Literatür Özeti, Problemin Önemi ve Bölümde Elde Edilen Sonuçların Özeti

transfer fonksiyonlarının proses endüstrisi için öneminden bahsedilmişti. Aynı şekilde

ikinci mertebeden sonlu sıfıra sahip olmayan ve zaman gecikmesi içeren transfer fonksiyonları için de durum bundan çok da farklı değildir, zira endüstride kullanılan

azımsanamayacak sayıda proses 2. Mertebeden yaklaşık olarak modellenebilmektedir [25]. Yine matematiksel açıdan olaya yaklaşıldığında, bu tip sistemlerin ortak özelliği,

kapalı çevrime alındıklarında, geri tipli polinomsu (retarded type quasipolynomial) meydana getirmeleridir. Yani bu sistemlerin kararlılığı incelenirken, zaman

gecikmesinin ortaya çıkışıyla oluşan sonsuz sayıdaki kapalı çevrim kutbunun

tamamının sol yarı s düzleminde oluşacağı açıktır.

Endüstrideki önemine binaen, bu tarz sistemler için kontrolör parametrelerini ayarlamaya yönelik birçok çalışma mevcuttur. Ancak tasarımcı için, kimi zaman

elinde belli bir performans kriterine göre “iyi” olarak nitelendirilebilecek kontrolör parametrelerine sahip olmaya kıyasla, kararlılığı sağlayan tüm kontrolör

parametrelerine sahip olmak önemli avantajlar getirebilmektedir. Buna istinaden, ikinci mertebeden zaman gecikmeli sistemleri kararlı kılacak tüm kontrolör parametrelerinin bulunmasına yönelik birçok çalışma da literatürde yerini almıştır ve

almaya da devam etmektedir.

Bu çalışmalara örnekler verilecek olursa, [8] ile verilen çalışmada, Hermite-Biehler

Teoremi kullanılarak ikinci mertebeden zaman gecikmesine sahip sistemler için kararlılığı sağlayan tüm P tipi kontrolörlerin kümesi hesaplanmıştır. Burada dikkate

edilmesi gereken temel husus, Hermite-Biehler teoremiyle zaman gecikmesinin sağ

yarı düzlemden sol yarı s düzlemine kutu geçirme özelliğini net olarak karakterize

etmek zor olduğundan, anılan çalışmada, kapalı çevrimli zaman gecikmesiz sistemin

öncelikle kararlı olacağı varsayımıyla hareket edilmiştir. Bir başka deyişle bulunan

kararlılık kümesi, zaman gecikmesiz sistemi kararlı kılacak olan kümeyle zaman gecikmeli sistemi kararlı kılacak olan kümenin kesişimi mahiyetindedir. [11] ile verilen çalışmada, ikinci mertebeden sistemler için kararlılığı sağlayan tüm PID kontrolörlerin kümesi yine Hermite-Biehler Teoremi baz alınarak hesaplanmıştır.

51

[13]’te ise Nyquist teoremi baz alınarak, kararlılığı sağlayan çeşitli düşük mertebeli

kontrolörler kümesi açık çevrim kararsız sistemler için hesaplanmış, aynı zamanda bu

sistemler için izin verilen en büyük zaman gecikmesi (İVEBZG), her bir kontrolör

çeşidi için de ayrı ayrı hesaplanmıştır. Daha sonra ise Nyquist Teoremi ve [17]’de bu

teoremden türetilen yöntem esas alınarak, [18]’de kararlılığı sağlayan tüm P tipi

kontrolörler kümesi hesaplanmış, ve İVEBZG hakkında tamamen kutuplardan oluşan

sistemler için genel geçer bir teorem önerilmiştir. Daha sonra buradaki yöntem [36]’da

ise PI kontrolörlere genişletilmiştir. Burada dikkate alınması önem arz eden bir diğer

husus ise [18, 36] ile verilen yöntemlerin değişken zaman gecikmesi altında da

kullanılabilmesidir. [37]’de verilen çalışmada, birinci ve ikinci mertebeden integral prosesleri kararlı kılacak tüm PID kontrolörlerin kümesi, kararlılık koşullarının

uygulanması ve kapalı fonksiyon teoreminin de yardımıyla grafiksel olarak hesaplanmıştır. [38]’de ise bu yöntem ikinci mertebeden sonlu sıfıra sahip olmayan

zaman gecikmeli sistemler için tekrarlanmıştır.

Bu bölümde, frekans tanım bölgesinde modellenmiş, ikinci mertebeden DZD ve

TGTÇ zaman gecikmesine sahip sistemler için literatürde daha önceden yer almayan bir sonuç önerilmiş; normalde zaman gecikmesinin yokluğunda P tipi kontrolörle kararlı kılınamayacak, iki kutbu da sağ yarı s düzleminde bulunan sistemler, P tipi kontrolörlerle – özellikle pozitif geri besleme konfigürasyonuyla – kararlı kılınmıştır.

Burada öncelikle zaman gecikmesinin hangi koşullar altında sağ yarı s düzleminden

sol yarı s düzlemine kutup geçirebileceğinin koşulları türetilmiştir. Bu koşulların

irdelenmesiyle çıkan sonuç, açık çevrimli sistem kutuplarının karmaşık bileşeninin

reel bileşeninden büyük olmasının gerekliliğidir. Bu koşulun sağlandığı öncülüyle,

kapalı çevrimli sistemin kararlı kılınabilirliğine yönelinmiş, bu husustaki gerek ve yeter koşullar çıkarılmıştır. Bu koşullar dikkatle incelendiğinde, normal şartlar altında

kararlılık yönünde olumsuz etki yapması beklenen pozitif geri besleme konfigürasyonu; yani bir başka deyişle negatif kazançların, kapalı çevrimli sistemi

kararlı kılmada daha etkili sonuç verdiği görülmüştür. Daha açık olmak gerekirse,

sistem pozitif geri besleme konfigürasyonundayken, gerek ve yeter koşullar kesinlikle

sağlanmakta, kapalı çevrimli sistemi kararlı kılacak bir (L, kp) ikilisi mutlaka

bulunmaktadır. Halbuki böyle bir durum, negatif geribesleme konfigürasyonu söz konusu olduğunda, yani sistem pozitif kp’lerle kontrol edildiğinde, geçerli olmak

52

kapalı çevrimli sistemin kararlı kılınabilmesi için açık çevrim kutuplarının sadece reel kısmının imajiner kısmından küçük olması yetmemekte, kutupların imajiner eksene çok daha yakın olması gerekmektedir.

Bölüm şu şekilde kurgulanmıştır: önce problem tanımlanmış ve parçalara ayrılmış,

daha sonra ise zaman gecikmesinin sağ yarı s düzleminden sol yarı s düzlemine kutup

geçirebilme özelliğinin hangi şartlarda gerçekleştirildiği analitik olarak elde edilmiştir.

Daha sonra ise sırasıyla negatif geribesleme konfigürasyonu (pozitif kpler) ve pozitif

geribesleme konfigürasyonu (negatif kpler) baz alınarak, kararlı kılınabilirlik için

gerek ve yeter şartlar analitik olarak türetilmiş, pozitif geribesleme durumunda bu şartın kesinlikle sağlandığı gösterilmiştir. Son kısımda ise her iki konfigürasyon için

de kararlılığı sağlayan tüm kazançların kümesi analitik olarak hesaplanmıştır.

Ayriyeten, anlatılan teoriyi somutlaştırmak adına, elde edilen sonuçlar bir adet sistem

üzerinde örneklendirilmiştir.

4.2 Problemin Tanımı ve Zaman Gecikmesinin Kararlılık Üzerine Etkileri