelos autores.
Karmakar & Mujumdar (2006) desenvolveram um modelo de otimização difusa denominado modelo de alocação de cargas residuais difusas cinzentas – GFWLAM para a gestão do sistema fluvial abordando as incertezas envolvidas na fixação das funções de pertinência para diferentes objetivos da Agência de Controle da Poluição e descarregadores. Os níveis de remoção de fraccionais ótimos dos poluentes são obtidos sob a forma de números em intervalos, o que aumenta a flexibilidade e aplicabilidade no processo de tomada de decisão à medida que o decisor recebe uma gama de soluções ideais para a fixação do esquema de decisão final. De um modo geral, é adaptável em vários sistemas ambientais onde um uso sustentável e eficiente do ambiente é de interesse.
Icaga (2007) propôs um modelo de índice para avaliação da classificação da qualidade da água superficial usando lógica fuzzy. As classes de qualidade convencionais foram transformadas em formas contínuas. Os valores de concentração dos diferentes parâmetros de qualidade foram acrescidos usando regras fuzzy, e por fim, o índice foi desenvolvido após a defuzzificação dosvalores somados. A aplicação prática e viabilidade do modelo proposto puderam ser verificadas para os parâmetros físico-químicose inorgânicosdo lago Eber na
Turquia. Concluiu-se que o poder do método depende da capacidade de integrar diferentes tipos de observações de qualidade.
Dahiya et al. (2007) aplicou a teoria dos conjuntos difusos para a tomada de decisão na avaliação da qualidade físico-química da água subterrânea para fins de consumo. Foi aplicada a regra difusa em um modelo de otimização em amostras de água subterrânea coletadas, e analisa dos16 diferentes parâmetros físico-químicos de qualidade da água, sendo essa abordagem difusa aplicada em 10 destes. Concluiu-se que mais da metade das fontes de água se enquadraram na categoria "desejável" ou "aceitável"parafins de consumo, assim, estas podem ser avaliadas de maneira mais logística, e os resultados sobre a classificação da qualidade da água pode ser descrito comum nível de confiança de pertencimento de amostras específicas para qualquer categoria bem definida de água potável.
Li et al. (2007) simularam relações difusas e imprecisas na modelagem de qualidade da água do rio utilizando a aritmética fuzzy. Foi estabelecido um modelo bidimensional difuso de qualidade da água para súbita descarga poluente cujos parâmetros de qualidade da água foram definidos como números fuzzy triangulares simétricos. As concentrações de poluentes foram obtidas por meio da técnica do corte-α e operações aritméticas de números triangulares difusos. Os resultados do estudo revelaram que é possível em teoria, e confiável em cálculo, a aplicação de números fuzzy triangulares para a simulação da qualidade da água do rio.
Lermontov et al. (2009) propuseram a criação de um novo índice de qualidade da água com base na lógica fuzzy, o índice de qualidade de água fuzzy (IQAF). O desempenho do índice proposto foi avaliado por meio da comparação com diversos índices de qualidade da água (IQA’s) sugeridos na literatura, e utilizando dados de levantamentos hidrográficos do rio Ribeira do Iguape, São Paulo. Esta metodologia incorpora o fator peso na esfera qualitativa ao longo das regras na inferência. O índice mostrou uma boa correlação com o IQA tradicionalmente calculado no Brasil podendo ser utilizado como uma ferramenta alternativa para na gestão ambiental de tomada de decisão.
Rehana & Mujumdar (2009) desenvolveram um modelo de alocação de cargas residuais difusas imprecisas para a gestão da qualidade da água de um sistema fluvial sujeito a uma crescente incerteza. Foi realizada a simulação de Monte-Carlo para avaliar o risco difuso impreciso da baixa qualidade da água, considerando as variáveis de entrada como imprecisas. O modelo pode ser utilizado para a gestão da qualidade da água de qualquer sistema hídrico
sujeito a incertezas e dados perdidos em uma variável hidrológica. Além disso, com modelos apropriados de distribuição espacial e temporal do poluente num corpo hídrico, essa metodologia pode ser utilizada para reduzir o risco, no qual os parâmetros de qualidade da água estão sujeitos a erros.
Janssen et al. (2010) desenvolveram um método para a avaliação das incertezas em modelos baseados em regras fuzzy é proposta, combinando a avaliação das incertezas na estrutura do modelo, nos dados de entrada e nos parâmetros. Num modelo exemplo, cada um destes três possui o potencial para dominar incerteza agregada, apoiando a relevância de uma abordagem incerteza ampla. A contribuição relativa das diferentes incertezas para a incerteza total pode fornecer um resultado útil levar para a redução da incerteza.
Peche & Rodríguez (2012) desenvolveram uma metodologia baseada na lógica fuzzy para o projeto e a posterior avaliação de índices de qualidade ambiental (IQA) permitindo a concepção de índices específicos para avaliar a qualidade de diferentes perspectivas em qualquer compartimento ambiental. A metodologia foi aplicada a um estudo de caso simplificado, a fim de ilustrar a sua aplicação prática: a concepção e avaliação de um índice de qualidade físico-química do solo num local particular.
Jayawardena et al. (2014) basearam seu estudo na utilização de uma abordagem lógica fuzzy. A confiabilidade e a robustez da abordagem foram demonstradas com previsões de descarga diárias e de 6 horas, de 4 rios em 3 países com contrastantes climatológicos, características geográficas e de uso da terra. Foram usados tanto sistemas de inferência fuzzy do tipo Mamdani, com funções de implicação mínimas e produto, bem como sistemas de inferência de tipo Larsen. Os métodos são robustos e os resultados obtidos estão dentro acordo razoável com as observações.