A partir da classificação posta no Quadro 10, o maior valor de ocorrência foi evidenciado para o agrupamento I, que englobou proposições adequadas e/ou limitadas que mencionaram Regras de Derivação e/ou que apresentaram notação para a Derivada. Assim, dos 110 MCIs selecionados, encontrou-se essa relação 45 vezes. Para ser classificado nesse agrupamento o mapeador não precisou apresentar desenvoltura com o cálculo das Regras de Derivação, mas revelou conhecer a existência de tais regras. As formas, ou nomes usuais, mais apontados foram: regra do produto, regra do quociente e regra da cadeia. Quanto às notações, as mais apresentadas foram y’e f’(x).
Identificou-se também, 34 MCIs que se enquadraram no agrupamento II, nos quais foram identificadas proposições adequadas e/ou limitadas que apresentaram elaborações do cálculo de Derivadas de funções elementares, destacando-se a Derivada de funções polinomiais. Nos MCIs computados nessa classificação também foram considerados os casos relacionados à soma, subtração, produtos e quocientes das funções descritas no agrupamento II, assim como a representação das fórmulas correspondentes em cada caso.
Os casos classificados no agrupamento III foram poucos, apenas 4 MCIs que apresentaram cálculo de Derivadas de funções trigonométricas, exponenciais e ou logarítmicas, indicando que dos 110 MCIs menos de 4% fizeram menção ao cálculo
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dessas Derivadas. Observaram-se nos MCIs as Derivadas das funções y=sen (x),
y=cos (x), y=ex e de y=ln(x), ou seja, os casos mais simples de Regras de Derivação
para esse tipo de funções.
No agrupamento IV, embora muitos estudantes tenham citado a Regra da Cadeia, assim como, Derivadas de funções implícitas e Derivadas de funções superiores em seus MCIs, e por isso tenham sido enquadrados no agrupamento I, apenas em dois casos houve a resolução da respectiva Derivada da função por meio de uma dessas regras, indicando que menos de 2% dos MCIs se enquadram nessa classificação.
Não foram encontrados MCIs que pudessem ser enquadrados no agrupamento V, ou seja, que apresentassem a resolução de Derivada de função inversa por meio de sua regra de derivação.
Alguns MCIs foram encadeados sequencialmente, de forma linear, quando um conceito se liga apenas ao conceito anterior. Evidenciou-se que um grande número dos MCIs apresentou características radiais – quando os conceitos são ligados a um conceito central, mas não ligados entre si – e lineares em suas representações, conforme descrevem Aguiar e Correia (2013), e em um número bem menor, porém significativo, verificou-se uma forma próxima da estrutura em rede – o estabelecimento de relações entre conceitos, rompendo a linearidade – conforme se vê nas Figuras 10 e 11.
Em relação a EP005/MCI (Figura 10), pode-se aceitar que o mapeador apresenta uma estrutura próxima a de rede, porém ainda bastante limitada em relação aos conceitos, restringindo-se praticamente a um único contexto, o das Regras de Derivação. Ainda assim, no campo mais básico dessa abordagem, apenas se referindo aos nomes de algumas dessas regras. No entanto, em um determinado movimento neste mapa, o mapeador intentou apresentar uma aplicação relacionada à Derivada no contexto da Física, contudo não há uma continuidade nessa construção, que se exterioriza por meio de uma proposição limitada que relaciona o conceito Derivada a uma frase completa na caixa, no lugar do segundo conceito, essa última, indicando que toda uma subseção desse mapa poderia ser construída a partir da frase na caixa. Cabe destacar a sugestão do mapeador,
148 “Calcular a fórmula da posição em função da fórmula da velocidade”. Esse estudante
cursava o terceiro semestre da EP na época da coleta de dados, por essa razão, provavelmente tenha cursado Cálculo II, e sua inversão pudesse indicar uma relação com o estudo das Integrais, ou ainda, pudesse indicar uma relação com as disciplinas de Física I e II, pois são concomitantes com as disciplinas de Cálculo I e II para esse curso; porém não se pode afirmar se essa construção foi intencional.
Figura 10 – (EP005/MCI)
Encontrou-se uma exteriorização similar no mapa de EC013/MCI (Figura 11), em que o mapeador também se fixa no contexto das Regras de Derivação, se restringindo basicamente a esse contexto. A exceção, em relação ao mapa de EP005/MCI, é que nesse caso, o mapeador acrescentou notações para distinguir f(x) e sua Derivada f’(x) e algumas fórmulas correspondentes.
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Há também uma iniciativa aparentemente abandonada de encontrar um caminho de exteriorização por meio de gráficos, mas o mapeador desiste dessa abordagem e dá continuidade pela direção das Regras de Derivação.
Figura 11 – (EC013/MCI)
Porém, o que exteriorizam estes mapas parece dar sentido a um vínculo objetivante, quando se encontram postos no modo Eu-Isso diante do objeto Derivada, como lugar da experimentação e não da experiência, e nesse sentido, podem significar apenas a coisificação tanto do sujeito quanto do objeto. A experiência somente faz sentido no modo Eu-Tu, como consciência fenomenológica, dialógica. Nesse sentido, não se pode ignorar as subjetividades dos sujeitos, ou seja, tudo o que está relacionado com a ação que se desenvolve ao exteriorizar suas escolhas.
Verificou-se que EC013 ingressou no curso de EC no ano de 2011, cursava o quinto semestre na ocasião da coleta de dados. O sujeito EP005 ingressou em 2012 e cursava o terceiro semestre de EP na mesma ocasião. Esses dois estudantes foram aprovados em Cálculo 1 na primeira vez que cursavam a disciplina e, embora
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tenham estudado Cálculo 1 em turmas e anos diferentes, assim como, tenham tido uma evolução em seus cursos também em espaço/tempo diferentes, ambos apresentam certa semelhança em seus MCIs. Remetem-se às Regras de Derivação quando solicitados a desenhar um mapa sobre Derivada, e suas representações são elementares – superficiais – não há aprofundamento nas representações desses sujeitos. Pode-se então inferir que passaram por experiências semelhantes em Cálculo 1?
Conforme Larrosa (2011), não há como saber da real experiência de cada um desses sujeitos, percebe-se porém, em ambos, um crescente em relação à construção do conhecimento Derivada. Em EC013/MCI o mapeador parte do conceito “funções” como o conceito mais inclusivo e chega até o conceito “Derivada”. Liga esses conceitos por meio de uma seta, com sentido do primeiro para o segundo, indicando uma hierarquia nessa construção, com isso demonstra que em um primeiro momento estudou funções, para depois estudar a Derivada, o que corrobora o mencionado anteriormente sobre os planos de conteúdos programáticos para disciplina de Cálculo 1. Por meio do movimento, pelo qual este mapeador descreve sua concepção de Derivada, pode-se admitir certa valorização das técnicas básicas de derivação. Contudo, quem valoriza?
Nessa direção, EP005/MCI também apresenta seu mapa recorrendo às técnicas, contudo, em uma de suas proposições diz: “Derivadas → Quais as regras que lembro → Regra...”. Por que o mapeador anuncia que se lembra das Regras da
Cadeia, Regra do Quociente e a Regra do Produto? Justifica na sequência que tais regras servem para derivar funções e funções compostas. Portanto, ele não simplesmente cita essas regras, sabe para que deve utilizá-las e para quais objetivos. Desse modo, contribui a compreensão de Zuben, (2009) para os termos da dialética de Buber.
Eu-Isso é proferido pelo Eu como sujeito de experiência e utilização de alguma coisa. A inteligência, o conhecimento conceitual que analisa um dado ou um objeto é posterior à intuição do ser. Eu-Isso é posterior ao Eu- Tu. O Eu de Eu-Isso usa a palavra para conhecer o mundo, para impor-se diante dele ordená-lo, estruturá-lo, vencê-lo, transformá-lo. Este mundo nada mais é que objeto de uso e experiência (ZUBEN, 2009, p. 26).
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Contudo, questiona-se: “Por que maior segurança em Regras de Derivação?” Então, corrobora-se em seus MCIs a valorização dessas técnicas?
Acredita-se que mais do que uma valorização das Técnicas ou Regas de Derivação, esse fato represente que o sujeito, antes de analisar e representar o objeto passou por uma experiência autêntica diante do conhecimento novo, uma experiência intensa que foi constituída por Regras de Derivação. Por isso, a segurança em apresentar esse caminho de construção em seu MCI. Para outros sujeitos poderia se dar de outra forma, que não por Regras de Derivação, pois a experiência supõe a suspensão de qualquer posição genérica, conforme aponta Larrosa (2011).
Entretanto, os MCIs dos estudantes investigados exteriorizam, de forma geral, uma relação em construção, e de evolução que, geralmente, se inicia nesse conhecimento. Por exemplo, o mapa de LM013/MCI (Figura 12) em uma estrutura radial para a linear, mostra também indícios de certezas nessa construção, indicando que a escolha por essa face da Derivada seria a “mais fácil”, logo, não a única. Nesse sentido, Larrosa (2011) destaca que a experiência como soma de singularidades é também plural.
Nessa direção, ressalta-se a afirmação exteriorizada pelo mapeador LM013/MCI na proposição: “Derivadas → obs: → para mim o mais fácil do conteúdo de Cálculo 1”. Ainda, em seus relatos para as abordagem 1 e 2 desta pesquisa, esse
estudante mencionou ter ficado muito satisfeito com seu desempenho em Cálculo 1. Diz ter aprendido Limite e principalmente Derivada, bases do Cálculo II, além de ser um privilegiado, por fazer parte do seleto grupo de alunos que conseguiram vencer a disciplina na primeira vez cursada.
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Figura 12 – (LM013/MCI)
Notadamente, este estudante está convicto de que sabe Derivada e exterioriza sua compreensão sobre Regras de Derivação. Contudo, da mesma forma em que outros MCIs, esse sujeito se limita a descrever as regras mais elementares e utiliza apenas uma forma de notação. Seu mapa também apresenta proposições limitadas, dentre as quais tenta apresentar fórmulas para as regras que conhece. A proposição “Regra da Cadeia → só em algum caso → substituir por u”, é limitada do
ponto de vista da teoria de Novak e inadequada se considerado o contexto da Derivada. Contudo, o que mais pode exteriorizar este mapa? A liberdade de escolha desse sujeito?
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Para Bauman e May (2010), nos processos de interação com os indivíduos há direcionamentos para as escolhas realizadas, para as quais são livres para acompanhá-las até o fim, porém a liberdade de escolha não garante a liberdade de atuação sobre elas e nem assegura a liberdade de atingirem-se os resultados desejados. Em Educação, essa liberdade sempre está limitada a fatores internos ou externos à ação pedagógica.
Concorda-se com Rezende (2003), que calcular exaustivamente Derivadas de funções através das regras usuais de derivação não leve o aluno a construir efetivamente o significado desta operação, e as deformações decorrentes desse tipo de abordagem contribuam para aplicações ingênuas das regras de diferenciação em cálculos de Derivadas e em circunstâncias nem sempre apropriadas.
Nesse sentido, Vieira (2013) evidencia que o processo de significação do conceito de Derivada parece simplesmente realizado por meio do exaustivo uso de Regras de Derivação, não incentivando o aluno a construir efetivamente esse conceito.
Em geral, o estudo da Derivada é iniciado por uma abordagem geométrica do conceito de Derivada, seguida por algumas demonstrações de Derivadas a partir da definição por Limite, para depois ir para as técnicas de Derivação, comumente permanecendo um tempo maior nessa última abordagem, que nas duas anteriores. Nessa etapa, é perceptível também uma maior motivação de grande parte de estudantes em relação à resolução de exercícios por meio de técnicas de derivação, pois é muito mais simples que a derivação pela definição, considerando o cálculo com limites, que muitas vezes apresentam a necessidade de algum artifício algébrico. É, portanto, desse modo que se entende que o trabalho com as Técnicas de Derivação corresponde a um campo de representações aparentemente mais simples e pode ser visto como o lugar onde se inicia o reconhecimento mais “prazeroso” do estudante quando posto diante do conhecimento “novo”, a Derivada.
Nesse viés, acredita-se que na relação dialógica de alguns sujeitos com o tópico Regras de Derivação possam estar se consolidando experiências, e não apenas no que se refere ao emprego de símbolos e manipulações algébricas, mas
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como uma porta de entrada à compreensão mais abrangente da rede de significações que engloba o conhecimento da Derivada.
Nota-se ainda, a partir dos MCIs que apontam para as Regras de Derivação, que os mapeadores não fizeram referência às demonstrações dessas regras, apenas apresentaram suas fórmulas, ou algum cálculo desenvolvendo a Derivada de uma função, em geral, de uma função polinomial. Os mapeadores omitem qualquer forma de demonstração, embora tenham sido apontados o grande número de demonstrações realizadas em aulas de Cálculo 1, nas abordagens 1 e 2.
Um enfoque poderia ser dado, por exemplo, em decorrência da apresentação das demonstrações das Regras de Derivação, por meio de uma demonstração anterior e consistente do Teorema da Derivabilidade e Continuidade39. Contudo, para que esse fato possa realmente contribuir no fortalecimento da rede de significações, na qual se insere a Derivada, é necessário cuidado, e aprofundamento nessa tarefa. Não basta fazer a demonstração desse teorema, como uma repetição de procedimentos sistematizados. É preciso levar os estudantes ao diálogo com o objeto que se expõe. É preciso que o estudante seja capaz de falar desse teorema, e que o teorema “fale” ao estudante, ou seja, faça-lhe “sentido”, atravesse-lhe como a compreensão na leitura de um texto (LARROSA, 2011). Por exemplo, o recíproco deste teorema é falso e pode ser explorado. Do mesmo modo, pelo contra recíproco, o estudante pode ser capaz de ver que se uma função f não é contínua para x=x0,
então f’(x0) não existe. E por que não ampliar essa discussão para a continuidade da
função, ou seja, considerar aspectos da condição local e também global.
Nesse sentido, Rezende (2003) aponta que o estudante em um curso inicial de Cálculo se depara com diversas situações do contexto da dualidade local/global, o que suscita em dificuldades de interpretação dos conceitos e resultados “normalmente” apresentados em um curso de Cálculo. Para esse autor os conceitos do Cálculo são definidos, na sua maior parte, localmente – continuidade num ponto, diferenciabilidade num ponto etc.– para depois serem estendidos para o seu estado global – a função é diferenciável se ela o for a cada ponto do seu domínio etc. Essa dificuldade pode ser observada em EP030/MCI (Figura 13), pois neste caso, o
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estudante reconhece que a Derivada existe em um ponto, mas voltando ao aspecto da dualidade local/global, não está explícito se f é reconhecida pelo mapeador como uma função diferenciável nesse ponto de seu domínio em que a Derivada existe, ou se a função f representada pela curva é diferenciável em todos os pontos de seu domínio.
Os estudantes investigados não exteriorizam em seus MCIs indícios do reconhecimento da continuidade de uma função. Para apresentar a estrutura do resultado matemático, o estudante não dá indícios do conhecimento acerca das condições locais e/ou globais de suas hipóteses, nem das correlações entre elas.
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Ao calcular uma Derivada, por meio de Regras de Derivação, o estudante compreende as condições necessárias para que essa Derivada exista e possa então ser calculada?
Entende-se que essa compreensão seja possível, e possa ocorrer mesmo na simples aplicação de uma regra, mas para isso o relacionamento Eu-Isso – o relacionamento do sujeito com o objeto – precisa ser intensificado e explorado de forma abrangente e consistente a fim de que se alcance uma relação Eu-Tu, que transcenda o sentido da coisificação. Dessa forma, o sujeito poderá ser conduzido às diferentes possibilidades de experiência.
No entanto, como conduzir os sujeitos da experiência de Cálculo 1 a escolher outros caminhos de aprendizado, ou a situações que exijam cada vez mais disponibilidade, aprofundamento e corresponsabilidade desses sujeitos, pois essas também são condições para a experiência. Bauman (2013) colabora para o entendimento das escolhas dos sujeitos.
O que separa a atual agonia da escolha e dos desconfortos que sempre atormentaram o homo eligens, o “homem que escolhe”, é a descoberta ou suspeita de que não há regras prefixadas e objetivos universalmente aprovados a se seguir, que pudessem absorver os escolhedores das consequências adversas de suas opções (BAUMAN, 2013, p. 23 – grifo do autor).
Em EP030/MCI, embora de forma ainda ingênua, o mapeador exterioriza sua compreensão da ideia de função como uma relação de dependência entre as variáveis x e y. No movimento demonstrado, novamente o estudante parte do conceito mais inclusivo, funções, para chegar aos conceitos mais específicos: Derivada e gráfico. Embora essa seja uma construção linear, podem-se admitir indícios de uma construção inicial do conhecimento de Derivada sendo bem conduzida, até então; pois o estudante consegue exprimir com clareza semântica a sua relação com o objeto, além de utilizar-se de mais de uma forma de registro para expressar sua posição diante do objeto. Curiosamente, nas abordagens 1 e 2 esse sujeito mencionou a fragilidade de sua formação básica e uma consequente reprovação na disciplina, contudo, superada na segunda vez que cursou Cálculo 1, o que admite, garantiu sua aprovação na primeira vez em Cálculo 2.
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Nesse sentido, destaca-se a falta de base em nível médio fortemente reiterada nas abordagens 1 e 2 deste estudo. Qual a implicação que essa falta de base pode acarretar na construção de significações para a Derivada? De que forma as dificuldades dos sujeitos podem estar vinculadas a sua passagem pelo nível médio?
Segundo Rezende (2003), para assimilar a estrutura de um resultado matemático, por exemplo, o estudante precisa também conhecer as condições locais/globais para o desenvolvimento de suas hipóteses, dos seus resultados e das correlações entre eles. Assim, se tal habilidade não foi devidamente desenvolvida em etapa anterior de sua educação superior, que pode ter sido constituída unicamente na Educação Básica, as consequências para o Cálculo podem ser catastróficas, conforme sugere.
De fato, a ausência das ideias e problemas essenciais do Cálculo no ensino básico de matemática, além de ser um contra-senso do ponto de vista da evolução histórica do conhecimento matemático, é, sem dúvida, a principal fonte dos obstáculos epistemológicos que surgem no ensino superior de Cálculo (REZENDE, 2003, p. 331).
Nesse sentido, Nascimento (2001 apud DALL’ANESE, 2006) expõe acerca de professores que constatam que as dificuldades de alunos em Cálculo 1 devido à ausência de conceitos naturais e intuitivos embutidos nas estruturas numéricas, geométricas e variacionais, decorrente da forma como professores da educação básica cumprem o conteúdo matemático.
Acredita-se na validade do apontado por esses autores e corroborado por suas bem conduzidas pesquisas. Admite-se, também, que as deficiências apresentadas nas representações dadas por alguns mapeadores têm em sua base a queixa comum de um ensino básico deficiente. Esse fato foi apontado por um elevado número de estudantes ao comentar sobre a disciplina de Cálculo 1 e ao relatar sobre seu próprio desempenho nessa disciplina, nas abordagens 1 e 2. Cabe mencionar que para os MCIs observados, com exceção do curso de Licenciatura em Matemática, todos os demais cursos têm no primeiro semestre a disciplina de Cálculo 1.
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Nessa direção, verifica-se que EP005 comentou sobre suas dificuldades na disciplina de Cálculo 1, que foi para ele devida ao tempo de saída do Ensino Médio, pois fazia quase 10 anos que não entrava em sala de aula, a última vez tinha sido em um Instituto Federal. Declarou-se inseguro ao entrar na universidade, mas conseguiu a aprovação na primeira vez que cursou a disciplina. Nesse sentido, EC013 relatou ter sido aprovado na primeira vez que cursou a disciplina, o que lhe exigiu muito conhecimento do nível médio, encontrando aí bastante dificuldade, mas que superou após fazer sozinho estudos da base da matemática que lhe faltava. Do mesmo modo, EP030 apontou as dificuldades decorrentes de sua falta de base matemática de nível médio, reprovou em Cálculo 1 uma vez e buscou em estudos complementares diminuir sua defasagem e, LM002 foi aprovado em Cálculo 1 na primeira vez que cursou a disciplina, com uma boa nota, mas declarou que apenas decorava os conteúdos para a prova, não mencionou falta de base de nível médio.
Tem-se assim, quatro situações distintas, porém que se aproximam pela elaboração de seus mapas. Todos esses mapeadores exteriorizaram aspectos que valorizam as Regras de Derivação. Constatou-se que LM002/MCI (Figura 14)