Converter é transformar a representação de um objeto, situação ou informação dada num registro, em um outro registro desse mesmo objeto ou informação em um sistema semiótico diferente. Essa ação não é simplesmente de codificação/decodificação, nem tampouco um processo secundário no fazer matemático. É um processo semio-cognitivo subjacente a toda e qualquer atividade matemática (DUVAL, 2008).
Operações como tradução, ilustração, transposição, interpretação, codificação, entre outras, são realizadas em um processo de conversão, uma vez que o registro de partida é diferente do registro de chegada.
As atividades de conversão são aquelas que mais exigem do aluno, pois envolvem transformação de um registro para outro, sendo necessário perceber a diferença entre o sentido e a referência dos símbolos ou dos signos, ou entre o conteúdo de uma representação e aquilo que ela representa (DUVAL, 2009, p. 59).
Poderíamos exemplificar com a ação de resolver problemas, uma vez que se tem um registro inicial em uma proposição - texto em língua materna - e ao final tem-se a utilização de um algoritmo que conduziu à sua solução; ou ainda a perspectiva inversa, tendo-se o algoritmo de entrada para a elaboração de um texto correspondente. No caso de problemas que envolvem operações aritméticas, os variados significados que elas possuem devem ser
considerados, pois um problema com significado de proporção simples, por exemplo, pode gerar menos dificuldade na conversão do que um problema com o significado de multiplicação comparativa.
Na escrita de um número, é preciso distinguir a significação operatória fixada para o significante e o número representado, assim, a significação operatória não é a mesma para 0,25; ¼; e 25.10ˉ², dificultando a conversão, por exemplo, de uma representação de um número na forma decimal para outro na forma fracionária. Isto ocorre porque não são os mesmos procedimentos de tratamento que permitem efetuar operações com esses significantes (DUVAL, 2009, p. 60), como se vê nos seguintes exemplos, envolvendo a adição: 0,25 + 0,25 = 0,5; ¼ + ¼ = ½; 25.10ˉ² + 25.10ˉ² = 50.10ˉ². Cada caso demanda um tratamento operatório específico e bem distinto dos demais.
As atividades de conversão apresentem uma exigência maior no sentido de mobilização cognitiva e Duval avalia que elas não são valorizadas no espaço escolar em relação às atividades de formação e tratamento. Segundo ele, a escola privilegia a aprendizagem de regras concernentes à formação de representações e de regras de tratamento, “mas o lugar reservado à conversão das representações de um registro a outro é mínimo, se não nulo” (DUVAL, 2009, p. 62).
Maranhão e Igliori (2003), a partir de uma investigação sobre os registros de representação de números racionais, corroboraram o problema levantado por Duval de que no ensino fundamental tem sido mais estimulados os tratamentos que as conversões e que, quando essas ocorrem, é priorizado um dos sentidos em relação a outros, como, por exemplo, o percurso do texto proposicional ao algoritmo. Os autores argumentam ser necessário explorar conversões em sala de aula sempre nos dois sentidos, trazendo aquelas que não são naturais e diretas, ou seja, investigando aquelas que apresentam mais dificuldades entre os estudantes. Eles evidenciam que um aluno pode pensar que 0,25 é diferente de ¼, mas compreender que ¼ corresponde a 0,25.
Para Duval (2009), cada representação só informa parte do objeto representado, daí a importância e necessidade de abranger representações heterogêneas sobre determinado objeto, integrando-as, primeiro para não confundi-las com seu objeto e, segundo, para se alcançar o máximo possível sua compreensão15.
15 Essa necessidade de coordenação de registros como condição para o domínio da compreensão e diferenciação
Ao mesmo tempo em que converter representações exige mais do estudante, constituindo uma atividade menos espontânea e mais difícil de adquirir, ao se apropriar dessa capacidade, veem-se ganhos “espetaculares nas macro-tarefas de produção e compreensão” (DUVAL, 2009, p. 63) envolvendo conceitos matemáticos. A exigência da atividade cognitiva de conversão se constitui mais complexa porque o que está em jogo é o estabelecimento de uma correspondência entre dois registros de representação, não mais entre representação e objeto real.
Contudo, a coordenação entre os diferentes registros de representação não se dá de forma natural e fácil, mesmo em um processo de ensino que se proponha a isto. A limitação do trabalho matemático a um só registro ou mono-registros faz com que a maior parte dos alunos se revele incapaz de mobilizar conhecimentos já adquiridos. O autor em estudo ressalta:
A passagem de um sistema de representação a outro ou a mobilização simultânea de vários sistemas de representação no decorrer de um mesmo percurso, fenômenos tão familiares e tão frequentes na atividade Matemática, não tem nada de evidente e de espontâneo para a maior parte dos alunos e dos estudantes. (DUVAL, 2009, p. 18).
Sobre o processo de conversão, D’Amore (2006) argumenta que a passagem da representação de um objeto matemático a outro, por meio de transformações, de uma parte conserva o significado do objeto, porém, em algumas ocasiões pode chegar mesmo a mudar seu sentido.
A dificuldade encontrada nos alunos durante tarefas que exigem conversão entre registros de representação é causada por um fenômeno chamado incongruência entre as representações. Esse fator pode tanto aumentar o tempo para que se realize a conversão quanto, em situações extremas, até tornar impossível sua compreensão. Duval (2009) identifica três critérios de congruência entre dois registros de representação: a possibilidade de uma correspondência ‘semântica’ dos elementos significantes; a univocidade ‘semântica’ terminal e a organização das unidades significantes – mesma ordem nas duas representações;
Como exemplo, Duval (2009) apresenta a pesquisa sobre resolução de problemas aditivos realizada por Gerárd Vergnaud, na qual três fatores comandam as dificuldades encontradas nos sujeitos pesquisados: identidade ou não entre a operação semântica sugerida pelos verbos; quando os verbos portadores da informação numérica não são antônimos, ocorrendo a não univocidade semântica; e quando a ordem de apresentação dos dados exige invertê-la, partindo-se do final.
As dificuldades ligadas a não-congruência da conversão podem ainda ser agravadas se o aluno desconhece um dos dois registros de representação a coordenar, muitas vezes porque não estudou ou aprofundou a heterogeneidade de registros semióticos em Matemática – gráficos, tabelas, diagramas, esquemas, produção de textos – ficando, na maioria das vezes, restrito ao tratamento envolvendo os cálculos aritméticos ou algébricos.
Tarefas com o conteúdo de multiplicação que exigem a conversão de registros envolvendo tabelas ou gráficos pode gerar dificuldade nos estudantes se eles não conhecem tais registros ou se não realizaram tratamentos com eles.
Duval (2009) assinala que mais do que identificar as dificuldades devido a não- congruência entre as representações, é necessário “situar a importância em relação à aprendizagem das Matemáticas e a análise que daí é geralmente feita em termos de complexidade conceitual” (p. 79). Poderíamos então crer que se trata de um processo secundário, porém, isto pode ser enganoso “porque os fracassos dados a não-congruência revelam um fechamento dos registros de representação” (p. 80), provocando um verdadeiro enclausuramento, podendo persistir até após ensino de alguns variados registros.
A utilização de variados registros de representação semiótica é importante para o desenvolvimento cognitivo e sua importância se dá “pelas diferenças de custo ou de limitação para a função de tratamento e por aquelas possibilidades de apresentar para a função de comunicação, que existem entre os registros” (DUVAL, 2009, p.80). Poderá ser mais fácil compreender a escrita decimal dos números na sua escrita numérica ou algébrica que em linguagem natural, assim como determinada informação explícita em um esquema ou figura que num texto descritivo.
Para Duval (2003, p. 14), a “originalidade da atividade Matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar a todo o momento de registro de representação”. Para que os alunos, no processo de aprendizagem Matemática, possam se apropriar de variados registros de representações, podendo transitar entre um e outro, é necessário que alcance a capacidade de coordenação entre as representações. Essa capacidade não tem nada de espontâneo e natural, sendo necessário um trabalho específico na perspectiva de que os alunos produzam representações variadas. Conforme o autor,
uma representação pode verdadeiramente funcionar como uma representação, ou seja, possibilitar o acesso ao objeto representado quando duas condições forem atendidas: dispor de ao menos dois sistemas semióticos diferentes para produzir representação de um objeto, de uma
situação... e poder converter ‘espontaneamente’ de um sistema a outro (DUVAL (2009, p. 38).
Embora haja o termo ‘espontaneamente’ na citação, o autor ressalta que esse não é um processo natural, evidente e espontâneo para a maior parte dos estudantes. Muito pelo contrário, ele exige dos alunos a compreensão de que um mesmo objeto pode ser representado por meio de registros diferentes, sendo necessário o estabelecimento de relações e a coordenação entre eles. Para entender melhor os elementos destacados, discutiremos especificamente o processo de transformação de representações, que ocorre por meio do tratamento e da conversão.
O processo de conversão entre os registros de representação não apresenta as mesmas dificuldades em todas as direções, quer dizer, a conversão entre a representação não- discursiva, ou seja, de um gráfico para uma representação de uma expressão em língua natural pode ser mais espontânea que a conversão inversa, ou seja, de uma expressão em língua natural para a representação em um gráfico ou uma equação, que se revela mais complexa.
A conversão de uma expressão em língua natural para uma representação não- discursiva não pode ser direta porque exige o desvio por outra representação intermediária, como da passagem da língua natural para a língua formal. Aqui o registro de chegada é uma descrição a partir do registro intermediário e não o de saída e “a complexidade da conversão inversa se dá porque estamos em presença de duas conversões sucessivas” (DUVAL, 2009, p.110).
Essa discussão esclarece que nem toda conversão possui o mesmo nível de exigência cognitiva e isso precisa ser compreendido pelos professores de Matemática. Inferimos que esta possa vir a ser uma das maiores razões para as dificuldades dos estudantes na resolução de problemas, uma vez que é predominantemente exigida dos alunos a conversão do texto em língua natural para um registro algorítmico. Além disso, se considerarmos que as operações aritméticas envolvem diferentes significados, diferentes grandezas numéricas, as variáveis que interferem no processo de resolução de problemas são ampliadas.
Panizza (2006) utiliza o termo ‘ilusão da transparência’ para se referir a expectativa que os professores têm em relação aos seus alunos, em ‘enxergar’ nas representações aquilo que os professores identificam e ‘vêem’.
Uma das razões que explicam a dificuldade dos estudantes é o fato da Matemática utilizar a língua natural de maneira especializada, com formas de expressões referenciais muito mais complexas do que em seu emprego comum, envolvendo ‘encadeamentos de
complementos do substantivo’ nas diferentes definições (DUVAL, 2004). O autor assim explica: “A utilização da língua natural em Matemáticas provém de um emprego especializado e não de um emprego comum. E esta diferença que afeta essencialmente as funções discursivas de referência e de expansão discursiva, pode ser muito grande e oculta” (p. 156).
Para uma aprendizagem Matemática eficaz é necessário proporcionar a integração dos mais variados registros semióticos, favorecendo situações de conversão entre representações, para além das atividades de tratamento, buscando-se abranger ao máximo a rede conceitual do objeto que se pretende ensinar. Entretanto, Duval (2009) alerta que exercícios de conversão não são suficientes para a coordenação de registros de representação, devido aos fenômenos de incongruência, portanto, os casos de não-congruência são sempre casos particulares, não podendo ser ‘agrupáveis’ e também porque “a conversão das representações requer a identificação das unidades significantes nos registros de saída e de chegada” (p. 99) e esse é o ponto nevrálgico da dificuldade, uma vez que sempre são essas unidades significantes que fazem falta ao estudante.
Duval (2009) sugere que “a discriminação das unidades significantes de uma representação, e então a possibilidade de uma apreensão daquilo que ela representa, depende da apreensão de um campo de variações possíveis relativamente à significância num registro” (p. 101), o que quer dizer ser necessário ampliar ao máximo as possibilidades de representação de um mesmo objeto matemático, possibilitando a “exploração de todas as variações possíveis de uma representação num registro fazendo prever, ou observar, as variações concomitantes de representação em outro registro”. (Idem). Dentre as variações podemos encontrar aquelas que não exercem mudanças, constituindo-se em exclusivamente semióticas e aquelas que exercem mudanças, chamadas de variações cognitivas.
A organização de situações de aprendizagem centrada sobre a coordenação de registros requer então que identifiquemos todas as variações cognitivamente pertinentes de uma representação num registro, da forma que uma exploração (...) possa ser colocada em prática pelos alunos (DUVAL, 2009, p. 102).
Referindo-se a operação aritmética de multiplicação, consideraremos os seguintes registros de representação semiótica: desenho, enunciados orais ou escritos sobre
multiplicação, enunciados de problemas multiplicativos, algoritmos alternativos16, algoritmo formal, envolvendo adição de parcelas iguais ou a multiplicação, tabelas, gráficos, esquemas (árvore de possibilidades).
Sobre os registros em língua materna, principalmente a leitura e produção de texto, Duval (2003) assinala que eles são muito complexos por lidar com a representação discursiva da língua natural com suas associações verbais e formas de raciocínio, como argumentação e dedução. D’Amore (2006) sugere algumas situações que podem potencializar a atuação do estudante na apropriação do conhecimento matemático por meio desse registro:
discutir e estudar textos com dados supérfluos; pedir que produzam textos em condições particulares; fazer análise sobre o conteúdo de um texto, sobre as informações que fornece, sobre as relações que fornece, sobre sua decomposição e recomposição, atividades com um texto sem pergunta e o aluno terá de criar, entre outras (p. 258).
Nessa perspectiva, algumas funções são atribuídas ao professor, pois ele é um profissional responsável pela organização e sistematização do processo de ensino, tendo por base a premissa vigotskiana de que “o bom ensino é aquele que se adianta ao desenvolvimento”.
Reiteramos que a ação do estudante enquanto protagonista do seu processo de aprender deve ser incentivado e valorizado pelo professor desde o processo de comunicação em sala de aula até a produção de conhecimento matemático, evidenciada principalmente nos registros produzidos pelas crianças nos anos iniciais da escolarização. Em um artigo de nossa autoria (AZERÊDO, 2008), discutimos sobre a não-valorização das representações pessoais utilizadas pelas crianças no processo de resolução de problemas na escola, havendo uma tendência à valorização de procedimentos algorítmicos, embora, em muitos casos, vazios de significação e sentido.
Quando o algoritmo é confundido com o próprio objeto matemático, contribui-se para a não compreensão deste. “É necessário identificar nos procedimentos e representações que os alunos utilizam diversas maneiras de tratamento e de conhecimento dos objetos e suas representações” (PANIZZA, 2006, p. 21), proporcionando “espaços de emergência das representações não-convencionais dos alunos (...), uma vez que estas representações externas têm um valor produtivona aprendizagem” (PANIZZA, 2006, p. 25).
16 O termo algoritmo alternativo é utilizado por Luize (2001) para designar as estratégias produzidas pelos
Além disso, a maioria das pesquisas chegou a resultados sobre a carência de uma utilização efetiva da noção teórica dos registros de representação semiótica tanto por parte dos professores quanto por parte dos livros didáticos que eles utilizam. Ao apresentar sugestões de atividades e sequências didáticas, tais pesquisas contribuem para a ação pedagógica do professor, no entanto, as conclusões também indicam que não bastam apenas atividades e sequências bem elaboradas, porque o professor precisa compreender as orientações teórico- metodológicas que as fundamentam, o que desemboca no problema da formação docente. (COLOMBO, FLORES E MORETTI, 2008, p. 59).
Em pesquisa realizada, Damm (2003) interroga qual o tipo de representação mais adequada para o ensino de problemas do campo aditivo, colocando-se um problema didático. Para a autora a conversão entre o texto escrito num problema à solução exige a seleção de que o aluno disponha, implícita ou explicitamente de uma representação.
A questão é “então, saber se as representações semióticas podem se constituir num instrumento eficaz para levar os alunos à compreensão e à resolução dos problemas, e, no caso dos problemas aditivos, qual seria o tipo dessa representação” (DAMM, p. 42). Ao pesquisar a solução de problemas aditivos que carregam em si o fenômeno da incongruência, a autora propõe uma representação de adição deveria abranger dois eixos distintos: “um sobre o qual são marcadas as relações referentes às etapas do enunciado e o outro onde os dados operatórios são situados em função da situação” (p. 43). Como exemplos de ‘boa’ representação, ela propõe o uso de gráficos e ilustrações que permitam às crianças visualizarem deslocamentos sobre a semirreta graduada e deslocamentos verticais (elevador, montanha) e horizontais (barco e rua).
Assim, seu trabalho contribui para minimizar as dificuldades de alunos diante do fenômeno de não congruência, em problemas aditivos, possibilitando um terceiro registro – uma representação intermediária entre o registro de partida e o de chegada.
Resumindo, apresentamos três ideias fundamentais da teorização de Duval (2003) que nos ajudarão no processo de análise dos dados obtidos: o desenvolvimento da capacidade mental de representação depende do desenvolvimento cultural dos sistemas semióticos – apropriação e domínio desses sistemas; nos sujeitos em período de desenvolvimento e formação inicial, a aquisição de conhecimentos matemáticos depende da coordenação de registros, e essa coordenação não é espontânea; a diversidade de registros contribui para o desenvolvimento de capacidades cognitivas globais.