Literatür Özeti, Problemin Önemi ve Bölümde Yapılanların Özeti

Bilindiği üzere, 1. mertebeden tek zaman gecikmesine sahip sistemlerin proses endüstrisi için önemi büyüktür; zira endüstride kullanılan birçok proses, daha çok 1. mertebeden kesin nedensel olacak şekilde, tek zaman gecikmeli bir transfer

fonksiyonuyla yaklaşık olarak ifade edilebilir [25]. Matematiksel açıdan olaya

yaklaşıldığında, bu sistemlerin ortak özelliği, kapalı çevrime alındıklarında, geri tipli

polinomsu (retarded type quasipolynomial) meydana getirmeleridir. Bu tip polinomsuların da sağ yarı düzlemde ancak sonlu sayıda kutbu bulunabilir.

Endüstrideki önemine binaen, bu sistemler için kararlılığı sağlayan tüm düşük

mertebeli kontrolörlerin hesaplanmasıyla alakalı literatürde birçok çalışma mevcuttur. [4] ile verilen çalışmada, bir önceki bölümde de değinilen Hermite-Biehler Teoreminin

polinomsular için genelleştirilmiş versiyonu kullanılarak, tüm P tipi kontrolörlerin

kümesi hesaplanmıştır. Aynı yazarlar tarafından hazırlanan [5] ve [6]’da ise bu çalışma

sırasıyla PI ve PID kontrolörlere genişletilmiştir. [7] ile verilen çalışmada ise başka

yazarlar tarafından, tamamlayıcı çalışma olarak, açık çevrim kararsız sistemler için

kararlılığı sağlayan tüm PD kontrolörlerin kümesi hesaplanmıştır. [19]’da ise, bir önceki bölümde anlatılan ve [2] ile verilen kararlılık yöntemi kullanılarak, açık çevrim kararsız sistemler için kararlılığı sağlayan tüm P, PI ve PID kontrolörlerin kümesi

18

tüm P tipi kontrolörler [4]’ten daha hızlı ve çok daha kısa olacak şekilde elde

edilmiştir. [21]’de ise, sırasıyla P, PI, PD ve PID kontrolörler için zaman gecikmesi

bağımlı – bağımsız bölgeler, kontrolör uzayında hem analitik kümelerle elde edilmiş,

hem de grafiksel olarak gösterilmiştir. [17]’de ise Nyquist teorem kullanılarak, tüm

mertebelerden (kesin nedensel olmak kaydıyla) transfer fonksiyonları için işe

yarayabilecek, nümerik bazlı bir yöntem önerilmiştir. Bu yöntem uygun şekilde

modifiye edilerek, ve sadece kutuplardan oluşan (all pole) transfer fonksiyonlarının

genliklerinin monoton azalan olması özelliği de kullanılarak [18] ile verilen çalışmada

kararlılığı saplayan tüm P tipi kontrolörler 1. ve 2. mertebeden sistemler için analitik

olarak hesaplanmıştır. Bu yöntemin daha öncekilerden en büyük farkı, uygulanabilmesi için sabit bir zaman gecikmesine ihtiyaç duymamasıdır; yani hem sabit zaman gecikmeli sistemler için, hem de zaman gecikmesi belirsizliğine sahip

sistemler için bu yöntem pekala uygulanabilir.

Aynı literatür araştırması 1. mertebeden tersi de nedensel (biproper) zaman gecikmeli

sistemler için yapıldığında yukarıdaki çeşitliliğe rastlamak mümkün değildir. Bu tarz

sistemlerin ortak özelliği kapalı çevrim karakteristik ifadelerinin nötral tip polinomsu

(neutral type quasipolynomial) meydana getirmesidir. Bu tip polinomsuların bir önceki sayfada değinilenlerden en önemli farkı, bazı koşullar (ilgilenilen problem tipi

için (2.4) ile verilen koşul) sağlamadığı takdirde sonsuz adet sağ yarı düzlem kutbuna

sahip olabilmesidir. Bu sebeple bu tip polinomsuların kararlılıkları için daha kısıtlayıcı

şartlar ortaya çıkmaktadır [3].

Proses olarak bakıldıklarında sayıca 1. mertebeden kesin nedensel kardeşleri kadar

olmasa da füzelerdeki güdümleyici dinamikleri [26-30], polikromatik ve yüksek güçlü LED’lerin termal-elektriksel modelleri [31, 32], bazı belirli koşullar altında robotların

güç dinamiği ifadeleri [33, 34], 1. mertebeden sonlu sıfıra sahip transfer

fonksiyonlarıyla modellenebilir. Bunlara ek olarak, kontrol edilmesi istenen sistemin doğrudan 1. mertebeden sonlu sıfıra sahip bir transfer fonksiyonuna sahip olması da gerekmez, çeşitli sistem ve/veya sistem-kontrolör kombinasyonları da bu tip transfer

fonksiyonlarıyla sonuçlanabilir. Özellikle kimyasal proseslerde sıkça görülen paralel sistem yapılarında, sistemlerden biri statik, diğeri ise 1. mertebeden kesin nedensel

olduğu takdirde, matematiksel olarak birleştirilmiş sistem sonlu sıfırlı 1.mertebeden

olacaktır [35]. Ayrıca bölümün başında da belirtildiği gibi endüstriyel proseslerin çoğu kesin nedensel transfer fonksiyonlarıyla modellenmekte ve bu sistemlerin

19

azımsanamayacak kısmı da PD kontrolörle kontrol edilmektedir [25]. Yine böyle bir sistem – kontrolör kombinasyonu da 1. mertebeden sonlu sıfırlı sistem gibi davranacaktır.

Her ne kadar göreceli olarak kesin nedensel kardeşi kadar rastlanan bir sistem tipi

olmasa da, bu tarz sistemler için yapılan çalışmalar, literatürde yok denecek kadar

azdır. Hatta ve hatta yazarların bildiği kadarıyla, bu tarz sistemler için kararlılığı

sağlayan tüm düşük mertebeli kontrolörlerin hesaplanmasına dair bir çalışma yoktur. Bir tek [16] nolu çalışmada bu tip sistemler için kararlılığı sağlayan tüm P ve PI tipi

kontrolörler kümesi hesaplanmıştır, ancak orada da sadece açık çevrim kararsız

sistemler ele alınmıştır. Belki ilk bakışta [17] ile verilen metodolojinin, genel bir

yöntem olması nedeniyle, bu tip sistemler için kararlılığı sağlayan tüm P tipi

kontrolörlerin hesaplanması problemini rahatlıkla çözebileceği düşünülebilir. Ancak

bu yöntem, kesin nedensel transfer fonksiyonları için tasarlanmıştır ve tersi de nedensel sistemler için yöntemin kullanılabilmesi, yöntemde bir takım modifikasyonları gerektirmektedir. Ayrıca yöntem, doğası gereği nümerik bir yöntem

olduğundan, bu yöntemle belirli bir grup sistem türü için kararlılığı sağlayan tüm P

tipi kontrolörlerin analitik çözümünü elde etmek kolay olmayacaktır. Doğal olarak, bu bölümde ele alınacak sistemler için [17]’de verilecek metodolojiyle, kararlılığı

sağlayan tüm P tipi kontrolörlerin analitik olarak elde edilmesi kolay bir iş değildir.

Ancak belirtilmelidir ki, Nyquist teoremi, Hermite-Biehler teoremi veya alternatif bir kararlılık yönteminin uygun bir şekilde kullanılmasıyla, bahsedilen bu küme analitik

olarak pekala elde edilebilir.

Literatürde az önce anılan boşluğu doldurmak adına, bu bölümde, birinci mertebeden

sonlu sıfırlı ve zaman gecikmesine sahip sistemler için kararlılığı sağlayan tüm P tipi

kontrolörlerin kümesi hesaplanmıştır. Sadece bununla kalınmamış, sistem sıfırının bu

kümeye olan etkileri de açıkça ortaya konmuştur. Bu doğrultuda, kutupları aynı

noktada olan ve sistem sıfırları orijine göre simetrik yerleşmiş olan iki sistemi kararlı kılan kontrolör kümesi, analitik ifade olarak aynı gözükmesine rağmen, minimum fazlı

olan sistemi kararlı kılan kontrolör kümesi her zaman diğerine kıyasla daha geniş

olacaktır.

Yine bunlara ilaveten, izin verilen en büyük zaman gecikmesi (maximum allowable time-delay) adı verilen bir olgunun neden sadece açık çevrim kararsız sistemlerde ortaya çıktığı hesaplanmış ve izin verilen en büyük zaman gecikmesi (İVEBZG),

20

sistemin kutbunun ve sıfırının yerinin bir fonksiyonu olarak hesaplanmıştır. Analitik

olarak bakıldığında, İVEBZG ilk olarak [18]’de genel bir teorem olarak verilmiştir.

Burada önce faz fonksiyonunun kπ’ye eşit olduğu frekans (ωs) tespit edilmiş, daha

sonra da faz fonksiyonunun maksimumunun ωs’te olmasını sağlayan zaman gecikmesi

değeri hesaplanmıştır. Bu zaman gecikmesi değeri İVEBZG olmaktadır. Ancak

buradaki hesaplamalar, genelde tamamen kutuplardan oluşan (all pole) transfer

fonksiyonları için geçerli olan, genlik fonksiyonunun monoton azalan olması özelliğine dayandırılmıştır. Ancak bu özellik tersi de nedensel olan transfer

fonksiyonları için geçerli olmak zorunda değildir; dolayısıyla [18]’de İVEBZG ile

verilen analitik formülasyon, bu bölümde ele alınacak sistemler için kullanılamamaktadır.

Aynı zamanda, İVEBZG’yi daha da derinlemesine araştırmak adına, İVEBZG’in

sistemin sıfırıyla olan ilişkisi de açıkça ortaya konmuştur. Bu doğrultuda, eğer sistem minimum fazlı bir sıfıra sahipse, İVEBZG’nin supremum ve infimum değerleri

sırasıyla τ ve 2τ olmaktadır (τ burada sistemin zaman sabitini göstermektedir). Burada İVEBZG, sistemin sıfırının yerinin artan bir fonksiyonu olmaktadır; yani sistemin

sıfırı orijinden -∞’a doğru uzaklaştıkça İVEBZG de 2τ’dan τ’ya azalmaktadır. Aynı

şekilde, minimum fazlı olmayan sıfıra sahip sistemler için ise supremum ve infimum

değerleri sırasıyla τ ve 0 olmakta, İVEBZG de sıfırın yerinin yine artan bir fonksiyonu

olmaktadır. Yani sistemin sıfırı ∞’a doğru yaklaştıkça, İVEBZG 0’dan τ’ya doğru

artmaktadır.

Bulunan sonuçların geçerliliğini tartışmak adına, bulunan bu supremum ve infimum

değerleri literatürdeki diğer yayınlarla akıllı bir şekilde kıyaslanmıştır. Şöyle ki,

minimum fazlı bir sıfıra sahip bir sistem için, İVEBZG’nin infimum değeri (τ), bu sıfır

-∞’da yer aldığında elde edilmektedir. Şüphesiz ki böyle bir durumda sistem birinci

mertebeden kesin nedensel bir sisteme dönüşecektir. Literatürde bu tarz sistemler için

var olan çalışmalardan ([4, 19, 20]), İVEBZG’nin τ olduğu bilinmektedir. Dolayısıyla burada bulunan sonuç, literatürde var olanlarla uyumludur. Ayriyeten yine minimum fazlı sıfıra sahip bir sistem için, İVEBZG’nin supremum değeri (2τ), sistem sıfırı ile

kutbu orijine göre simetrik yerleşirse elde edilmektir. Bu sonucu doğrulayabilmek için

de [7] nolu çalışma kullanılabilir; çünkü bu çalışmada PD kontrolörle kontrol edilen

birinci mertebeden kesin nedensel zaman gecikmeli sistemler için İVEBZG’in sadece supremum değeri bulunmuştur ve bu değer 2τ olarak verilmiştir. Bu yönden

21

bakıldığında da sonuçlar literatürde var olanla uyumludur. Ayriyeten İVEBZG

hakkında bulunan sonuçlar [16] nolu çalışma ile de uyumludur.